两平面的平行的判定和性质doc

1、典型例题一例 1：已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 求证： 平面 AB1D1 / 平面 C1BD 证明 ： ABCD - A1B1C1D1 为正方体， D1A / C1B ，又C1B平面 C1BD ，故 D1A/ 平面 C1BD 同理D1 B1 / 平面 C1BD 又 D1A D1B1 D1 ， 平面 AB1D1 / 平面 C1BD 说明：上述证明是根据判定定理1 实现的本题也可根据判定定理2 证明，只需连接A1C即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离典型例题二例 2：如图，已知/ ， A a ， Aa / 求证： a证明： 过直线 a 作一平面，设a1 ，b / a1 / b又

2、a / a / b在同一个平面内过同一点A 有两条直线 a,a1 与直线 b 平行 a 与 a1 重合，即 a说明： 本题也可以用反证法进行证明典型例题三例 3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交已知： 如图，/ ， lA 求证： l 与相交证明： 在上取一点 B ，过 l 和 B 作平面，由于与 有公共点 A ，与有公共点 B 与 、 都相交设a ，b / a / b又 l 、 a 、 b 都在平面内，且 l 和 a 交于 A l 与 b 相交所以 l 与相交典型例题四例 4：已知平面/， AB ， CD 为夹在 a ，间的异面线段，E 、 F 分别为 AB 、CD

3、 的中点求证：EF/，EF/证明： 连接 AF 并延长交于 G AGCDFAG ，CD 确定平面，且AC ，DG / ，所以AC/DG，ACFGDF ，又AFCDFG ， CFDF ， ACFDFGAF FG又 AE BE，EF/BG， BG故 EF/ 同理 EF /说明： 本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理典型例题六例 6如图，已知矩形ABCD 的四个顶点在平面上的射影分别为A1 、 B1 、 C1 、 D1 ，且 A1 、 B1 、 C1 、 D1 互不重合，也无三点共线求证： 四边形 A1B1C1D1 是平行四边形证明： AA1，DD1 AA1 / DD1不妨设 AA1 和 DD

4、1 确定平面同理 BB1 和 CC1 确定平面又 AA1 / BB1 ，且 BB1 AA1 /同理 AD /又AA1 AD A /又A1 D1 ，B1C1 A1D1 / B1C1 同理 A1 B1 / C1D1 四边形 A1 B1C1D1 是平行四边形典型例题七例7设直线l 、 m ，平面、，下列条件能得出/的是（）A l， m，且 l /， m /B l， m，且l / mC l， m，且l / mD l /， m /，且l / m分析： 选项A 是错误的，因为当l / m 时，与可能相交选项B 是错误的，理由同 A选项C 是正确的，因为l， m/ l ，所以m，又m，/选项D 也是错误的，

5、满足条件的可能与相交答案： C说明： 此题极易选A ，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致本例这样的选择题是常见题目， 要正确得出选择， 需要有较好的作图能力和对定理、 公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况典型例题八例 8设平面平面，平面平面，且 、 分别与b a / b求相交于 a 、 ，证：平面/ 平面分析： 要证明两平面平行，只要设法在平面上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与平行（如图）证明： 在平面内作直线 PQ直线 a ，在平面内作直线 MN直线 b 平面平面，PQ平面，MN平面， PQ/MN 又 a / p ， PQa Q ， MN b N ，平面/ 平面说

6、明： 如果在、内分别作 PQ， MN，这样就走了弯路，还需证明PQ 、MN在 、内，如果直接在、 内作 a 、 b 的垂线，就可推出 PQ / MN 由面面垂直的性质推出“线面垂直” ，进而推出 “线线平行” 、“线面平行” ，最后得到 “面面平行”，最后得到“面面平行” 其核心是要形成应用性质定理的意识， 在立体几何证明中非常重要典型例题九例 9如图所示， 平面/ 平面，点 A、C，点 B、D， AB a 是 、的公垂线，CD 是斜线若 AC BDb ， CDc ， M 、 N 分别是 AB 和 CD 的中点，(1)求证： MN /；(2)求 MN 的长分析：（1）要证 MN /，取AD 的

7、中点P ，只要证明MN 所在的平面PMN /为此证明PM /，PN/即可 (2)要求MN 之长，在CMA 中， CM、 CN 的长度易知，关键在于证明MN证明： (1)连结CD ，从而由勾股定理可以求解AD ，设 P 是 AD 的中点，分别连结PM、 PN M 是 AB 的中点， PM / BD 又BD， PM /同理N 是 CD 的中点， PN / AC AC， PN / /， PNPMP ，平面 PMN / MN平面 PMN ， MN /(2)分别连结 MC 、 MD 1 a ， ACBDb ， AMBM2又 AB是、的公垂线，CAMDBM90 ， Rt ACM Rt BDM ， CMDM

8、 ， DMC 是等腰三角形又 N 是 CD的中点， MN CD在 Rt CMN 中， MNCM 2CN214b2a2c2 2说明： (1)证“线面平行” 也可以先证 “面面平行” ，然后利用面面平行的性质， 推证“线面平行”，这是一种以退为进的解题策略(2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解(3) 面面平行的性质：面面平行，则线面平行；面面平行，则被第三个平面所截得的交线平行典型例题十例 10如果平面内的两条相交直线与平面所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是 _ 分析： 按直线和平面的三种位置关系分类予以研究解： 设 a 、 b 是平面内两条相交直线(1)

9、 若 a 、 b 都在平面内， a 、 b 与平面所成的角都为0 ，这时与重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑(2)若 a 、 b 都与平面相交成等角，且所成角在(0 , 90 ) 内； a 、 b 与有公共点，这时与相交若 a 、 b 都与平面成 90 角，则 a / b ，与已知矛盾此种情况不可能(3)若 a 、 b 都与平面平行，则 a 、 b 与平面所成的角都为0 ，内有两条直线与平面平行，这时/综上，平面、的位置关系是相交或平行典型例题十一例 11 试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行已知：A 平面 ，求证： 过 A有且只有一个平面/分析：“有且只有”要准确理解，要先证

10、这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可证明： 在平面内任作两条相交直线a 和 b ，则由 A知， Aa ， Ab 点 A 和直线 a 可确定一个平面 M ，点 A 和直线 b 可确定一个平面 N 在平面 M 、 N 内过 A 分别作直线 a / a 、 b / b ，故 a、 b是两条相交直线，可确定一个平面 a， a， a / a ， a / 同理 b /又 a， b， abA， / 所以过点A 有一个平面/假设过 A 点还有一个平面/，则在平面内取一直线 c ， Ac ，点 A 、直线 c 确定一个平面，由公理2 知：m ，n ， m/ c ， n / c ，又 A m ， A n

11、，这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立，所以平面只有一个所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行典型例题十二例 12 已知点 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点， 且 SA SB SC，SG 为 SAB 上的高， D 、 E 、 F 分别是 AC 、 BC 、 SC 的中点，试判断 SG 与平面 DEF 内的位置关系，并给予证明分析 1：如图，观察图形，即可判定SG/ 平面DEF，要证明结论成立，只需证明SG与平面 DEF 内的一条直线平行观察图形可以看出：连结 CG 与 DE 相交于 H ，连结 FH ， FH 就是适合题意的直线怎样证明 SG/ FH

12、？只需证明 H 是 CG 的中点证法 1：连结 CG交 DE 于点 H ， DE 是 ABC 的中位线， DE / AB在 ACG 中， D 是 AC 的中点，且 DH / AG ，H 为CG的中点 FH 是 SCG的中位线， FH / SG 又SG平面 DEF，FH平面 DEF， SG / 平面 DEF 分析2： 要证明 SG / 平面 DEF ，只需证明平面SAB / 平面 DEF ，要证明平面DEF / 平面 SAB ，只需证明SA/ DF ， SB/ EF 而 SA/ DF ， SB/ EF 可由题设直接推出证法 2： EF 为SBC 的中位线， EF / SBEF平面SABSB平面S

13、AB， EF / 平面 SAB同理： DF / 平面 SAB， EFDFF ，平面 SAB / 平面 DEF ，又 SG平面 SAB， SG/ 平面 DEF 典型例题十三例13如图，线段PQ 分别交两个平行平面、于 A、 B 两点，线段PD 分别交、于 C 、D 两点，线段QF分别交、于 F 、E 两点，若 PA9，AB12 ，BQ12，ACF的面积为72，求BDE 的面积分析： 求若 BDE与BDE 的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知ACF 的对应边有联系的话，可以利用ACF 的面积求出ACF 的面积，BDE 的面积解： 平面QAFAF，平面QAFBE ，又/，AF/BE同理可证

14、：AC / BD ，FAC 与EBD 相等或互补，即sinFACsinEBD 由FA/BE，得BEAFQBQA122412 ， BE 1AF 2由 BD / AC ，得： ACBDPAPB 921 37 ， BD7ACACF 的面积为 72，即 1 AF3又AC sin FAC 72 2SDBE1 BE BD sin EBD211 AF7 AC sinFAC22371 AFAC sinFAC6277284 6BDE 的面积为 84 平方单位说明：应用两个平行的性质一是可以证明直线与直线的平行，二是可以解决线面平行的问题 注意使用性质定理证明线线平行时，一定第三个平面与两个平行平面相交，其交线互

15、相平行典型例题十四例14在棱长为a 的正方体中，求异面直线BD 和B1C之间的距离分析： 通过前面的学习，我们解决了如下的问题：若a 和 b 是两条异面直线，则过a 且平行于 b 的平面必平行于过 b 且平行于 a 的平面我们知道，空间两条异面直线，总分别存在于两个平行平面内 因此，求两条异面直线的距离， 有时可以通过求这两个平行平面之间的距离来解决具体解法可按如下几步来求：分别经过 BD 和 B1C 找到两个互相平等的平面；作出两个平行平面的公垂线；计算公垂线夹在两个平等平面间的长度解： 如图，根据正方体的性质，易证：BD / B1D1A1B / D1C平面 A1BD / 平面 CB1 D1

16、连结 AC1 ，分别交平面A1 BD 和平面 CB1D1 于 M 和 N因为 CC1 和 AC1 分别是平面ABCD 的垂线和斜线，AC 在平面 ABCD 内， ACBD由三垂线定理：AC1BD ，同理：AC1A1D AC1 平面 A1BD ，同理可证： AC1 平面 CB1D1平面 A1BD 和平面 CB1D1 间的距离为线段MN 长度如图所示：在对角面 AC1 中， O1 为 A1C1 的中点， O 为 AC 的中点 AM MN NC11 AC13 a 33 BD 和 B1C 的距离等于两平行平面A1BD 和 CB1 D1 的距离为3 a 3说明： 关于异面直线之间的距离的计算，有两种基本

17、的转移方法：转化为线面距设a 、 b 是两条异面直线， 作出经过 b 而和 a 平行的平面，通过计算 a 和的距离，得出 a和 b 距离，这样又回到点面距离的计算；转化为面面距，设a 、 b 是两条异面直线，作出经过 b 而和 a 平行的平面，再作出经过 a 和 b 平行的平面，通过计算、之间的距离得出 a 和 b 之间的距离典型例题十五例 15正方体 ABCDA1 B1C1D1 棱长为 a ，求异面直线AC 与 BC1 的距离解法 1：（直接法）如图：取 BC 的中点 P ，连结 PD 、 PB1 分别交 AC 、 BC1于 M 、 N 两点，易证： DB1 / MN ， DB1AC ， D

18、B1 BC1 MN 为异面直线 AC 与 BC1 的公垂线段，易证： MN1 DB13 a 33小结：此法也称定义法， 这种解法是作出异面直线的公垂线段来解 但通常寻找公垂线段时，难度较大解法 2：（转化法）如图： AC / 平面 A1C1 B ， AC与 BC1 的距离等于 AC 与平面 A1C1 B 的距离，在 RtOBO1 中，作斜边上的高 OE ，则 OE 长为所求距离， OB2 a ， OO1a ，2 O1B3 a ， OEOO1 OB3 a 2O1B3小结： 这种解法是将线线距离转化为线面距离解法 3：（转化法）如图：平面 ACD1 / 平面 A1C1B ， AC 与 BC1 的距

19、离等于平面ACD1 与平面 A1C1B 的距离 DB1平面 ACD 1 ，且被平面ACD1 和平面 A1C1B 三等分；所求距离为1 B1 D3 a 33小结： 这种解法是线线距离转化为面面距离解法 4：（构造函数法）如图：任取点 QBC1 ，作 QRBC 于 R点，作PKAC于K点，设 RCx ，则BR QRax ， CKKR ，且 KR2CK 2CR2 KR21 CR21 x2 22则QK21 x 2(ax) 223 (x2 a)21 a21 a2 ，2333故 QK 的最小值，即AC 与 BC1 的距离等于3 a 3小结：这种解法是恰当的选择未知量， 构造一个目标函数， 通过求这个函数的

20、最小值来得到二异面直线之间的距离解法 5：（体积桥法）如图：当求 AC 与 BC1 的距离转化为求AC 与平面 A1C1B 的距离后，设 C 点到平面 A1C1 B 的距离为 h ，则 VCA1C1BVA1 BCC1 1 h3 ( 2a)21a 1 a 2 ，3432 h3 a 即 AC 与 BC1 的距离等于3 a 33小结： 本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，然后用体积公式求之这种方法在后面将要学到说明： 求异面直线距离的方法有：(1) （直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键(2)（转化法）把线

21、线距离转化为线面距离，如求异面直线a 、 b 距离，先作出过a 且平行于b 的平面，则b 与距离就是a 、 b 距离（线面转化法） 也可以转化为过 a 平行 b 的平面和过 b 平行于 a 的平面， 两平行平面的距离就是两条异面直线距离（面面转化法） (3)（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求(4)（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求典型例题十六例16如果/， AB和AC 是夹在平面与之间的两条线段，AB

22、AC ，且AB2 ，直线 AB 与平面解法 1：如图所示：所成的角为30，求线段AC 长的取值范围作 AD于 D，连结 BD、CD、BC ABBD， AC DC， AB2AC 2BC2，在BDC 中，由余弦定理，得：cosBD2 CD2 BC2AB 2AC 2BC2BDC2BD CD0 2BD CD AD， ABD是 AB与所在的角又/ ，ABD 也就等于 AB 与所成的角，即ABD30 AB 2， AD1， BD3，DCAC21， BC4 AC2， 13AC21 4AC 20，即： 013 23AC 21AC 21 AC23，即 AC 长的取值范围为23 ,33解法 2：如图： AB AC

23、AC 必在过点 A 且与直线 AB 垂直的平面内设l ，则在内，当 ACl 时， AC 的长最短，且此时 AC AB tan ABCAB23tan 303而在内， C 点在 l 上移动，远离垂足时，AC 的长将变大，23从而 AC，3即 AC 长的取值范围是23,3说明： (1) 本题考查直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系，对于运算能力和空间想象能力有较高的要求，供学有余力的同学学习(2)解法1 利用余弦定理，采用放缩的方法构造出关于AC 长的不等式，再通过解不等式得到 AC 长的范围，此方法以运算为主(3)解法2 从几何性质角度加以解释说明，避免了繁杂的运算推导，但对空间想象能力要求很高，根据此解法可知线段AC 是连结异面直线AB 和 l 上两点间的线段，所以AC 是AB 与 l 的公垂线段时，其长最短典型例题十七例17如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行已知：/，/，求证：/分析：本题考查面面平行的判定和性质定理以及逻辑推理能力由于两个平面没有公共点称两平面平行，带有否定性结论的命题常用反证法来证明，因此本题可用