选修4-5第一章复习导学案详

1、 选修4-5第一章复习导学案一、知识点梳理1两个实数大小关系a>b_；ab_；a<b_.2不等式的基本性质(1)对称性：如果a>b，那么_；如果_，那么a>b.即a>b_.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么_(3)可加性：如果a>b，那么_(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么_；如果a>b，c<0，那么_(5)乘方：如果a>b>0，那么an_bn(nN，n>1)(6)开方：如果a>b>0，那么_(nN，n>1)3绝对值三角不等式(1)性质1：|ab|_.(2)性质2：|a|b|_.

2、（3）性质3：_|a±b|_.4绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a0a<0|x|<a|x|>a(2)|axb|c (c>0)和|axb|c (c>0)型不等式的解法|axb|c_； |axb|c_.(3)|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想5基本不等式(1)定理：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立(2

3、)定理(基本不等式)：如果a，b>0，那么_，当且仅当_时，等号成立也可以表述为：两个_的算术平均_它们的几何平均(3)利用基本不等式求最值：对两个正实数x，y，如果它们的和S是定值，则当且仅当_时，它们的积P取得最_值；如果它们的积P是定值，则当且仅当_时，它们的和S取得最_值6三个正数的算术几何平均不等式(1)定理如果a，b，c均为正数，那么_，当且仅当_时，等号成立即三个正数的算术平均_它们的几何平均(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均_它们的几何平均，即_，当且仅当_时，等号成立7证明不等式的方法(1)比较法：求差比较法：知道a>bab>

4、0，a<bab<0，因此要证明a>b，只要证明_即可，这种方法称为求差比较法求商比较法：由a>b>0>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明_即可，这种方法称为求商比较法(2)分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的_，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法(4)反证法的证明步骤第一步

5、：作出与所证不等式_的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设从而证明原不等式成立(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地_，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立（6）几何法：通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法二、考点题型剖析题型一含绝对值的不等式的解法例1解不等式|x1|x1|3.法2.构造函数y|x1|x1|3，即y3分作出函数的图象，如图所示：函数的零点是，.从图象可知，当x或x时，y0，8分即|x1|x1|30.所以原不等式的解集为.10分练习：1.解不等式|x1|x2

6、|5. 2.解不等式|x3|2x1|11原不等式的解集为(，32，) 2 题型二含参数的绝对值不等式问题【例2】已知不等式|x1|x3|a.分别求出下列情形中a 的取值范围 (1)不等式有解；(2)不等式的解集为R；(3)不等式的解集为.解：由|x1|x3|x1(x3)|4.|x3|x1|(x3)(x1)|4.可得4|x1|x3|4.(1) 若不等式有解，则a4；(2)若不等式的解集为R，则a4；(3)若不等式解集为，则a4.练习：(2012·课标全国)已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解

7、(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2<x<3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集为x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,0题型三含绝对值的不等式的应用【例3】(2013·新课标全国卷)已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>1，且当x时，f(x)g(x)，求a的

8、取值范围解(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x(0,2)时，y0.所以原不等式的解集是x|0x2(2)当x时，f(x)1a， 不等式f(x)g(x)化为1ax3，所以xa2对x都成立，应有a2，则a，从而实数a的取值范围是.练习：(2012·新课标全国卷)已知函数f(x)|xa|x2|. (1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围 解(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2<x<3

9、时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集为x|x1，或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围是3,0.题型四、绝对值三角不等式的应用【例4】.若不等式|x1|x3|a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是_解析当a0时，显然成立；当a0时，|x1|x3|的最小值为4，a4.a2.综上可知a的取值范围是(，0)2练习：1(2012·陕西卷)若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_解析|xa|

10、x1|(xa)(x1)|a1|， 要使|xa|x1|3有解， 可使|a1|3，3a13， 2a4. 2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为_.题型五、不等式的证明例2-2(2013·课标全国)设a、b、c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.三、变式训练1 (2013·重庆)若关于

11、实数x的不等式|x5|x3|<a无解，则实数a的取值范围是_解析|x5|x3|5x|x3|5xx3|8，:(|x5|x3|)min8，要使|x5|x3|<a无解，只需a8.2 (2013·江西)在实数范围内，不等式|x2|1|1的解集为_解析由|x2|1|1得1|x2|11，解得0x4.不等式的解集为0,4 3 (2012·山东)若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.解析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.42014·江西卷 x，yR，若|x|y|x1|y1|2，则xy的取值范围为_答案0，25.不等式1的

12、实数解为_解析1，|x1|x2|.x22x1x24x4，2x30.x且x2.6.已知函数f(x)|x1|x2|m.(1)当m5时，求f(x)>0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)2的解集是R，求m的取值范围解(1)由题设知|x1|x2|>5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：或或解得函数f(x)的定义域为(，2)(3，)(2)不等式f(x)2即|x1|x2|>m2，xR时，恒有|x1|x2|(x1)(x2)|3，不等式|x1|x2|m2解集是R，m23，m的取值范围是(，17.已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2

13、)在(1)的条件下，若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围解方法一(1)由f(x)3得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2.(2)当a2时，f(x)|x2|，设g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|所以当x<3时，g(x)>5；当3x2时，g(x)5；当x>2时，g(x)>5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，5方法二(1)同方法一(2)当a2时，f(x)|x2|.设g(x)f(x)f(x5)由|x2|x3|

14、(x2)(x3)|5(当且仅当3x2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.从而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，58.(2013·辽宁)已知函数f(x)|xa|，其中a1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值解(1)当a2时，f(x)|x4|当x2时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；当2x4时，f(x)4|x4|无解；当x4时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5；所以f(x)4|x4|的解集为x|x1或x5(2)记h(x)f(2xa

15、)2f(x)，则h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2，所以于是a3.9.设函数,其中。（）当时，求不等式的解集；（）若不等式的解集为 ，求a的值。解：（）当时，可化为。由此可得 或。故不等式的解集为或。( ) 由 得此不等式化为不等式组 或即 或因为，所以不等式组的解集为由题设可得= ，故10.设函数f(x)|xa|(a0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)5，求a的取值范围解：(1)证明：由a>0 ，有f(x)|xa|a2，所以f(x)2.(2)f(3)|3a|.当a>3时，f(3)a，由f(3)<5得3<a<.当0<a3时，f(3)6a，由f(3)<5得<a3.综上，a的取值范围是.11.2014·江苏卷已知x>0，y>0，证明：(1xy2)(1x