第三节__矩阵的对角化

1、1第三节第三节 矩阵的对角化矩阵的对角化一矩阵的对角化的概念一矩阵的对角化的概念二矩阵的对角化判别与计算二矩阵的对角化判别与计算2一矩阵的对角化的概念一矩阵的对角化的概念若若n 阶方阵阶方阵A 与对角阵与对角阵12diag(,)n 相似，则称相似，则称 A 可对角化可对角化若若A 可对角化，则可对角化，则Am就比较容易计算了就比较容易计算了问题：问题：如何判别一个方阵是否可对角化？若如何判别一个方阵是否可对角化？若能够对角化，如何找可逆矩阵能够对角化，如何找可逆矩阵P？定义：定义：3二二. .矩阵矩阵可可对角化的判别与计算对角化的判别与计算A可可对角化对角化 A 1=PAP APPnP 12=

2、(,)存在可逆矩阵存在可逆矩阵 nnA 1212(,)=(,)使得使得n 12diag(,)121122(,)=(,)nnnAAA nnnAAA 111222,=使使得得 A有有n个线个线性无性无关关的特征向量的特征向量n 12,4由上面的讨论可得矩阵由上面的讨论可得矩阵A可对角化的充要条件可对角化的充要条件 .定理定理1：n 阶方阵阶方阵A可对角化可对角化A 有有n 个线性个线性无关的特征向量无关的特征向量上述定理告诉我们，找可逆矩阵上述定理告诉我们，找可逆矩阵P，使得，使得1=PAP 为对角阵，关键是找出为对角阵，关键是找出A的的n个线性个线性无关的特征向量满足无关的特征向量满足nnnAA

3、A 111222,=此时令此时令nP 12=(,)则则nPAP 112diag(,)5mrmmmr11112112,m 12, ,是数域是数域P上上n 阶矩阵阶矩阵A 的所有的所有设设jjjjr12,jEA XO ()是齐次线性方程组是齐次线性方程组不同的特征值，不同的特征值，是否仍线性无关？是否仍线性无关？的一个基础解系，的一个基础解系，jm 1,2,它们是它们是A的线性无关的特征向量，的线性无关的特征向量，我们自然会想：我们自然会想：把这把这m组向量合在一起，即组向量合在一起，即问题：问题： 如何判断数域如何判断数域P上的上的n阶矩阵阶矩阵A有没有有没有n个个线性无关的特征向量？线性无关的

4、特征向量？6定理定理2：证：证：sr 1212,线性无关线性无关12，是数域是数域P上上n 阶矩阵阶矩阵A 的的不同的不同的设设于于 线性无关的特征向量，则线性无关的特征向量，则 12,sr 1212,和和 ， ，分别是分别是A的属的属特征值，特征值，设设ssrrkkklll11221122两边左乘两边左乘A得得 7ssrrk Ak Ak Al Al Al A11221122ssrrkkklll 11121211212222,sskkk 1121212212()()(), 2 式两边乘以式两边乘以 得得以上两式相减得以上两式相减得 12由由于于，因因此此由由上上式式得得 从而有从而有ssrrk

5、kklll 12122221212222,sskkk1122,8由于由于s 12, 线性无关，线性无关，则则skkk120,rlll120,代入代入式得式得rrlll1122由于由于s 12, 线性无关，线性无关，则则sr 1212,线性无关线性无关从而从而9数域数域P上上n 阶矩阵阶矩阵A的属于不同特征值的属于不同特征值对于对于A的不同的特征值的个数作归纳，可得到的不同的特征值的个数作归纳，可得到定理定理3：mrmmmr11112112,m 12, ,是数域是数域P上上n 阶矩阵阶矩阵A 的的设设jjjjr12,j 是是A的属的属于于 的的不同的特征值，不同的特征值，线性无关线性无关线性无关

6、的特征向量，线性无关的特征向量， 则向量组则向量组jm 1,2,推论推论1：的特征向量线性无关。的特征向量线性无关。10从定理从定理3可得出如下结论：可得出如下结论：mrmmmr11112112,m 12, ,是数域是数域P上上n 阶矩阵阶矩阵A 的所有的所有设设jjjjr12,jEA XO ()是齐次线性方程组是齐次线性方程组不同的特征值，不同的特征值，一定线性无关一定线性无关的一个基础解系，的一个基础解系，jm 1,2,则则A的特征向量组的特征向量组11mrrrn12, 若若的特征向量，从而的特征向量，从而A不可以对角化；不可以对角化；则则A没有没有n个线性无关个线性无关mrrrn12,

7、若若特征向量，从而特征向量，从而A可以对角化；此时令可以对角化；此时令则则A有有n个线性无关的个线性无关的12111212122212=(,)mrrmmmrP则则P为为n 阶可逆矩阵，且阶可逆矩阵，且1=PAP 12mrrr 1122(,).mmdiag 12A 称为称为 的的相似标准型相似标准型注：注：除了主对角线元素排列次序外，除了主对角线元素排列次序外，A 的的相似相似标准型是被标准型是被 A A 唯一确定的。唯一确定的。 特别地，特别地，推论推论2：数域数域P上上n 阶矩阵阶矩阵A若若有有n个互异的特个互异的特征值，则征值，则A 可对角化。可对角化。13例例1 已知已知 31,51A

8、问问A 是否是否可对角化，可对角化，若可以，求若可以，求可逆矩阵可逆矩阵P ，使得，使得 为对角阵为对角阵1PAP 解：解：-3-1=(4)(2)-5+1EA 12=4,2 A 有两个互异的特征值，故有两个互异的特征值，故可对角化可对角化 求矩阵求矩阵A的的特征值特征值.14求求A 的特征向量的特征向量,EA XO(4)的一个基础解系是的一个基础解系是对于对于 14,求得齐次线性方程组求得齐次线性方程组 11;1 EA XO( 2)的一个基础解系是的一个基础解系是对于对于 22,求得齐次线性方程组求得齐次线性方程组1512, 线性无关，令线性无关，令 1211=15P ， P 可逆，且可逆，且

9、 112040=.002PAP 21;516例例2 设设(书书P168例例5. 3. 1)122212221A 判断判断A是否是否可对角化，若可对角化，可对角化，若可对角化，求求可逆矩阵可逆矩阵P ，使得，使得 为对角阵为对角阵1PAP 解：解：2122212(5)(1) ,221EA 125,1(, 二二重重） 求求A 的特征值的特征值1715, EA X O (5)=1111 一个基础解系为一个基础解系为求求A 的特征向量的特征向量,对于对于求得齐次线性方程组求得齐次线性方程组 21,EA X O()=一个基础解系为一个基础解系为对于对于求得齐次线性方程组求得齐次线性方程组1823011,

10、0,11因为因为3阶矩阵阶矩阵 A 有有3个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，故故A可对角化可对角化. 构造构造可逆矩阵可逆矩阵P令令 123=P，101110111 ，191=PAP 则则500010.001 或者或者 令令 1213=P，011110111 ，1111=PAP 则则100050.001 20 令令 2231=P，011101111 ， 令令 3321=P，101011111 ，1332=.PAP 则则1222=PAP 则则100010 .005 21例例3 判断判断(书书P169例例5.3.2) 0100A 是是否否可可 角 角化化. .对对解：解：210,0EA 0 为为A 的特征值的特征值0, 对于对于 0EA XO 求求的一个基础解系的一个基础解系: 10 因为因为A 只有一个线性无关的特征向量只有一个线性无关的特征向量, 故故A不能不能对角化对角化.22例例4 设二阶方阵设二阶方阵A满足满足其中其中11222,2,AA 解：解：12, 1211(,),11P 12(1, 1)