第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动

1、2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动第七章第七章 理想不可压缩流体的理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动有旋流动和无旋流动第一节第一节 流体微团运动的分解流体微团运动的分解 第三节第三节 理想流体的旋涡运动理想流体的旋涡运动第四节第四节 有势流动有势流动 速度势和流函数速度势和流函数2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动在一般情况下，流体微团的运动可分解为三部分：在一般情况下，流体微团的运动可分解为三部分： 以流体微团中某点的速度作整体平移运动以流体微团中某点的速度作整体平移运动 绕通过该点轴的旋转运动绕通过该点轴的旋转运动 微团本身的变形运动

2、微团本身的变形运动线速度线速度旋转角速度旋转角速度线变形速率线变形速率剪切变形速率剪切变形速率第一节第一节 流体微团运动的分解流体微团运动的分解2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动（1 1）平移运动）平移运动 矩形矩形ABCDABCD各角点具有相同的速度分量各角点具有相同的速度分量u u、v v。导致矩形。导致矩形ABCDABCD平移平移udt, udt, 上移上移vdt, ABCDvdt, ABCD的形状不变。的形状不变。2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动（2 2）线变形运动）

3、线变形运动dxxuuuABdxxuuuDCdyyvvvAD dyyvvvBC l x x方向的速度差方向的速度差l y y方向的速度差方向的速度差l AB AB、DC DC 在在dtdt时间内伸长时间内伸长dxdtxul AD AD、BC BC 在在dtdt时间内缩短时间内缩短dydtyv2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动 定义定义: :单位时间内单位长度流体线段的伸长或缩短量为流单位时间内单位长度流体线段的伸长或缩短量为流体微团的线变形速率。体微团的线变形速率。 沿沿x x轴方向的线变形速率为轴方向的线变形速率为 xxxudxdtdxdtxu yvyy zwzz

4、沿沿y y轴、轴、z z轴方向的线变形速率为轴方向的线变形速率为zwyvxuzzyyxx 对于不可压缩流体，上式等于零，即不可压缩流体的连续性方对于不可压缩流体，上式等于零，即不可压缩流体的连续性方程，表明流体微团在运动中体积不变。程，表明流体微团在运动中体积不变。 三个方向的线变形速率之和所反映的实质是流体微团体积在单三个方向的线变形速率之和所反映的实质是流体微团体积在单位时间的相对变化，称为流体微团的体积膨胀速率。位时间的相对变化，称为流体微团的体积膨胀速率。2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动（3 3）角变形运动）角变形运动 yyDduuuAyyBduuuCdx

5、xvvvABdxxvvvDCdtxvdxdxdtxvdd tandtyudydydtyudd tan2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动yuxvyxxy21zvywzyyz21xwzuxzzx21角变形速率：角变形速率：两正交微元流体边的夹角在单位时间内的变化量。两正交微元流体边的夹角在单位时间内的变化量。剪切变形速率：剪切变形速率：yuxvdtdd212/ )(2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动（4 4）旋转运动）旋转运动 且符号相反且符号相反 则流体微团只发生旋转，不发生角变形则流体微团只发生旋转，不发生角变形dd 大多数情况下，流体微

6、团在发生角变形的同时，还大多数情况下，流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动。要发生旋转运动。2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动沿沿z z轴流体微团的旋转角速度分量：轴流体微团的旋转角速度分量： yuxvdtddz2121旋转角速度：旋转角速度： 过流体微团上过流体微团上 A A点的任两条正交微点的任两条正交微元流体边在其所在平面内旋转角速度的元流体边在其所在平面内旋转角速度的平均值，称作平均值，称作 A A点流体微团的旋转角速点流体微团的旋转角速度在垂直该平面方向的分量。度在垂直该平面方向的分量。zvywx21xwzuy21Vkjizyx21222zyxdt

7、xvddtyud2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动dzzvdyyvdxxvvvyyyyEydzzvdyyvdxxvvvzzzzEz dydzdzdydxxvvvzyxzxyxxExdzdxdxdzdyyvvvxzyxyzyyEydxdydydxdzzvvvzxzyzxzzEzdzzvdyyvdxxvvvxxxxEx第一项：平移运动第一项：平移运动第二项：线变形运动第二项：线变形运动第三项：角变形运动第三项：角变形运动第四项：旋转运动第四项：旋转运动2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动 根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两类：根

8、据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两类：有旋流动和无旋流动有旋流动和无旋流动。 当当 021V021V当当 无旋流动无旋流动 有旋流动有旋流动 通常以通常以 是否等于零作为判别流动是否有旋或无旋的是否等于零作为判别流动是否有旋或无旋的判别条件。判别条件。 V 在笛卡儿坐标系中：在笛卡儿坐标系中： kyvxvjxvzvizvyvVxyzxyz2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动即当流场速度同时满足：即当流场速度同时满足： zvyvyzxvzvzxyvxvxy时流动无旋时流动无旋 需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发需要指出的是，有旋流动和无

9、旋流动仅由流体微团本身是否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。 如图如图a a流体微团的运动为旋转的圆周运动，其微团自身不旋流体微团的运动为旋转的圆周运动，其微团自身不旋转，流场为无旋流动；图转，流场为无旋流动；图b b流体微团的运动尽管为直线运动，但流体微团的运动尽管为直线运动，但流体微团在运动过程中自身在旋转，所以该流动为有旋流动。流体微团在运动过程中自身在旋转，所以该流动为有旋流动。（a a） （b b） 2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动【例例】某一流动速度场为某一流动速度场为 ， ，其中，其中 是不

10、为是不为零的常数，流线是平行于零的常数，流线是平行于 轴的直线。试判别该流动是有旋流动轴的直线。试判别该流动是有旋流动还是无旋流动。还是无旋流动。 【解】：由于：由于021zvyvyzx02121ayvxvxyz所以该流动是有旋运动。所以该流动是有旋运动。ayvx0zyvvaxx021xvzvzxy2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动第三节第三节 理想流体的旋涡运动理想流体的旋涡运动 本节主要讲述理想流体有旋运动的理论基础，重点是速度环本节主要讲述理想流体有旋运动的理论基础，重点是速度环量及其表征环量和旋涡强度间关系的量及其表征环量和旋涡强度间关系的斯托克斯定理。斯托

11、克斯定理。 一、涡线、涡管、涡束和旋涡强度一、涡线、涡管、涡束和旋涡强度涡量用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为：涡量用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为：V2涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为：zvyvyzxxvzvzxyyvxvxyz也称为也称为旋度旋度2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动0涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为：zvyvyzxxvzvzxyyvxvxyz称为称为无旋流动无旋流动0称为称为有旋流动有旋流动若

12、若2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动1 1、涡线：、涡线：涡线是在给定瞬时和涡量涡线是在给定瞬时和涡量矢量相切的曲线。矢量相切的曲线。涡线涡线 根据涡通量矢量与涡线相切的条件，根据涡通量矢量与涡线相切的条件，涡线的微分方程为：涡线的微分方程为：),(),(),(tzyxdztzyxdytzyxdxzyx 在流场的全部或部分存在角速度的场，称为涡量场在流场的全部或部分存在角速度的场，称为涡量场。如同在速如同在速度场中引入了流线、流管、流束和流量一样。在涡量场中同样也引度场中引入了流线、流管、流束和流量一样。在涡量场中同样也引入涡线、涡管、涡束和旋涡强度的概念。入涡线、

13、涡管、涡束和旋涡强度的概念。2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动3 3、旋旋涡强度（涡通量）涡强度（涡通量） 在涡量场中取一微元面积在涡量场中取一微元面积dAdA，其流体微团的涡通量为，其流体微团的涡通量为 ， 为为dAdA的外法线方向，定义的外法线方向，定义 2ndAdAnAddJn2)cos(2 为任意微元面积为任意微元面积dAdA上的旋上的旋涡强度，也涡强度，也称涡通量。称涡通量。2 2、涡管、涡束：涡管、涡束：在涡量场中任取一不是涡在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，在同一时刻过该曲线每一点线的封闭曲线，在同一时刻过该曲线每一点的涡线形成的管状曲面称作涡管。的

14、涡线形成的管状曲面称作涡管。截面无限截面无限小的涡管称为微元涡管。涡管中充满着的作小的涡管称为微元涡管。涡管中充满着的作旋转运动的流体称为涡束。旋转运动的流体称为涡束。涡管涡管2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动任意面积任意面积A A上的旋上的旋涡强度为：涡强度为：dAdAJnAA2 如果面积如果面积A A是涡束的某一横截面积，就称为涡束旋涡强度，它是涡束的某一横截面积，就称为涡束旋涡强度，它也是旋转角速度矢量的通量。也是旋转角速度矢量的通量。2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动二、速度环量、斯托克斯定理二、速度环量、斯托克斯定理1 1、速度

15、环量：速度环量：在流场的某封闭周线上，如图，流体速度矢量沿周在流场的某封闭周线上，如图，流体速度矢量沿周线的线积分，定义为速度环量，用符号线的线积分，定义为速度环量，用符号 表示，即表示，即: : )(dzvdyvdxvsdvzyx 速度环量是一代数量，它的正速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分的绕行方负与速度的方向和线积分的绕行方向有关。向有关。对非定常流动，速度环量对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算。时曲线上各点的速度计算。2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动2 2、斯托克斯（、斯托

16、克斯（StokesStokes）定理：）定理：在涡量场中，沿任意封闭周线的速在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围曲面面积的旋涡强度，即度环量等于通过该周线所包围曲面面积的旋涡强度，即: :JdAAdsdvnAA2 这一定理将旋涡强度与速度环量联系起来，给出了通过速度环这一定理将旋涡强度与速度环量联系起来，给出了通过速度环量计算旋涡强度的方法。量计算旋涡强度的方法。 【例例1 1】已知二维流场的速度分布为已知二维流场的速度分布为 ， ，试求绕圆，试求绕圆 的速度环量。的速度环量。 yvx3xvy4222Ryx【解】【解】 此题用极坐标求解比较方便，坐标变换为此题用极坐标求解比

17、较方便，坐标变换为: : cosrx sinry 速度变换为速度变换为 sincosyxrvvvsincosxyvvv22sin3cos4rrv2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动【例【例2 2】 一二维元涡量场，在一圆心在坐标原点、半径一二维元涡量场，在一圆心在坐标原点、半径 的圆区域内，流体的涡通量的圆区域内，流体的涡通量 。若流体微团在半径。若流体微团在半径 处的速度分量处的速度分量 为常数，它的值是多少？为常数，它的值是多少？ mr1 . 0smJ/4 . 02rv【解】由斯托克斯定理得【解】由斯托克斯定理得 ：Jrvrdv202smrJv/21 . 024

18、. 02)rdrr(2022sin3cos4 dr)sin3cos4(20222 2202227cos6rdrr2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动第四节第四节 有势流动有势流动 速度势和流函数速度势和流函数一、有势流动一、有势流动 速度势速度势 不可压缩流体或可压缩流体作无旋流动时，总有速度势存在，不可压缩流体或可压缩流体作无旋流动时，总有速度势存在，故无旋流动也称有势流动。故无旋流动也称有势流动。yvxvxvzvzvyvxyzxyz0上式是上式是 成为某一函数成为某一函数 的全微分的全微分的必要且充分的条件，函数的必要且充分的条件，函数 称为速度势函数。称为速度势

19、函数。 dzvdyvdxvzyx),(tzyx),(tzyx1.1.有势流动有势流动2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动2.2.速度势速度势dzvdyvdxvdzzdyydxxdzyxzvyvxvzyx势函数势函数 的微分方程的微分方程),(tzyx3.3.速度势的性质速度势的性质（1 1）速度沿三个坐标轴的分量等于速度势对于相应坐标的偏导数）速度沿三个坐标轴的分量等于速度势对于相应坐标的偏导数zvyvxvzyxzvrvrvzr12022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动（2 2）在有势流动中，沿一曲线的速度环量等于曲线终点与起点的）在有势流动中，沿一曲线的速度环量等于曲线终点与起点的速度势之差。速度势之差。（3 3）在有势流动中，速度势函数满足拉普拉斯方程。）在有势流动中，速度势函数满足拉普拉斯方程。ABBABABAzyxABddzzdyydxxdzvdyvdxv02222222zyx2022-3-10第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动二、流函数二、流函数1.1.流函数存在的条件流函数存在的条件不可压缩流体的平面流动不可压缩流体的平面流动上式是上式是 成为某一函数成为某一函数 的全微分的必要的全微分的必要且充分的条件，函数且充分的条件，函数 称为流