概率论与数理统计公式总结【已整理可直接打印】

1、弟一早P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)特别地，当A、B互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)条件概率公式概率的乘法公式P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)全概率公式：从原因计算结果nP(A)-P(Bk)P(A|Bk)k1Bayes公式：从结果找原因P(Bi)P(A|BJn'P(B"(A|Bk)k1P(Bk|A)项分布(Bernoulli分布)XB(n,p)对连续型随机变量匚/xF(x)=P(X_x)=i-f(t)dt分布函数与密度函数的重要关系：xF(x)=P(X<x)-J-f(t)dtF'(x)=f(x)二元随机变量及其边缘分布

2、分布规律的描述方法联合密度函数f(x,y)联合分布函数F(x,y)f(x,y)-0f(x,y)dxdy=10MF(x,y)<1F(x,y)=PX<x,Y<y、y'口联合密度与边缘密度fX(x)=£f(x,y)dyfY(y)=f(xy)dx6-beE(X)=£xkRk=jooE(X)=xf(x)dxL-iiOa、b为常数Y为任意随机变量RX=k)=Ckpk(1-p)n"，(k=0n.n)泊松分布一一X-P(入)-kP(X=k)(k=0,1，)k!概率密度函数Cf(x)dx=1怎样计算概率P(a<X<b)bP(a三X三b)=f(x

3、)dxa均匀分布XU(a,b)1f(x)=-1-(a<x<b)b-a指数分布X-Exp(0)1一/日f(x)=-e"/(x'0)分布函数对离散型随机变量F(x)=P(X三x)=二P(X=k)k<x离散型随机变量的独立性PX=i,Y=j=PX=iPY=j连续型随机变量的独立性f(x,y户fX(x)fy(y)第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义E(a)=a，其中a为常数E(a+bX)=a+bE(X),其中E(X+Y)=E(X)+E(Y),X、随机变量g(X)的数学期望E(g(X)=£g(xk)Pkk常用公式E(X)=工

4、Zx自|E(X)="xf(x,y)dxdy正态分布E(XY)=xyjPj(x)21-92f(x)：-e2二2二二E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=xyf(x,y)dxdy._2E(X)=.；，D(X)=。标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式当X与Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y)方差定义式D(X)=；x-E(X)2f(x)dx常用计算式D(X)=E(X2)E(X)2P(ZMa)=P(Za)(a)P(Z-a)=P(Za)=1-(a)PZ£b)=：'(b)-(a)P(-a三Z三a)=：,(a)-(a)=2>(a)-1一般正态分布的概率计算,2

5、X-XN(J,二2)=ZN(0,1)CT常用公式D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(X-E(X)(Y-E(Y)当X、Y相互独立时：D(X+Y)=D(X)+D(Y)方差的性质D(a)=0,其中a为常数D(a+bX)=b2D(X),其中a、b为常数当X、丫相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数E双-E(X)丫-E(Y)f?-E(XY)-E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)p.CoVX,Y)XYi1Jd(X)D(丫)|协方差的性质一般正态分布的概率计算公式a-二P(XMa)=P(X:二a)=->()cr,a_P(X_a);P(Xa)=：，()

6、CT_,b-',a-JP(a<XMb)=中()->()crcr第五章卡方分布n若XN(0,1),则“X：2(n)i1若YN(,。2),贝I-2VYi-L2(n)'、-i1t分布Cov(X,X)=E(X2)-(E(X)2=D(X)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)独立与相关独立必定不相关相关必定不独立不相关不一定独立第四章XN(产2)若XN(0,1),Y-2(n),则X、Y/nt22U/n右U(n。V-(1),F(n1，n2)V/n2F分布正态总体条件下样本均值的分布：二2XN(口，)nX-1二/.nN(

7、0,1)样本方差的分布：*22（n-1）cr两个正态总体的方差之比t(n-1)22Si/S2._2/一2'T/2F(ni-1,n2-1)正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本且方差已知r222,一一一1仃1.仃2（X1-X2）±ZO（/2J十nn1n2,两个正态总体方差比的置信区间第六章点估计：参数的估计值为一个常数矩估计最大似然估计似然函:nL=二f（X；i）L=p（Xi；i）i3-均值的区间估计大样本结果Jf/2TJ_2_2s/S2L-121）第七章假设检验的步骤_2_2s/S2Fa/2(n1-1,n2-1)J根据具体问题提出原假设H0和备择

8、假设H1根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。不可避免的两类错误第1类（弃真）错误：原假设为真，但拒绝了原假设第2类（取伪）错误：原假设为假，但接受了原假设单个正态总体的显著性检验；x一容天为伍匕一标准差（通常未知，可用样本标准差s代替）in一样本容量（大样本要求n>50），分2正态分布的分位点I_一一一一一一一一_单正态总体均值的检验大样本情形Z检验正态总体小样本、方差已知Z检验正态总体小样本、方差未知t检验P-z1/2vnp一样本比例n一样本容量（大样本要求n>50）加2正态分布的分位点单正态总体方差的检验正态总体、均值未知卡方检验单正态总体均值的显著性检验统计假设的形式H0：N=N0H/N#，双边检验九：以士、$:卜<匕左边检验小样本、正态总体、标准差仃已知产仪小样本、正态总体、标准差。未知（3）H。：三0H1：丁单正态总体均值的Z检验右边检验X-LZ=X（大样本情形仃未知时用S代替）一工，ssx±tc/2（n-1）-p<Vn）ta2（n-1）自由度为n-1的t分布的分位点拒绝域的代数表示双边检3经Z之Z2左边检3金Z-三-Z右边检3金Z-Z比例一一特殊的均值的Z检验(n-1)S2(n-1)S22,：721