广东省广州市2020届高三一模理科数学(试题(附答案)

1、2021年高考数学第一次模拟测试试卷(理科)、选择题1 .复数z满足(1+i)z=2i,那么|z|=()A.6B.1C.浮D.2 .集合A=0,1,2,3,B=x|x=n2-1,nCA,P=AnB,那么P的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个3.+cos140°sin10B.V3C.4,命题p：?xCR,x2-x+1<0;命题q：?xCR,x2>x3,那么以下命题中为真命题的是()A.pAqB.pAqC.pAqD.pAqio5 .函数f(x)满足f(1x)=f(1+x),当x>1时,f(x)=x,贝Ux|f(x+2)X>1=()A.x|x<-3或

2、x>0C. x|x<2或x>0B.x|x<0或x>2D. x|xv2或x>46 .如图,圆.的半径为1,A,B是圆上的定点,OBLOA,P是圆上的动点,点P关于直线OB的对称点为P',角x的始边为射线OA,终边为射线OP,将由-市|表示为x的函数f(x),那么y=f(x)在0,兀上的图象大致为()7 .陀螺是中国民间最早的娱乐工具,也称陀罗.如图,1,粗线画出的是某个陀螺的三视图,那么该陀螺的外表积为A.(7+2、代)兀B.(10+26)兀C.(10+46)兀D.(11+4&)兀8 .某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,其轨道的

3、离心率为e,设地球A.C.r+1-G2&B.D.9 .羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运发动组成.er+1-e某班级从3名男生Ai,A2,A3和3名女生Bi,B2,B3中各随机选出两名,把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛,那么Ai和Bi两人组成一队参加比赛的概率为A.210 .F1,F2是双曲线C:气aD.-y2=1a>0的两个焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与C相交于A,B两点,假设|AB|=&,那么ABF2的内切圆的半径为B.D.11.函数f(x)的导函数为f'(x),记f1(x)=f'(x),f2(x)=f1'(x),fn+1

4、(x)=fn'(x)(nCN*).假设f(x)=xsinx,贝Uf2021(x)+f2021(x)=()A. 一2cosxB. 一2sinxC. 2cosxD. 2sinx半径为R,该卫星近地点离地面的距离为r,那么该卫星远地点离地面的距离为12 .正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为2,E,F,G分别是棱AD,CCi,C1D1的中点,给出以下四个命题：EF±BiC；直线FG与直线AiD所成角为60.；过E,F,G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;三棱锥B-EFG的体积为得.其中,正确命题的个数为()A.iB.2C.3D.4二、填空题13 .设向量短(m,i),fb

5、=(2,i),且二？芯=(蓑布2),那么m=-i4,某种产品的质量指标值Z服从正态分布N(丛b2),且P(c3(tvZv四+3(t)=0.9974.某用户购置了i0000件这种产品,那么这i0000件产品中质量指标值位于区间(科-3d,p+3(T)之外的产品件数为.15 .(3x2-2x-1)5的展开式中,x2的系数是.(用数字填写答案)16 .ABC的三个内角为A,B,C,且sinA,sinB,sinC成等差数列,那么sin2B+2cosB的最小值为,最大值为.三、解做题|1|17 .记Sn为数列an的前n项和,2Sn-an=TTj-(nCN*).(1)求an+an+i(2)令bn=an+2

6、-an,证实数列bn是等比数列,并求其前n项和Tn.18 .如图,三棱锥P-ABC中,PA=PC,AB=BC,/APC=120°,/ABC=90°,AC=a/3PB.(1)求证：ACXPB；(2)求直线AC与平面PAB所成角的正弦值.80个零19 .某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况,从生产线上随机抽取了件进行测量,根据所测量的零件尺寸(单位:mm),得到如图的频率分布直方图:0.01；4个,设X表示80个零件尺寸100个.企业(1)根据频率分布直方图,求这80个零件尺寸的中位数(结果精确到(2)假设从这80个零件中尺寸位于62.5,64.5)之外的零件中随机抽

7、取尺寸在64.5,65上的零件个数,求X的分布列及数学期望EX;(3)尺寸在63.0,64.5)上的零件为一等品,否那么为二等品,将这的样本频率视为概率.现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售,每箱在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验,每个零件的检验费用为99元.假设检验,那么将检验出的二等品更换为一等品；假设不检验,如果有二等品进入买家手中,企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用.现对一箱零件随机抽检了11个,结果有1个二等品,以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据,该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.,.bq'4八、,.20 .函数f

8、(x)=alnx,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线万程为2xxy2e=0.(1)求a,b的值；(2)证实函数f(x)存在唯一的极大值点xo,且f(xo)<2ln2-2.21 .点P是抛物线C：丫=二五3的顶点,A,B是C上的两个动点,且瓦？而=-4.(1)判断点D(0,1)是否在直线AB上？说明理由；(2)设点M是4PAB的外接圆的圆心,点M到x轴的距离为d,点N(1,0),求|MN|-d的最大值.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.选彳4-4:坐标系与参数方程,一、-rX=t<OS22 .曲线Ci的参数万程为_

9、内(t为参数),曲线C2的参数万程为y=Utsinf芯三sin./八必金将、I(0为参数).y=Vl+cas29(1)求Ci与C2的普通方程；(2)假设Ci与C2相交于A,B两点,且|AB|=*,求sin的值.选彳4-5:不等式选讲23 .a>0,b>0,且a+b=1.(1)求+的最小值；(2)证实:弊一叵JbW2、选择题：此题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.复数z满足(1+i)z=2i,那么|z|=()A.我B.1C.孚D.y【分析】把等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,代入复数模的计算公式得答案.解：:(1+i)

10、z=2i,.一且一.y(HiXio2115应选：A.2,集合A=0,1,2,3,B=x|x=n2-1,nCA,P=AnB,那么P的子集共有()A,2个B,4个C. 6个D. 8个【分析】求出集合A,B,从而求出P=AAB,由此能求出P的子集的个数.解：.集合A=0,1,2,3,B=x|x=n2-1,nCA=-1,0,3,8,P=AAB=0,3,.P的子集共有22=4个.应选：B.3.sin80°cos50°+cos140°sin10°=()A.B.C.D.【分析】直接利用三角函数关系式的变换的应用求出结果.解：sin80°cos50°

11、+cos140°sin10°=cos10°cos50°-sin50°sin10°=cos(50+10)=cos60=工.应选：D.4,命题p：?xCR,x2-x+1v0；命题q：?xCR,x2>x3,那么以下命题中为真命题的是A.pAqB.pAqC.pAqD.pAq【分析】根据条件判断命题p,q的真假,结合复合命题真假关系进行判断即可.解：X2-x+1=(X-金")2+子>0恒成立,故命题p：?xCR,x2-x+1V0为假命题,24当x=-1时,x2>x3,成立,即命题q：?xCR,x2>x3,为真命

12、题,那么pAq为真,其余为假命题,应选：B.5.函数f(x)满足f(1x)=f(1+x),当x>1时,f(x)=x-,贝Ux|f(x+2)>1=()A.x|xv3或x>0B.x|xv0或x>2C.x|xv2或x>0D.x|xv2或x>4【分析】根据条件判断函数的对称性和单调性,结合不等式先求出f(x)>1的解,然后求出f(x+2)>1的解即可.那么f(x)为增函数,且f(2)=2-1=1,解：由f(1x)=f(1+x)当x>1时,f(x)=x-,x)>1得xv由f(x)>1得x>2,由对称性知当x<1时,由f综上f(

13、x)>1得x>2或x<0,由f(x+2)>1得x+2>2或x+2V0,得x>0或xv-2,即不等式的解集为x|xv-2或x>0,应选：C.6 .如图,圆O的半径为1,A,B是圆上的定点,OBOA,P是圆上的动点,点P关于直线OB的对称点为P',角x的始边为射线OA,终边为射线OP,W|OP-|OF?,|表示为x的函数f(x),那么y=f(x)在0,兀上的图象大致为()【分析】设pp'的中点为m,那么由_gp厂|=p口|=21百i|,当xq0,二r时,在RtAOMP中,利用三角函数可知,|PM|=cosx,所以f(x)=2cosx,从而得

14、解.解：设PP'的中点为M,那么屈-五1=|好|切而|,当xC0,彳时,在RtAOMP中,|OP|=1,/OPM=/POA=x,所以cosx=LL,、,_rr,、,-n一所以pM|=cosx,心pOP,|=2cosx,即f(x)=2cosx,xq.,一.£-i从四个选项可知,只有选项A正确,7 .陀螺是中国民间最早的娱乐工具,也称陀罗.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个陀螺的三视图,那么该陀螺的外表积为()C.(10+4日)兀D.(11+4S/2)兀【分析】画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的外表积即可.解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱

15、,下部是圆锥,几何体的外表积为：4兀七4nM十2元X3=(10+4/二)兀.应选：C.8.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,其轨道的离心率为e,设地球半径为R,该卫星近地点离地面的距离为r,那么该卫星远地点离地面的距离为C.1千巳2er+l.-el-el-el+er+1+qB.D.1+el-er+-1+ea,【分析】由题意画出图形,结合椭圆的定义,结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离.解：椭圆的离心率：e=C0,1,c为半焦距；a为长半轴只要求出椭圆的c和a,设卫星近地点,远地点离地面距离分别为由题意,结合图形可知,a-c=r+R,远地点

16、离地面的距离为:n=a+cR,m=a-c-R,r+Ra=c=l-e所以远地点离地面的距离为：n=a+c-R=l-el-e3名男生Ai,A2,A39.羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运发动组成.某班级从和3名女生Bi,B2,B3中各随机选出两名,把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛,那么Ai和Bi两人组成一队参加比赛的概率为B.C.【分析】分别计算出选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛的根本领件总数和满足Ai和Bi两人组成一队的根本领件个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案解：从3名男生Ai,A2,A3和3名女生Bi,B2,B3中各随机选出两名,共有C32C32=9,选出

17、的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛有C21C21=4,故总的事件个数为9X4=36#,其中Ai和Bi两人组成一队有C21C21=4种,一一I41故那么Ai和Bi两人组成一队参加比赛的概率为=-duy应选：A.10.Fi,F2是双曲线C:2y2=ia>0的两个焦点,过点Fi且垂直于x轴的直线与C相交于A,B两点,|AB|=V2,那么ABF2的内切圆的半径为A.B.D.【分析】设左焦点Fi的坐标,由过Fi垂直于x轴的直线与椭圆联立可得弦长AB,再由ABF2椭圆可得a的值,进而可得双曲线的方程,及左右焦点的坐标,进而求出三角形的面积,再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内

18、切圆的半径.解：由双曲线的万程可设左焦点Fic,0,由题意可得AB=JR2,再由ba2=1,可得a=Vl,所以双曲线的方程为：色-y2=1,所以Fi於,0,F2芯,0,所以S叫%=忠？F1F2正2代=娓,三角形ABF2的周长为C=AB+AF2+BF2=AB+(2a+AFi)+(2a+BFi)=4a+2AB=设内切圆的半径为r,所以三角形的面积所以372解得：=容,应选：B.11.函数f(x)的导函数为f'(x),记fi(x)=f'(x),f2(x)=fi'(x),fn+1(x)=fn'(x)(nCN*).假设f(x)=xsinx,那么f2021(x)+f2021

19、(x)=()A. 一2cosxB. 2sinxC. 2cosxD. 2sinx【分析】求出函数的导数,结合函数的导数寻找规律进行计算即可.解：f(x)=xsinx,贝Ufi(x)=f'(x)=sinx+xcosx,f2(x)=fi'(x)=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx,f3(x)=f2'(x)=-2sinx-sinx-xcosx=-3sinx-xcosxf4(x)=f3'(x)=-3cosx-cosx+xsinx=-4cosx+xsinxfs(x)=f4'(x)=4sinx+sinx+xcosx=5sinx+xcosxf6(x)

20、=f5'(x)=5cos+cosx-xsinx=6cosx-xsinx,f7(x)=f6'(x)=6sinx-sinxxcosx=7sinxxcosx,贝Ufi(x)+f3(x)=sinx+xcosx3sinxxcosx=-2sinx,f3(x)+fs(x)=3sinx-xcosx+5sinx+xcosx=2sinx,fs(x)+f7(x)=5sinx+xcosx-7sinx-xcosx=-2sinx,即f4n+1(x)+f4n+3(x)=2sinx,f4n+3(x)+f4n+5(x)=2sinx那么f2021(x)+f2021(x)=2sinx,应选：D.12.正方体ABCD

21、-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是棱AD,CCi,CiDi的中点,给出以下四个命题：EF±BiC;直线FG与直线AiD所成角为60°过E,F,G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；三棱锥B-EFG的体积为年.其中,正确命题的个数为()A.1B,2C,3D.4【分析】画出几何体的图形,然后转化判断四个命题的真假即可.解：如图；连接相关点的线段,O为BC的中点,连接EFO,由于F是中点,可知BiC±OF,EOXBiC,可知BiC,平面EFO,即可证实BiCXEF,所以正确;G直线FG与直线Aid所成角就是直线AiB与直线AiD所成角为60.；正确;过E

22、,F,G三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形ENFGI.所以不正确;三棱锥B-EFG的体积为:VgebmX3X2-X2Al-yX3X1)X2Vfebm=鼻(等又24><2><l-yxsxi)xi口上乙.所以三棱锥B-EFG的体积为二6正确;二、填空题：此题共4小题,每题5分,共20分.13.设向量a=(m,1),b=(2,1),且名？B与(ai2+b|2),那么m=【分析】根据二？-1r-b=(a2+b2),整理得U-b)2=0;进而求得结论.解：由于向量后=(m,1),三=(2,1),且ra?>4庄+钟,a2a?b+i/=.？Q-b)=0；*B

23、i1a=b；.m=2;故答案为：2.14 .某种产品的质量指标值Z服从正态分布N(丛(T2),且P(c3(rVZv四+3(t)=0.9974.某用户购置了10000件这种产品,那么这10000件产品中质量指标值位于区间(科-3d,p+3(T)之外的产品件数为26.【分析】直接利用P(科-3bVZv叱3b)=0.9974以及其对立面即可求解.解：由于某种产品的质量指标值Z服从正态分布N(科,b2),且P(科-3bZv改3(T)=0.9974.所以10000件产品中质量指标值位于区间(厂3d,四+3b)之外的产品件数为：10000X(1-0.9974)=26;故答案为：26.15 .(3x2-2x

24、-1)5的展开式中,x2的系数是25.(用数字填写答案)【分析】把原式化简成二项式结构,利用通项公式可得答案解：由于：(3x2-2x-1)5=3x2-(2x+1)5;其展开式的通项公式为：Tr+1=C：(3x2)5r?-(2x+1)r;o要求x2的系数；所以：当5-r=0,即r=5时,需求-(2x+1)5的展开式的x2项,故此时x2的系数是：C.X(1)2CtX22X13=40；b0当5-r=1,即r=4时,需求-(2x+1)5的展开式的常数项,故此时x2的系数是：JX3X(T)5XX皆=15；综上可得：x2的系数是：40-15=25.故答案为：25.16 .ABC的三个内角为A,B,C,且s

25、inA,sinB,sinC成等差数列,那么sin2B+2cosB的最/J、值为,最大值为.【分析】利用等差中项以及正弦定理得到2b=a+c,再结合余弦定理及根本不等式,余弦函数的性质可得BE<0,构造函数fOB=sin2B+2coSB,BES,3,利用导数得到函数fB的单调性情况,进而求得最值.角军：/sinA,sinB,sinC成等差数歹U,2sinB=sinA+sinC,由正弦定理可得,2b=a+c,由余弦定理有,8或=乂2丫;k5M任=%一1>£-1J当且s,.2ac2ac2ac嗔蔡12仅当a=b=c时取等号,TT又B为三角形ABC内角,故BE0,jr(B)=2co

26、s2B2sinB=4sin2B设f(B)=sinZB-ZcosB,BES,-r-,贝Uf'2sinB+2,兀TT兀令B>°,解得q<b<T,令B<°,解得了<B<W,ITTTTT故函数fB在0,单调递增,在,单调递减,663.z7T2TCTC/3f(-)=sint-+2cos-=-z-+1OOO1,、,打、丸n3VsfB"气-=sin+2cos故答案为：孚斗L孝-三、解做题：共70分.解容许写出文字说明、证实过程和演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.一必考题:

27、共60分.|1|17 .记Sn为数列an的前n项和,2Sn-an=Tj-nCN*.1求an+an+12令bn=an+2-an,证实数列bn是等比数列,并求其前n项和Tn.【分析】1运用数列的递推式：n=1时,a1=Si,n>2时,an=Sn-Sn-1,化简变形1I可得an+an1=-2n-L,进而得到所求；2由1的结论,将n换为n+1,两式相减,结合等比数列的定义和求和公式,即可得到所求.解：(1)由2Sn-an=,可得n=1时,ai=Si,又2Si-ai=1,即ai=1;2Sn1an1=2n-2,又2Snan=2n-1n>2时,an=SnSn-1,两式相减可得an+an1=-即有

28、an+an+1=(2)证实：由(1)可得an+an+1=-12n即有an+i+an+2=一两式相减可得bn=an+2-an=2k+1那么1(2)求直线AC与平面PAB所成角的正弦值.,可得数列bn是首项为?,公比为、的等比数列,刖n项和Tn=18.如图,三棱锥P-ABC中,PA=PC,AB=BC,/APC=120°,/ABC=90°,AC=4PB.(1)求证：ACXPB;B【分析】(1)取AC中点O,连结PO,BO,推导出POXAC,BOXAC,从而AC,平面PBO,由此能证实ACXPB.(2)推导出PO±BO,以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,OP为z轴,建立

29、空间直角坐标系,利用向量法能求出直线AC与平面PAB所成角的正弦值.解：(1)证实：取AC中点O,连结PO,BO,PA=PC,AB=BC,POXAC,BOXAC,.POPBO=O,.AC,平面PBO,.PB?平面PBO,ACXPB.(2)解：设AC=23,贝UPO=1,PA=PC=PB=2,BO=,.PO2+BO2=PB2,POXBO,以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,那么A0,-遍0,C0,VI,0,P0,0,1,B色,0,0,菽=0,21,0,PA=0,-x/3,T,PB=g,0,T,设平面PAB的法向量;1=x,V,z,/n.PA=无一片门什,口一那么,

30、取X=1,信口=I1,-IX/,设直线AC与平面PAB所成角为以那么直线AC与平面PAB所成角的正弦值为：人八国2a庭sin0t»/.|AC|“n|距电519.某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况,从生产线上随机抽取了80个零件进行测量,根据所测量的零件尺寸单位:mm,得到如图的频率分布直方图:(1)根据频率分布直方图,求这80个零件尺寸的中位数(结果精确到0.01)；(2)假设从这80个零件中尺寸位于62.5,64.5)之外的零件中随机抽取4个,设X表示尺寸在64.5,65上的零件个数,求X的分布列及数学期望EX；(3)尺寸在63.0,64.5)上的零件为一等品,否那么为

31、二等品,将这80个零件尺寸的样本频率视为概率.现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售,每箱100个.企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验,每个零件的检验费用为99元.假设检验,那么将检验出的二等品更换为一等品；假设不检验,如果有二等品进入买家手中,企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用.现对一箱零件随机抽检了11个,结果有1个二等品,以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据,该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.【分析】(1)求出中位数即可；(2)这80个零件中尺寸位于62.5,64.5)之外的零件共有7个,其中尺寸位于62.0,62.5)内的有

32、3个,位于64.5,65)共有4个,随机抽取4个,那么X=1,2,3,4,求出分布列求出期望；丫B(89,0.2),求出EY,假设(3)根据题意,设余下的89个零件中二等品的个数为不对余下的零件作检验,设检验费用与赔偿费用的和为S,那么ES=11X99+500EY=9989,以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据,假设对余下的零件作检验,那么这一箱检验费用为9900元,比拟判断即可.解：(1)由于62.0,63.0)内的频率为(0.075+0.225)X0.5=0.15,63.0,63.5)内的频率为0.75X0.5=0.375,设中位数为x63.0,63.5),由0.15+(x63

33、)X0.75=0.5,得x=63.47,故中位数为63.47;(2)这80个零件中尺寸位于62.5,64.5)之外的零件共有7个,其中尺寸位于62.0,62.5)内的有3个,3,4,1Ty4-35'隐；18C3c41235,匕/1匕位于64.5,65)共有4个,随机抽取4个,那么X=1,2,P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=X1234p418121P353535354in1812-116EX=厂豆诩而毋乐(3)根据图象,每个零件是二等品的概率为P=(0.075+0.225+0.100)X0.5=0.2,设余下的89个零件中二等品的个数为丫B(89,0.2),由二项

34、分布公式,EY=89X0.2=17.8,假设不对余下的零件作检验,设检验费用与赔偿费用的和为S,S=11X99+500Y=1089+500Y,假设对余下的零件作检验,那么这一箱检验费用为9900元,以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据,贝UES=11X99+500EY=9989,由于ES>9900,所以应该对余下的零件作检验.(或者ES=9989与9900相差不大,可以不做检验都行.)扁20.函数f(x)=alnx,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为2xx(1)求a,b的值；(2)证实函数f(x)存在唯一的极大值点xo,且f(xo)<2ln2-2.【分析】

35、(1)求导,可得f'(1)=a,f(1)=-be,结合切线方程即可求得a,b的值;(2)利用导数可得f(Sn)=2inx(-J,x°e(1,2),再构造新函°口过.°工口7数hG)=21mr'r,l<x<2,利用导数求其最值即可得证.解：(1)函数的定义域为(0,+8),解)=且-3日;日1YCKX贝Uf'(1)=a,f(1)=-be,故曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为ax-y-a-be=0,又曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为2x-y-2-e=0,a=2,b=1;(2)证实：由(1)知,第一,那么

36、f'令g(x)=2x-xex+ex,那么g'(x)=2-xex,易知g'(x)在(0,+oo)单调递减,又g'(0)=2>0,g'(1)=2ev0,故存在xC(0,1),使得g'(x1)=0,且当xC(0,x1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当xC(x1,+8)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,由于g(0)=1>0,g(1)=2>0,g(2)=4e2<0,故存在刈e(1,2),使得g(x0)=0,且当xC(0,x°)时,g(x)>0,f'(x)>0,f(

37、x)单调递增,当xC(x.,+°°)时,g(x)v0,f'(x)v0,f(x)单调递减,故函数存在唯一的极大值点x°,且晨工口)二2x口r十日/:0,即D0o那么一:文.,工口x010令h二：一二工22小,丁.1<Y2,那么卜(m)=-1x(x-1)-<21n22叼-1故h(x)在(1,2)上单调递增,由于xoC(1,2),故h(X.)vh(2)=21n22,即21nx0-f(X0)V21n2-2.21.点P是抛物线C:y=三月2-3的顶点,A,B是C上的两个动点,且或？而=-4.(1)判断点D(0,1)是否在直线AB上？说明理由；(2)设点M

38、是4PAB的外接圆的圆心,点M到x轴的距离为d,点N(1,0),求|MN|-d的最大值.【分析】(1)抛物线的方程可得顶点P的坐标,设直线AB的方程与抛物线联立,求出两根之和及两根之积,求出数量积应？而,再由题意可得参数b的值,即可得直线恒过定点,进而判断出D不在直线上；(2)设A,B的坐标,可得线段PA,PB的中点的坐标,进而可得线段PA,PB的中垂线的方程,两个方程联立可得交点M的坐标,消参数可得M的轨迹方程为抛物线,再由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离,可得|MN|-d的最大值.解：(1)由抛物线的方程可得顶点P(0,-3),由题意可得直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为：y=kx+4,设A(x1,y1),B(X2,y2)联立直线与抛物线的方程:,整理可得:x2-4kx-4(b+3)=0,=16k2+16(3+b)>0,即k2+3+b>0,x1+x2=4k,x1x2=-4(b+3),yy2=k2