概率统计习题

1、第一章随机事件与概率例题精选1 .已知U为必然事件，V为不可能事件，则P(U)=1,P(V)=02 .已知事件A的概率P(A)=0.6,U为必然事件，则P(A+U)=1,P(AU)=0.63 .设A、B、C是三个事件，试将下列事件用A、B、C表示出来.(D人发生而从c都不发生=aBC(2) A、B都发生，而C不发生=ABC(3) A、B、C都发生=ABC(4) A、B,C中至少有一个发生=A+B+C(5) A、b、c中恰好一个发生=aBC+AbC+ABc(6)A、B,C中至少有一个不发生=A+B+C4.一个口袋内装有大小相等、质量相同的球(2个红球，3个白球，4个黑球)，每次摸取1个，有放回地

2、取两次，求取得的球中无红或无黑球的概率.解：设人=无红,B=无黑,C=全白,则C=AB故P(无红或无黑球尸P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)_725232=+T-T92929265一815某药检所以送检的10件药品中先后抽检了两件，如果10件中有3件次品，求(1)第一次检得次品的概率(2)第一次检得次品后，第二次检得次品的概率(3)两次都检得次品的概率解：设A=第一次检得次品,B=第二次检得次品,得(1)P(A)=3/10(2)P(B|A)=2/9(3)P(AB)=P(A)P(B|A)=109P(AB)甲、乙同时彼此独立地向一敌机开炮，已知甲击中敌机的概率为

3、0.6,乙击中敌机的概率为0.5,求敌机被击中的概率解：设人=甲击中敌机,B=乙击中敌机,C=敌机被击中,则C=A+B且A与B独立。故P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.5-0.60.5=0.8练习选解练习1-21 .在1、2、3、4、5这五个数字中任取两个，取得的两数之和为偶数的概率是多少？解：设A=取得的两数之和为偶数,则P(A)=03卜=4/10=0.4C52 .将一均匀硬币抛投两次，求下列事件的概率(1)出现两次正面(2)恰好出现一次正面(3)至少出现一次正面解：设A=出现两次正面,B=恰好出现一次正面,C=至少出现

4、一次正面,1P(A)=丁=1/422P(B)=尹1/2P(C)=P(A)+P(B)=3/43 .袋中有大小相等、质量相同的球(3个蓝色球和5个红色球)，从中任取2个球，问取出的2个球都是红色的概率是多少?解：设A=取出的2个球都是红色,则C2P(A)=-4=5/140.357C：4.65件产品，有正品60件，次品5件。求(1)从中任取一件而取得正品的概率?(2)任取二件都取到正品的概率?(3)任取两件取到一件正品、一件次品的概率?解：设A=任取一件而取得正品,B=任取二件都取到正品,C=取到一件正品、一件次品,则P(A)P(B)P(C)=d_=C60=12/13=0.9231C1C65C2=浮

5、=177/208=0.8510C65C1C1-60r±=15/104=0.1442C：5练习1-32 .若某地区人群中患结核病的概率为0.006，患沙眼病的概率为0.04,兼患此两种病的概率为0.001,问该地区人群中至少患有一种病的概率。解：设人=患结核病,B=患沙眼病,则A与B独立。P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.006+0.04-0.001=0.0453 .某机械零件的加工由两道工序组成。第一道工序的废品率为0.015,第二道工序的废品率为0.02，假定两道工序出废品是彼此无关的，求产品的合格率。解：设人=第一道工序生产的废品,B=第二道工序生产的废品,C=合

6、格的产品,则解法1:P(C)=P(AB)=P(A+B)=1-P(A+B)=1-P(A)+P(B)-P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)=1-0.015-0.02+0.0150.02=0.9653=96.53%解法2:P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=1-P(A)1-P(B)=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)=1-0.015-0.02+0.0150.02=0.9653=96.53%4 .某医疗器械厂的全部产品中有废品3%在合格品中有80%!一级品。求从产品中任取出一产品恰是一级品的概率。解：设人=合格品,B=一级品,显然，A包含B,彳#P(A)=1-3%=97%,P

7、(B|A)=80%P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=97%80%=0.7765 .设一袋中有大小相等、质量相同的两个红球，三个白球，从中每次任取一个，连取二次(无放回的抽取)，求“第一次取得红球，第二次取得白球”的概率。解：设A=第一次取得红球,B=第二次取得白球233P(AB)=P(A)P(B|A)=10人抓阉，其中有两个是“有”，其余是无，试判定第一个抓阉者是否比第二个更合算。-=A54106.设一袋中有大小相等、质量相同的两个红球，三个白球，第一次取出一球，取后放回，第二次再取一球，求”第一次取得红球，第二次取得白球”的概率。解：设A=第一次取得红球,B=第二次取得白球.P(A

8、B)=P(A)P(B)=23=5525练习1-31 .假定患有肺结核的人，通过胸部透视被诊断为肺结核的概率为95%而未患肺结核的人，通过透视被误诊为肺结核的概率为0.20%。设某地居民患肺结核的概率为0.1%,若从中随机抽出1人，通过透视被诊断为肺结核，问此人确实患有肺结核的概率是多少？解：设A=诊断为肺结核,B=患有肺结核,由题意得：P(A|B)=95%,P(A|B)=0.20%,P(B)=0.1%,P(B)=99.9%由逆概公式可知P(B|A)=P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)-P(B)P(A|B)0.1%95%0.1%95%99.9%0.20%=32.225%解：设A=第一个抓阉

9、者抓到“有”,B=第二个抓阉者抓到“有”依题意得：P(A)=2/10=1/5=0.2,根据全概率公式有P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.2由于P(A)=P(B),故先抓阉者与后抓阉者获得“有”的机会是相等的练习1-51 .用某药物治疗某种疾病，治愈的概率为P=0.6,不愈的概率为q=1-P=0.4(这里我们观察的指标只定为治愈和不愈这两种)，而每次治疗的结果互不影响(即相互独立)，现在用这种药物治疗4人，问下述事件的概率是多少？(1) 4人治愈(2)4人都不愈(3)4人中恰有1人治愈(4)4人中至少有1人治愈解：根据贝努里概型计算公式得：P4(4)=C：0.64=0.1

10、296P4(0)=C：(0.6)°(0.4)4=0.0256P4(1)=C：(0.6)1(0.4)3=0.1536P(4人中至少有1人治愈)=1-R(0)=0.97442.对某种新药进行研究，预计它对某种疾病的有效率为0.7,试问10个患该病的病人服用此药后至少有5人有效的概率是多少?解：P10个患该病的病人服用此药后至少有5人有效=1(5)Pio(6)R°+R°(8)Pi0(9)Pio(10)一；«A_77Q_PaO555.0664.c，/3.C882=C10(0.7)(0.3)C10(0.7)(0.3)C10(0.7)(0.3)C10(0.7)(0.

11、3)9f9110i100C10(0.7)(0.3)C10(0.7)(0.3)=0.95273.在一定的条件下，某种微生物菌落在培养基中出现的概率为0.8.现在保留相同条件下，分别在5个培养基中接种，求至少有4个培养基中出现菌落的概率？解：P至少有4个培养基中出现菌落=P5(4)P5(5)=C；(0.8)4(0.2)1C；(0.8)5(0.2)。=0.7373习题一1.10件产品中有3件次品，任取4件产品，求：(1)事件A="恰有两件次品”(2)事件B=“没有次品”；(3)事件C="至少有一件次品”的概率解：P(A)C；0=3/10P(B)C4C=1/6CwP(C)=1-P(

12、B)=5/62有20瓶“冬含补膏”，所装补膏的瓶中，有5只瓶口高低不平(属次品)。现从中任取三瓶，求最多取到一瓶是次品的概率解：设A=取到i瓶是次品,i=0,1;A=最多取到一瓶是次品,显然,c3cJc.2A=Ao+a,且P(A。尸篙,P(A尸发C20C20P(A)=P(A)+P(A)=49/574某个人群中患沙眼病的概率为0.04,现抽查20人，求其中有二人患沙眼的概率。解：已知P=0.04,n=20,k=2,根据贝努里概型计算公式得:P20(2)=C2o(0.04)2(0.96)18=0.14626今有甲乙两盒乒乓球，各装10只，已知甲盒中有7只新的，乙盒中有6只是新的，现从甲乙两盒中各任

13、取一只。试求：(1)取到2只都是新球的概率;(2)取到2只都是旧球的概率(3)取到2球是一新一旧的概率。解：设A=从甲盒中取得一新球,B=从乙盒中取得一新球,则P(A)=7/10,P(B)=6/10,且A与B独立。(1)取到2只都是新球=AB,76八八P(AB)=0.42'71010(2)取到2只都是旧球=ABP(AB)=(1-力。帚川2(3)取到2球是一新一旧=AB+AB7436.P(AB+AB)=一十一=0.46101010107甲乙两生产队分别有小麦种子250kg和750kg，假如甲队小麦的发芽率为88%,乙队小麦的发芽率为92%现两队将所有小麦种子混合播种。求种子发芽的概率。解

14、：设人=甲队小麦种子,入=乙队小麦种子,B=种子发芽,贝UP(A)=250/(250+750)=25%,P(A)=750/(250+750)=75%,P(B|A)=88%,P(B|A)=92%根据全概率公式有P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=25%88%+75%92%=91%8假定用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，这里以事件A表示“被检查者患有肝癌”，以事件B表示“判断被检查者患有肝癌”即试验反应为阳性。已知真阳性率为P(B|A)=95%,真阴性率为P(B|A)=92%,若某地区的人群中患肝癌的比率为0.05%,现有一人被此检验法诊断为患肝癌，求此人真的患肝癌的概率P(A|B)解：

15、由题意得：P(A)=0.05%,P(B|A)=95%,P(B|A)=92%,则P(A)=1-0.05%=99.95%,P(B|A)=1-P(B|A)=1-92%=8%由逆概公式可知P(A|B)=里)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.05%95%=0.05%95%99.95%8%=0.00599某药对某病治愈率为0.6,无效率为0.4.如用该药治某病5例，问：预期治愈几例的可能性最大？解：根据贝努里概型计算公式得：P5(0)uC0(0.6)°(0.4)5=0.01024P5(1)=C5(0.6)1(0.4)4=0.0768P5(2)=C|(0.6)2(0.4)3=0.2304

16、P5(3)=C；(0.6)3(0.4)2=0.3456_441P5(4)=C5(0.6)(0.4)=0.2592P5(5)-C/(0.6)5(0.4)0=0.07776故预期治愈3例的可能性最大.第二章随机变量的概率分布和数字特征例题精选1随机变量X服从参数N,6的正态分布，则随机变量X的概率密度函数为:1 2f(x)=e2W(-°o<x<+=c),E(X)=N,D(X)=仃2,2二二2 设x服从二项分布B(n,p),则E(X)=n,D(X)=np(1-p)练习选解练习2-13 .设某运动员投篮命中的概率为0.8,独立投三次，求命中次数的概率函数解：已知P=0.8,q=1

17、-0.8=0.2,n=3P(X=k)=C；(0.8)k(0.2)3”(k=0,1,2,3)分布律如下:X0123P(X=k)0.0080.0960.3840.51247(略)8 .设XN(a仃2),求P(Xi<X(x2);P(XH<1.93).一，X。一口，x-解：P(Xi<X<X2)=()-(-)P(X耳<1.96。)=P(1.96仃+N<X<1.96仃十口),1.96：',-1.96。'=()(tja=：，(1.96)-中(-1.96)=0.97500-0.02500=95%9.从学校乘车去火车站，有两条路可走。一条穿过闹市区，路程

18、较短，但交通拥挤，所需时间X(单位为分)服从正态分布：N(50,100),第二条路沿环城路，路程较远，但意外阻塞较少，也服从正态分布：N(60,16)。假若有70分钟可用，应走哪条路？60分钟又应走哪条路？解：(1)假若有70分钟可用时，70-50.0-50第一条路Pi(0<X<70)=(10)6(-)=6(2)<(-5)=0.97725第二条路P2(0<X<70)=：-(70-60)一中(0)=中(2.5)-中(-15)=0.99379044VP(0<X<70)<P2(0<X<70)假若有70分钟可用时，应走第二条路线。(2)假若有

19、60分钟可用时，第一条路P1(0<X<60)=(60|50)(0-0)=小(1)-6(-5)=0.841360-60,0-60,第一条路P2(0<X<60)=：/()一")=：J(0)-"-15)=0.544vP(0<X<60)>P2(0<X<60)假若有60分钟可用时，应走第一条路线。10.设随机变量X服从正态分布N(70,100),试求：(1)随机事件(X<62)的概率;(2)随机事件(X>72)的概率；(3)X落在6874之间的概率解：(1)P(X<62)=(6270)=(-0.8)=0.2119

20、10(2) P(X>72)=1-P(X<72)=1-(7270)=1-(0.2)=1-0.5793=0.4207(3) P(68<X<74)=6(7470)9(68-70)=(0.4)-6(0.2)1010=0.6554-0.4207=0.2347练习2-21.已知随机变量X的概率分布为PX=k=1/10,k=2,4，,18,20。求E(X).。解：E(X)=2xA+4x+6x+.+20X101010一一、110=(2+4+6+20)x而1=11010=112甲、乙两位外科医生，各自对20名心脏病人进行手术治疗，设这两组病人年龄、病情等基本相同，用Xi、X2分别表示甲乙

21、两位医生手术成功人数。Xi、X2的概率分布如表所示。问甲乙两位医生的技术水平如何?表1甲医生X10123456789100.1210.2670.1030.0090.000P0.0280.2340.2000.0370.0010.000表1乙医生-<20123456789100.0100.1170.2470.1170.010P0.0010.0440.2050.2050.0440.000解：E(X1)=£Xipi=0父0.028+1父0.121+100.000=2.998E(X2)=£XiPi=0x0.001+1x0.010+.+10x0.000=4.995E(XJ：二E(

22、X2)乙医生的技术水平高于甲医生的技术水平。3将一硬币连掷10次，以X表示出现正面的次数，试写出X的概率分布。解：已知P=0.5,q=1-0.5=0.5,n=10.P(X=k)=&(0.5)卜(0.5)10”=C1o(0.5)10(k=0,1,2,10)(概率分布表从略)4从四名男学员和两名女学员中，选两人当组长，求男学员被选为组长人数X的概率分布表和分布函数。解：分布表如下：X012D/YL<-0-2/1-12/0_P(X-k)C4C2_1C4C2_8C4C2_6_2_2一_2-C；15C；15C215于是，F(X)=<01/153/5X:二00<X：二11<

23、X:二2X_25.随机变量X1，X2，Xn相互独立，并且服从同一分布，即E(Xi)=N,nD(Xi)=。+2-(-0.2)20.3=1.296+0.012+1.452=2.76解法二：.E(X)=£xPi=一2父0.4+0父0.3+2父0.3=-0.2E(X2)=£(Xi)2Pi=(-2)2父0.4+02父0.3+22父0.3=2.8,i=1,2,，求这些随机变量的算术平均值X=1£Xi的数学期望ny与方差。一-1n1n1n1解：E(X)=E(1ZXi)=-E(ZXi)=£E(Xi)=-nN=Nni4nynyn1n1n1n12c2D(X)=D(LXi)=-D(-Xi)-D(Xi)=1n；=一ninynynn6.随机变量X的分布率为X202Pk0.40.30.3试求E(X),D(X)解法一：E(X)=£XiPi=2M0.4+0M0.3+2M0.3=-0.22_2_2_D(X)=xXi-E(