线性代数二次型试题及答案-二次型f

1、齐一次线性函数第六章二次型一、基本概念n个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数，一般形式为r,、22cf(xi,X2,Xi)=aiixi+2ai2XiX2+2ai3XiX3+2ainXiXn+a22X2+2a23XiX3+n2-2+2ainxixn+anXn=£aiixi+2£aijxxj.i=1i=j它可以用矩阵乘积的形式写出：构造对称矩阵Aanai2nnf(xi,X2,Xn)=''aijxixj=(Xi,”,xn)i=1j1a2ia22a2nX2an2ann人xn，记X=Xi，X2，X，则f(Xi,X2，x)=XTAX称对称阵A为二次型f的矩阵，称对称

2、阵A的秩为二次型f的秩.注意：一个二次型f的矩阵A必须是对称矩阵且满足f=XTAX,此时二次Xi=Ciiyi2y2+GnynX2=C2iyi+c22y2+一+C2nYn1:Xn=Cniyi,Cn2y2一一CnnYn代入f(xi,X2，,x)得到yi,y2,y的二次型g(yi,y2,y).把上述过程称为对二次型f(Xi,X2,作了线性变量替换，如果其中的系数矩阵<CiiCi2CiC=C2iC22C2n<CniCn2J是可逆矩阵，则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出：X=CYf=XtAX=(CY)tA(CY)=Yt(CtAC)Y记B=CTAC,则

3、BT=B,从而f=YTBY。由B=CTAC知，两个n阶对称矩阵A与B合同且r(A)=r(B)定理i：二次型f=XTAX经可逆线性变换X=CY后，变成新的二次型对应的，因此,型的矩阵是唯一的，即二次型f和它的矩阵A(A为对称阵)是也把二次型f称为对称阵A的二次型。实二次型如果二次型的系数都是实数，并且变量X1,X2，,xn的变化范围也限定为实数，则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.f=YTBY,它的矩阵B=CTAC且r(A)=r(B)定理2：两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的矩阵合同.三、正交变换化二次型为标准型标准二次型只含平方项的二次型，即形如f=dixi2+

4、d2x；+dnx；定理3：对实二次型f=XTAX,其中AT=A,总有正交变换X=QY,称为二次型的标准型。使f=xtax=yt(qtaq)y=ytay=y；2y2ny2规范二次型形如X；+X2xp+xp山的二次型，即平方项的系数只1,-1,0,称为二次型的规范型。二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(Xi,X2，,x)引进新的变量yi,y2,y,并且把xi,X2，,x)表示为它们的其中F、，九为f的矩阵A的特征值。人=一2三IL1nT1-因为Q是正父矩阵，则B=QAQ=QAQ,即经过二次型变换，二次型矩阵不仅合同而且相似。将二次型f用正交变换化为标准形的一般步骤为：（1）写出二次型f

5、的矩阵A（2）求出A的全部相异特征值匕，九2，肉,对每一个特征值求出其线性无关的特征向量，并利用施密特正交化方法将其正交单位化，将上面两两正交的单位向1T量作为列向量，排成一个n阶万阵Q则Q为正交阵且QAQ=QAQ=A为对角阵。（3）作正交变换X=QY,即可将二次型化为只含平方项的标准型四、配方法（略，见例）.五、惯性定理和惯性指数定理4：若二次型f=XtAX经过可逆线性变换化为标准形，则标准型中所含平方项的个数等于二次型的秩。定理5:一个二次型所化得的标准二次型虽然不是唯一的，但是它们的平方项的系数中，正的个数和负的个数是确定的，把这两个数分别称为原二次型的正惯性指数和负惯性指数，这个定理称

6、为惯性定理一个二次型所化得的规范二次型x12+xj-xj由-xp+在形式上是唯一的,称为其规范形，其中的自然数p,q就是原二次型的正，负惯性指数。性质1:两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的正，负惯性指数都相等.（即两个实对称矩阵合同的充分必要条件为它们的正，负惯性指数都相等.）性质2：由正交变换法看出，实对称矩阵A的正（负）惯性指数就是它的正（负）特征值的个数.六、正定二次型和正定矩阵定义1：如果当x1,x2,，x不全为。时，有f（x1,x2,x）>0,称二次型f（xi,x2,闻称为正定二次型如果实对称矩阵A所决定的二次型正定，则称A为正定矩阵，于是A为正定矩

7、阵也就是满足性质：当X/0时,一定有XTAX>0,且A一定是是对称矩阵。二次型的正定性是在可逆线性变量替换中保持不变的.即实对称矩阵的正定性在合同变换时保持不变.（2）性质与判断实对称矩阵A正定u合同于单位矩阵.即存在可逆矩阵Q使QTAQ=E,或者存在可逆矩阵P,使得PTEP=A对任意可逆矩阵C,CTAC正定（即合同的矩阵，有相同的正定性）。uA的正惯性指数等于其阶数n.uA的特征值都是正数.WA的顺序主子式全大于0.顺序主子式：一个n阶矩阵有n个顺序主子式，第r个（或称r阶）顺序主子式即A的左上角的r阶矩阵Ar的行列式|A|.判断正定性的常用方法：顺序主子式法，特征值法，定义法.A=0

8、0A不可逆r（A）nUAx=0有非零解U0是A的特征值UA的列（行）向量组线性相关A是n阶可逆矩阵：y|A#0(是非奇异矩阵)；ur(A)=n(是满秩矩阵)UA的行(列)向量组线性无关；U齐次方程组Ax=0只有零解；uVbWRn,Ax=b总有唯一解；yA与E等价；仁A可表示成若干个初等矩阵的乘积；UA的特征值全不为0;aATA是正定矩阵；B可由ai,g,，如惟一线性表示P=Xiai+X20C2+XnanAXAx=3有惟一解X=(Xi,X2，,Xn)T,A=(1,22,'",an)=r(A)=r(A：3)=n=|A|w0UAx=0只有零解UF0不是A的特征值AB=0uA(bi,

9、b2,bs)=0,B=(bi,b2,bs)=Abj=0,j=1,2，sttbi,b2,bs均为Ax=0的解(=r(A)+r(B)<n)二若bjW0且A为n阶方阵时，bj为对应特征值卡0的特征向量二A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。AB=CuA(bi,b2,br)=(Ci,C2,Cr)=Abj=Cj,j=1,2，,rubj为Ax=Cj的解.uC1,C2,，Cr可由A的列向量组孙必，g线性表示.nr(C)=r(AB)<r(A)或r(B)UC的行向量组可由B的行向量组线性表示。、概念型题1.写出二次型f(Xi,X2,X3)=2X1X2+X；+2X1X3-6X2X3的矩阵Xi2X

10、1X2X1X3I011A=X2X12X2X2X311-3X3X1X3X22X3i1-30一2题答案:1200221001300002.二次型222f(Xi,X2,X3,X4)=Xi+2X2+3X3+4XiX2+2X2X3的矩阵是1243.矩阵A_|221对应的二次型是。A22I：4-13一答案:X；+2X2+3x；+4x1x2+8x1x3-2x2x3.223、4.已知一次型f(x1，x2,x3)=a(x+x2+x2)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正父变换x=Py可化成标准型f=6y；,则a=54I解：A3a=6+0+0=6A=aa5.已知二次型xtAx=x；-5x2+x2+2ax1x2

11、+2x1x3+2bx2x3的秩为2,(2,1,2)T是A的特征向量，那么经正交变换后二次型的标准型是解：二次型对应的矩阵A为：1a1|1a11A=a-5b->0等+a2)b-ar(A)=2=a=b_1b1_J0b-a0-因为(2,1,2)T是A的特征向量，所以j1a1F|pL=3,a=2a5a1=儿1I1aL21人一，£|=九(九+61九一3)=0=及=0,%=3,1=-6,f=3y126y2二、化二次型为标准型1.用配方法将下列二次型化为标准形，并判断正、负惯性指数的个数，然后写出其规范形。222(1)f(x1,x2,x3)=x1+x2x3+2x1x2+2x1x32x2x3&

12、quot;='一力i_i0x2=yi+y2，X=Cy，C=1i0,222f=-2%-y32y22y3设:zi=yi-y3,z2=y2,-iy=C2z=0:°x3=y3001解：先集中含有xi的项，凑成一个完全平方，再集中含有x2的项，凑成完全平方222222标准型：f=-2zi-2z22z3,规范性：f=-z2-z3x3-2x2x3-xj-i-ix2=00)3j.0i0yjiV2tjy31x=Qyf(x1,x2,x3)=(x122x1x22x1x3)x|222_22.=xix2x3-x2-x3-2x2x3x2-x3-2x2x32_2-2=xix2x3-2x2x32x2xi“2

13、x3=yixi=yi-y2设,x2+x3y2='x2=y3，Lx2=y3X3=y2y3标准型：f=y；-2y|+2y2,正惯性指数：p=2,负惯性指数：q=i2.设二次型f(xi,x2,x3)=XTAX=axi2+2x22-2x32+2bxix3,(b>0),其中A的特征值之和为1,特征值之积为-12.(1)求a,b.(2)用正交变换化f(xi,x2,x3)为标准型。-30b一.解：二次型的矩阵：八°c°，因为a+22=1,A=020b0-2A-4a-2b2=-12=b=-2(2)A九E=(九一2)2(儿+3)=0=%=九2=2,入3=3规范性:f=z；-z2

14、-z2(2) f(xi,x2,x3)=xi2+2x22+2xix2-2xix3+2x2x3.解：f(xi,x2,x3)=(xi2+2xix2-2xix3)+2x22+2x2x3=仪1+x2x3f十仅2+2x3f-5x2xix2-x3=yi设，x2+2x3=y2，x=Cy，标准型：f=y；+y；5y2、x3=y3正惯性指数：p=2,负惯性指数：q=i,规范性：f=z；+z；z2(3) f(xi,x2,x3)=-2xix2+2xix3+2x2x3.解：像这种不含平方项的二次型，应先做线性变换:'1=2：i=0,1,0T：2=2,0,1T3=3：3=1,0,一2T因为它们已经两两正交，所以只

15、需要单位化。1=0,10T2=12,0,1T3=11,0,-2T55Q=1,2,3q“aq=qtaq=iyi22y2,y；3.已知二次型f(xi,x2,x3)=(1-a)xi2+(1-a)x22+2x32+2(1+a)xix2的秩为2.(1)求a.(2)求作正交变换X=QY,把f(xi,x2,x3)化为标准形.(3)求方程f(xi,x2,x3)=0的解.解：本题综合考查了特征值、特征向量、化二次型为标准型以及方程组求解等多个知识点，特别是第三部分比较新颖。1-1+a01a1+a0二次型的矩阵A为：A=1+a1_a0，A=1+a1-a0=0得a=0_002_002110这里dd,可求出其特征值为

16、匕=%=2,%=0A=110123002解(2EA)x=0,得特征向量为：%=(1,1,0)口2=(0,0,1)解(0EA)x=0,得特征向量为：口3=(1,_1,0)由于a1，a2a3已经正交，直接将叫户？，c(3单位化，得：111：1,1,0,2=0,0,1,3:IT。.,222令Q=卜1*2"3，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy,可化原二次型为标准形：f(x1,x2,x3)=2y122y|.(III)由f(x1,x2,x3)=2y2+2y2=0,得y1=0,y2=0,y3=k(k为任意常数)0c从而所求解为：x=Qy=,n2n0=。3=-c,其中c为任意常数。1233：k_0

17、一22,24.设二次型f(x1,x2,x3尸ax1+ax2+(a-1)x3+2x1x3-2x2x3(i)求二次型f的矩阵的所有特征值；(n)若二次型f的规范形为y2+y2,求a的值。0-1A-ax-dk-a1=0x-d1z-a-1-11Z-fl+11I0a01-11A-a+=i/.-£tI五】_(2口一1)2+o'-(/.gA<1+2j(z.1.所以y1的矩阵/所有的特征值为4:/的=口一2，4=o+i.友也，所以见二口一.2二0,即白二2.22n)若规范形为y1+y2,说明有两个特征值为正，一个为0。则若=a=0,则九2=2m0,%=1,不符题意若%=0，即a=2,则

18、儿1=2>0,K3=3a0,符合若=0，即a=1,则儿=1<0,九2=3<0,不符题意综上所述，故a=25.已知向量a=(1,-1,0),是二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=axi2+x2-2x1x2+2x1x3+2bx2&的矩阵A的特征向量，求正交变换化该二次型为标准型。'a-11、解：A=10b,又因为a=(1,-1,0)T是人的特征向量，JbL设口所对应的特征值为九，有A=九口。a-11-10b1-b=0计算A的特征多项式1-101-10J二1a=0,b=1a+1”、-1卜,九U力l°J0-1-1麻-A=(九1)(片-3),则A的特征值为

19、%=1,%=痣，兀=T§,其基础解系为P=(1,1,1+73)T>=(1,1,1J3)T。因为艮厂已经正交，所以只需要把它们单位化。令p=；，=121一2则P为正交矩阵，作正交变换_1_,62.3162<313,623x=py,得V6-2V31¥6-2而1-立66-23，一1b11T1-0.T,，、T、T,f=xAx=(py)A(py)=y(pT2Ap)y=y16.-化力帏圆坤血方程工+4尸=4.束口/的值和F登排阵R解:知降a=相似.a2=14=a=3b3-b21-b"征值自二1的特征向量为对二"TJ).;特征值4=0的杵怔向量为%=(L0

20、,-lf.W/值4=4的特征向量为%=(L2.n.因为单位化、关于正定的判断1.判断3元二次型-1解：A=225-23个向量已经正交，只需要将其f=x；+5x2+x2+4x1x2一4x2x3的正定性0【-21,用顺序主子式判断大于0,所以是正定的。2.当时，实二次型f(x1,x2,x3)=x；+x；+5x2+2txix2-2x1x3+4x2x3是正定的.解：A=一1t1t-1所以，当=1-t20,所以11卜：1_2一-4t-5t20,2.5t4t：二0,4t<054<t<0时，二次型是正定的.53.设n阶实对称矩阵A特征值分别为1,2,，n,则当t时，tE-A是正定的.1的0

21、01生-00000=1i1)fin'0.解：tEA的特征值为t1,t2,，tn.若tEA是正定的，则t-10,t-2.0,t-n.0.24 .设A是3阶实对称矩阵，满足A+2A=0,并且r(A)=2.(1)求A的特征值.(2)当实数k满足什么条件时kA+E正定？2斛：A-2A=0=AA2=01-0,'=-2因为r(A)=2,所以特征值为0,-2,-21(2) kA+E的特征值为1,1-2k,12k>0=k<25 .f(xX2,X3)=(xax2-2X3)2(2x23x3)2(x13x2ax3)2已知上述二次型正定，则a的取值为解：MXi,X2,X3)，当Xi,X2,

22、X3不全为0时，二次型正定。x1+ax2-2x3=0,2x2+3x3=0,x1+3x2+ax3=0若X1,X2,X3同时全为0,即齐次线性方程组只有0解，此时|A#0,a#1即a=1时，三个平方项不全为0,二次型正定。其中为U=L工为实数，或何：当叫.叫,国斌I配制种柒九二次壁门一为正一定次型,6 .+外工产0解：由已知可得，对于任意的X1,X2Xn,有x2+口g=0.''f(X1,X2Xn巨0,其中等号仅当以下等式同时为0时成立，+%F=Q.此方程组仅有0解的充要条件是其系数行列式不为0,/+Vi=Q，所以."il+l-1尸口:小%h0时.对任意的不全为零的演、毛，

23、5丁有fXi,X2Xn-07 .已知A是n阶可逆矩阵，证明ATA是对称、正定矩阵。证明：(ATAT=ATA,所以ATA是对称矩阵。若ATA正定，则ATA=ATEA,所以人,人与£合同合同矩阵有相同的正负惯性指数，所以ATA是正定矩阵。(2)因为A是可逆矩阵，所以A#0,Ax=0,当A=0时，只有0解。所以Ax卢0nx#0,xT(ATA)x=(Ax)T(Ax)=(AxAx)>0所以ATA正定。8 .设A为m阶实对称矩阵且正定，B为mMn实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。证明：必要性，设BTAB为正定矩阵，对任意的实n维列向量x00,

24、xT(BTABX>0=(Bx；TABx)0=Bx=0,即Bx=0只有0解，r(B)=n充分性，(BTABT=BTATB=BTAB,BTAB为实对称矩阵，r(B)=n，所以Bx=0只有0解，对任意x#0,Bx#0,又因为A为正对称矩阵，所以Bx#0,(BxTA(Bx)>0,(Bx$A(Bx)=xT(BTABX>0,x#0,所以BTAB为正定矩阵。9 .设A为m父n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=KE+ATA,试证：当儿>0时，矩阵B为正定矩阵。证明：Bt=(九E+AtA)t=?uE+AtA=B,所以A为n阶实对称矩阵对于任意的实n维向量x,xTBx=xT(£

25、;E+ATAx=KxTx十xTATAx=£xTx十(AxT(Ax),当x#0时，xTx>0,(AxT(Ax)>0,当九>0时，任意的x#0,有xTBx=ZxTx+(Axf(Ax0,所以B为正定矩阵。矩阵的合同、相似、等价都有自反性，对称性，传递性。矩阵A与B等价记作：A样BuA经过有限次初等变换化为B,即A与B是同型矩阵ur(A)=r(B)u存在可逆矩阵P与Q,使得A=PBQA与B合同，记为个Bu存在n阶可逆阵P使得PTAP=B,即A与B都是方阵uxTAx与xTBx的正、负惯性指数相等.=r(A)=r(B)=合同的矩阵一定等价，但等价的矩阵不一定合同矩阵A与B相似，记作AsB,u存在n阶可逆矩阵P.使P/AP=B，即A与B都是方阵二r(A)=r(B)二相似的矩阵一定等价，但等价的矩阵不一定相似。二相似的实对称矩阵一定合同，但合同的对称矩阵不一定相似。因为实对称矩阵的正(负)惯性指数就是它的正(负)特征值的个数，相似的矩阵有相同的特征值，所以相似的实对称矩阵有相同的正，负惯性指数，所以相似的实对称矩阵一定合同。对任