概率论数理统计复习测验题

1、模拟试卷一、单项选择题：(每题2分，共14分)1 .同时掷两颗骰子，出现的点数之和为10的概率为()A.2 .设A,B为相互独立的随机事件，则下列正确的是()A.P(B|A)=P(A|B)C. P(A|B)=P(B)B.P(B|A)=P(A)D. P(AB)=P(A)P(B)3 .一个随机变量的数学期望和方差都是2,那么这个随机变量不可能服从()A.二项分布B.泊松分布C指数分布D.正态分布4 .设X服从正态分布N(2,4),Y服从参数为2的泊松分布，且X与Y相互独立，则D(2X-Y)=.A.14B.16C.18D.205 .设X与Y是任意两个连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)f2

2、(x),则.A.力(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度1B. (f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度2C. 3(x)-f2(x)必为某一随机变量的概率密度D. f(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度6.设X1,X2,-1,Xn是总体X的简单随机样本，D(X)=。2，记1 n71nXXi,S=、(Xi-X)，则下列正确的是niwn-1i上A.S是仃的无偏估计量B.S是仃的极大似然估计量C.S2是。2的无偏估计量D.S与X独立7.假设检验时，当样本容量一定时，若缩小犯第一类错误的概率，则犯第二类错误的概率().A.变小B.变大C.不变D.不确定二、填空题：(每题2分，共1

3、6分)_1 .已知P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A=B)=0.6,贝(JP(AB)=2 .在三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于19，则27事件A在一次试验中出现的概率为3 .若XN(1,4),Y-N(1,3)且X与丫独立，贝X-Y4 .设X和丫是两个相互独立且服从同一分布的连续型随机变量，则PXY=.5 .设随机变量X的分布未知，E(X)=N,D(X)=。2,则利用切比雪夫不等式可估计P(lX-|：二2二)6 .设Xi,X2，Xn是来自总体Xb(m,p)的样本，p为未知参数，则参数p的矩估计量是7 .设Xi，X2，Xn是来自总体Xn(N,。2)的样本

4、，R,。2为未知参数，则检验假设H0:N=0的检验统计量是8 .设随机变量X和丫都服从正态分布N(0,32),X1，X9和Y1，丫9分别是来自于总体.X,.XX和总体丫的样本，且两样本相互独立.则统计量U=J1=服从分布,Yi2Y92参数为三、玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0.8,0.1和0.1,一顾客欲买下一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取出一箱，而顾客开箱随意查看其中的4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。设Ai=箱中恰好有i只残次品,i=0,1,2,B=顾客买下该箱玻璃杯。试求(1)P(B|Ai),i=0,1,2；(2)顾客买下该箱的概率P(

5、B)；(3)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率口。(12分)四、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=abe2x20,x_0x:0(1)求常数a和b;求随机变量X的概率密度函数.(6分)五、设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律，且X的分布律为X01Pk0.50.5试分别求随机变量Z1=maxX,Y和Z2=minX,Y的分布律.(6分)六、设随机变量（X,Y）的概率密度为其它Zxy,f(x,y)=0,试求E（X）,D（X）X与Y的协方差cov（X,Y）和相关系数PXY。（10分）七、某单位自学考试有2100人报名，该单位所有考场中仅有1512个座位，据以往经验报名的每个人参加考试

6、的概率为0.7,且个人是否参加考试彼此独立。（1）求参加考试人数X的的概率分布；（2）用中心极限定理求考试时会有考生没有座位的概率。（6（2）=0.97725）（8分）八、设X1,，Xn是来自总体X的一个样本，X的概率密度为函x'4,0<x<1,f（x,e）=«,其中a>0为未知参数；0,其他试求6的矩估计量和极大似然估计量。（10分）九、某种零件的椭圆度服从正态分布，改变工艺前抽取16件，测得数据并算得x=0.081,Sx=0.025；改变工艺后抽取20件，测得数据并计算得y=0.07,Sy=0.02,问：（1）改变工艺前后，方差有无明显差异；（2）改变工

7、艺前后，均值又无明显差异？（豆取为0.05）（F仪2。5,19）=2.6171,Fr2（19,15）=2.7559,%/2（34）=2.0322）（14分）十、证明题（4分）利用概率论的想法证明：当a>0时2axe2dx_1-模拟试卷一答案、1.B2.D3.A4.C5.B6.C7.B31、1.0.32.1/33.N(1,7)4.0.55.至一6.X4m.2二口X_J7.t：8.t,2二/n三、解设Aj表示箱中含有i只残次品，i=0,1,2,B表示顾客买下察看的一箱，则由已知P（A。）=0.8,P（A1）=P（A2）=0.1,c;贝U有(1)P(B|A0)=1,P(B|A1)=C4204-

8、,P(B|A25)=C41920(2)由全概率公式12P(B)八P(Ai)P(B|Ai)=0.81-0.1-0.1=0.943i-019(3)由贝叶斯公式：.P(A0|B).P(B1A0)P(A0).0AJ:0.85P(B)0.943四、解(1)因为连续性随机变量的分布函数是连续函数，故0=F(0)=a+b,又1=F(收)=a,所以a=1,b=1(2)f(x)2.-e=xe:二0五、解Z1=maxX,Y的可能取值为0,1,PZ1=0=PX=0,Y=0=PX=0PY=0=0.25PZ1=1=1-PZ1=0=0.75Z2=minX,Y的可能取值为0,1,且PZ2=1=PX=1,Y=1=PX=1PY

9、=1=0.25PZ2=0-PZ2=1=0.75oOoCi六、解E(X)=xf(x,y)dxdy.2.=4xydxdy2E(X)3ydxdy(X)=E(X2)-E(X)18由对称性E(Y)oOoOE(XY)=xyf(x,y)dxdy221|4xydxdy所以cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0,从而PXY=0七、解(1)显然X服从参数为n=2100,p=0.7二项分布b(2100,0.7),E(X)=np=1470,D(X)=np(1p)=441(2)由中心极限定理，所求的概率为X-1470PX>1512=1PX<1512=1-P211512-1470<21=1-0

10、.97725=0.02275二二1八、解E(X)=xf(x)dx-.ix71dx-二0X,解得日的矩估计量为?J-X=1-X设Xi,X2，Xn是相应于X1,X2，Xn的样本，则似然函数为L（e）=nf（xi,e）*2（xix2Xn）、神°«Xi«/=1,2，n一0,其它当0<Xi<1,i=1,2，尸时，1（8）>0，并且nInL二2In1（-1厂Inxii1dInLdi21解得0的极大似然估计值为Inxi6的极大似然估计量为卜InXi1一T九、解.设改变工艺前后的椭圆度分别为x,y,由题意可设x-N(此，。：),yN(N2,仃：).(1)先在显著

11、性水平下H0a=0.05检验：_2_2-'1=、-2H1检验统计量为2SxF=,拒绝域为SyC=FMFa（n1-1,n21）或F之Fg（n1-1,n2-1）2已知n1=16,n2=20,F"（15,19）=2.6171,Fy/2（15,19）F?/2（19,15）2.7559=0.3629,计算得2SxF=1.5625,故F的观察值不在拒sy绝域中，从而接受原假设，即可以认为改变工艺前后椭圆度的方差没有显著差异。(2)在显著性水平&=0.05下检验假设：H0：1-2=0H1:1-2二0由于两个总体的方差相等，故可取检验统计量为其中,/、2,、22(ni-1)Sx,(n

12、2-1)SySw二n1，n2-2拒绝域为C=|t|>ta(n1+n2已知L(n1S-2)=心2(34)2-2)j>.J=2.0322,计算得|t|=0.8988<2.0322所以接受原假设，即可以认为改变工艺前后椭圆度的均值没有显著差异。十、证明设X,Y相互独立且均服从N(0,1),则_222P-a:二X:二a,-a:二Y：二a_PXY：二2a而P(1一a:二X:二a,-a:二Y:二a=2二_a_aaa22,x.y)/2ePXY2：:2a=2二2x22-Lx-y)/2iiedxdyT-2一y"Na故有e2dx-1-e_adxdy=2Ixe2dx00/2.redr=1

13、2_ae模拟试卷二一、单项选择题：（每题2分，共12分）1、当A与B互不相容时，P（A=B）=（）A、1-P(A)B、1-P(A)-P(B)C、0D、P(a)P(B)2、A,B为两事件，则AB不等于()A、ABB、ABCA-ABD>(A<jB)-B1（xa23、设随机变量X的概率密度为f（x）=e=,则（）-2二A、X服从指数分布B、EX=1GDX=1D、P(XM0)=0.54、在相同条件下，相互独立地进行5次射击，每次射击时命中目标的概率为0.6,则击中目标的次数X的概率分布为（）A、二项分布b（5,0.6）B、参数为5的泊松分布G均匀分布U0.6,5D、正态分布N（3,52）5

14、、设X服从N（0,仃2）,则服从自由度为（n-1）的1分布的随机变量是（）A区B、工GD、工SSS2S26、设总体Xn（N,。2）,其中N已知，。2未知，x=X2,X3取自总体x的一个样本，则下列选项中不是统计量的是（）.11222A（X1+X2+X3）B、（X1+X2+X3）30CX12D、maxX1,X2,X3二、填空题：（每题3分，共18分）1、“A、B、C三个事件中至少发生了两个”,可以表示为。2、随机变量X的分布函数F（x）是事件的概率。3、某校一次英语测验，及格率80%,则一个班（50人）中，不及格的人数X服从分布，EX=DX=。4、设样本X1,X2，Xn来自N（此。2）且。2已知

15、，则对检验H0:N=35,采用的统计量是0、一、，一一1I、，rr一一1_nLtn1一5、设Xi,X2,，Xn为总体X的一个样本，右X=-£Xi且EX=V-,DX=CT，则EX=ni土,DX=o6、设随机变量X的数学期望为EX=u,方差DX=仃2,则由切比雪夫不等式有PiX_u|>2ct。三、已知P(A)=a,P(B)=b,P(A_B)=0.7a,其中ab#0且b>0.3a,求：P(A，jB)和P(A=B)。(5分)四、某公司从甲、乙、丙三地收购某种药材，数量(株)之比为7:3:5,甲、乙、丙三地药材中优等品率分别为21%,24%,18%,若从该公司收购的药材中任取一株，

16、如果取到的药材是优等品，求它恰好是从乙地收购来的概率是多少？(7分)2五、设连续型随机变量X的概率密度函数f(x)=a(1x),"1<x<1,求：常数0(；0,其它，一、1P(X>-);X的分布函数F(x);期望EX,万差DX。(12分)2六、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为IAe-fx44y)x>0,y>0px,y='工0，其它(1)确定A的值；(2)求P0EXE1,0EYE2(8分)七、对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4,标准差是1.5,求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.(1.33)=

17、0.9082)(8分)八、设X1,X2，Xn是从总体X中抽得的一个简单随机样本，总体X的概率密度函数为1e-,x-0,<>0p(x,0)=4日。其他试用极大似然法估计总体的未知参数e.(10分)九、某种型号微波炉的使用寿命服从正态分布N(N,902),某商场欲购进一批该产品，生产厂家提供的资料称，平均寿命为5000小时，现从成品中随机抽取5台测试，得数据51205030494050005010(1)若方差没有变化，问能够认为厂家提供的使用寿命可靠吗？(其中口=0.05,中(1.96)=0.975，)(1.64)=0.95).(2)根据抽测的数据，判断方差是否有改变？(其中口=0.0

18、5,工：.025(4)=11.1434.975(4)=0.484)(14分)十、证明题：(6分)设Xi,X2,X3是来自总体X的样本，l?1=-Xi+x2+-X3,5102131?2Xi+3X2-工X3证明：(1)?1,?2都是总X数学期望N的无偏估计量；(2)肉比电3412更有效。模拟试卷二答案一、1.C2,A3.B4.A5.B6.BX-35、1.AB+BC+AC2.X<x3.B(50,0.2),10,84.U=二/n25.N,6.P(A+B)=P(B)+P(AB)=b+0.7a,P(A-B)=RAA)B=P)A-P,AB二P(AB)=0.3a,.P(AB)=P(AB=1-P(Ag10

19、.3a四、设Ai，A2，A3分别表示甲，乙，丙地药材,B表示优等品，则根据贝叶斯公式有P(A2|B)=PA)P(B|A2)'、P(AJP(B|AJid-30.2415二0.233735一0.21一0.24一0.18151515五、（1）,12131f(x)dx=fa(1x)dx=a(xx)=1,乜3-13a=-4/c、11325(2) P(X-)=1-(1-x)dx=2三4320x<131311/(3) F(x)=-(x-x),1_x：:14321x_1(4) EX二132=ifxf(x)dx=1一x(1x)dx=0(奇函数且积分区间对称).二-14EX二2.1322,1=xf(

20、x)dx=x(1-x)dx=一二-145221DX二EX-(EX)二一六、（1）由概率密度的性质有域一qQqQpx,ydxdy-be=A'':3x-4ye-dxdy_3xe-dx1'_4ye-dy=A(-3x1e-d(-3x)(-)40：e-yd(4y)12二1可得A=12(2)设D=(x,y)0<x<1,0MyM2,则P10,X_1,0_Y_2：，=p1x,YD?七、设Xi表示第i次炮击命中目标的炮弹数,由题设，有EXi=4,.DXi=1.5''px,Dydxdygxe.3x3edx24e*ydy-024yd3xed4y-0_3_8=e1-

21、ei=1,2,，100则100次炮击命中目标的炮弹数100=、Xi,i4X2,，X100相互独立，同分布,则由中心极限定理知100=£Xi近似服从正态分布N(400,iw_21001.5,420-4001380_X_420.'山15二2中更-11538070015100EX-EXi=400i4100DX八DXi=1001.52i±八、;似然估计函数为L（e）=口=21.33-1=0.8164e1n1取对数lnL(1)-nln1一一'Xi似然方程为d1nL“Xidr极大九、设微波炉的使用寿命为(1) H0:=5000在方差不变时，选择检验法当H0成立时，有X-

22、5000服从N0.1又由a=0.05,得0.025=1.96_1x=-512050305494050005010=502005020-500090/.5=0.4969<1.96认为厂家提供的使用寿命可靠(2) H0,2222仃二90,H1:仃/90由于期望N未知，选择x2的检验法当Ho成立时，有,22n-1|S2x=1服从x(n1)又由o=0.05,n=5得22X0.0254=11.143X0.9754=0.484由(1)知X=5020n2._2n_1s="Xi-xi15_2xi-xi.1222=5120-5020)+；5030-5020)-，5010-5020=17000则x

23、：17000290=2.099由于x0.975=0.484<2.099<xL=11.143故接受H0,拒绝H1即：认为方差没有改变。十、证明：（1）211211211E£=E(_X1X2_X3)=_EX1EX2,_EX3=(一)-1=-L510251025102e131131131,E?E(X1-X2X3)EX1EX2EX3=()341234123412,巴，叱都是N的无偏估计(2)21141=D(X1X2X3)=DX1510225100121DX2-DX3=一DX450D02131191D(一X,-X9-X3)=-DX-一DX,DX.I23I23341291614449

24、DX72二?比的2更有效模拟试卷三一、填空题(每小题2分，共14分)1.设A,B为两个相互独立的事件，P(A)=0.3,P(B)=0.4,贝UP(A+B)=1I,2 .设P(A)=/3,P(B)=M,p(a=b)=,则p(a=B)=23 .若随机变量Y在1,61上服从均匀分布，则方程x2+Yx+1=0有实根的概率是4 .设随机变量X服从参数为九的泊松分布，则E(X1)2=5 .设随机变量X与Y相互独立，X在0,2上服从均匀分布，Y服从指数分布，其概率.We工、xj0存度函数为f(x)=,，记Z=X2Y,则DZ=0,x<06 .随机变量X与Y的数学期望分别为-2和2,方差分别1和4,相关系

25、数为-0.5,则根据切比雪夫不等式有PX+Y|>6<7 .随机变量X的分布函数为F(x)=a+barctanx,xwR,则a=,b=、单项选择题(每小题2分，共16分)1 .是两个互不相容的事件，P(A)>0,P(B)>0,则()一定成立.A.P(A)=1P(B)B.P(AB)=0C.P(AB)=1D.P(AB)=02 .XN(0,1),Y=2X-2,贝UY()A.N(0,1)B.N(-1,4)C.N(-2,4)D.N(-2,1)3.连续型随机变量X的概率密度和分布函数分别为中(x),F(x)，则下列选项中正确的是()A.0_(x)_1B.P(X=x)_F(x)C.P(

26、X=x)=F(x)D.P(X=x)=(x)12x54. (X1,X2,X3)是总体X的样本，则下列E(X)的无偏估计中()最有效A111fA._X1_X2_X3B.2361 11C.-X1-X2-X3D.3335 .检验中，显著性水平a表示()A. H。为假，但接受H。的假设的概率；B. H。为真，但拒绝H。的假设的概率；CH。为假，且拒绝H。的假设的概率；X是样本均值，记D.可信度6 .*1,*2:一/0是来自正态总体N(N,。2)的简单随机样本,1二丁、2c21112S12S；(Xi-X),S2二"(Xi-X)n1i壬niinn11(Xi-J)2,S：=v(Xi-)2N,。均未知

27、，若提出检验假设h0:N=N。，则选用统计量()A.TB. TSiS2C.TS3D.TX70S4.n7.X1,X2,-,Xn随机变量X与丫满足D(X+Y)=D(XY),则下面叙述正确的是A.X与丫相互独立C. D(Y)B.D.x与丫不相关D(X)D(Y)8.X1,X2，Xn是相互独立的随机变量，且XiB(1,p)(i=1,2，n),则下列(A.11一EZXi|=pB.'XiB(n,p)i3C.PaXj：b(b)一中(a)D.i-4:npqnpq,b-np,a-npPa:二Xj:二b：.：./()-：>()三、一批产品分别由甲、乙、丙三个车床加工。其中甲车床加工的占产品总数的25%

28、,乙车床占35%,其余的是内车床加工的。又甲、乙、丙三个车床在加工时出现次品的概率分别为0.05,0.04,0.02。今从中任取一件，求：(1) 任取一件是次品的概率；(2) 若已知任取的一件是次品，则该次品分别由甲、乙或丙车床加工的概率。(12分)四、设连续型随机变量X的概率密度为|-x,0_x：:1,f(x)=2-x,1<x<2,0,其他1求(1)常数a;(2)X的分布函数F(x);(3)P(-1<X<-)(12分)2五、设相互独立的随机变量X,丫的联合分布列为1201/6a11/9Z921/18P求：(1)口和P的值；(2)X、Y的边际分布；(3)X=2时丫的条件

29、分布;(4)随机变量Z=2X-Y的分布。(12分)六、设(X,Y)的概率密度为D(X)。(6分)24(1-x)y,0<x<1,0<y<xf(x,y)='甘，求E(X),0,其它七、总体X的分布律为PX=x其中p是未知参数，X1,X.x1=p（1-p）x=0,1,2,p的矩估计2,，Xn是来自总体X的一个样本，求参数量和最大似然估计量。（10分）八、为研究矽肺患者肺功能的变化情况，某医院对I、II期矽肺患者各33名测其肺活量，得到I期患者的平均数为2710mm，标准差为147mm,II期患者的平均数为2830mm,标准差为118mm,假定第1、II期患者的肺活量服

30、从正态分布n（匕,仃：），n（匕,仃：），（1）试问在显著性水平a=0.05下，仃；与式无显著性差异？（2）问在显著性水平U=0.05下，匕与巴有无显著性差异？（12分）九、某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%.今随意抽查100个索赔户，利用中心极限定理，求其被被盗索赔户不少于14户但也不多于30户的概率.（6分）、填空题（每小题2分，共14分）1.0.58;2.口；3.0.8;4.$九十1；125.1/3,7:9;6.;7.-,-122二二、单项选择题（每小题2分，共16分）1. B2. C3. B4. C5. B6. B7. B8. C三、解设Ai=任取的一件是第i

31、台车床加工的,i=1（甲车床），i=2（乙车床），i=3（内车床）；B=已取的一彳是次品。于是，由题设可知：P(A1)=0.25,P(A2)=0.35,P(A3)=0.4;P(B|A)=0.05,P(B|A2)=0.04,P(B|A3)=0.023(1) P(B)=£P(Ai)P(B|Ai)=0.05M0.25+0.35M0.04+0.4M0.02=0.0345(6')(2)P(Ai|B)P(Ai)P(B|Ai)一P(B)0.250.05=0.36230.0345(8')P(A2)P(B|A2)0.350.05P(A2|B)=0.4058P(B)0.0345P(A3|

32、B)P(A3)P(B|A3)0.400.02P(B)0.0345:0.2319(10'),(12')1211四、解：(1)1=ff(x)dx=raxdx+(2-x)dx=ax20+(2x-x2)：=a=1JQ122,(3')x(2)F(x)-P(X<x)=j-f(t)dt,(4')-SO由f(x)定义中的分段点x=0,x=1,x=2把(q,收)分为四个区间：(-二，0),0,1),1,2),2,二)x因此当XM0时，F(x)=Lfdt=°,(5)当0Mx<1时,xF(x)="f(t)dt0xx=f(t)dt-Qf(t)dt=0-Qtdt(6')x01x当1Wx<2时，F(x)=(f(t)dt=(f(t)dt+f(t)dt+f(t)dt,二二二二'0