考研数学讲义(精炼)

1、考研数学讲义精炼第一讲函数、一、理论要求1.函数概念与性质连续与极限函数的根本性质单调、有界、奇偶、周期几类常见函数复合、分段、反、隐、初等函数2极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法那么求极限3.连续函数连续左、右连续与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质最值、有界、介值二、题型与解法极限的求法(1)用定义求(2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子)(3)变量替换法(4)两个重要极限法(5)用夹逼定理和单调有界定理求(6)等价无穷小量替换法(7)洛必达法那么与Taylor级数法(8)其他(微积分性质,数列与级数的性质)arctanx

2、-x,arctanx-x1lim3=hm3=一lTln(1+2x)32x6(等价小量与洛必达)sin6xxf(x)6f(x)lim3-0,求lim22."xxQx.sin6xxf(x).6cos6xf(x)xy'lim3=lim2'''x_oxx-03x解：-36sin6x2y'xy''-216cos6x3y'xy'''=lim=limx-06xx-06-2163y''(0)=6、-0y''(0)=726f(x)y'y''72lim2kx)-

3、lim=lim=363x2x2xT22(洛必达)2xlim()x43.x->x+1(重要极限)xx3ab-求lim()x4.a、b为正常数,2axbx33丫丫t=()x,lnt=ln(ab)-ln2解：令2x3xx3limolnt=limQ-x(alnablnb)=-ln(ab)3/2变量替换.t=(ab)1ln(1-x2)lim(cosx)1ln(1x2)1t=(cosx),lnt=2-ln(cosx)解：令1n(1x)tanx1limInt=lim=-.tx-0x-02x2J/2=e(变量替换)2x0f(t)dt6.设fx连续,f0=0,f'0#0洛必达与微积分性质2xx20

4、f(t)dt二1f(x)="7.2ln(cosx)x,x=0a,x=0在x=0连续,求a.a解：令2=limln(cosx)/x-1/2xT0(连续性的概念)三、补充习题(作业)ex-1-xlim1.5J1-x-cosjx,11、hm0ctgx(-)2x->sinxx=-3洛必达洛必达或Taylorlimx_03.x2x0edt-1洛必达与微积分性质1 .导数与微分2 .微分中值定理3应用第二讲导数、微分及其应用一、理论要求导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导根本公式、四那么、复合、高阶、隐、反、参数方程求导会求平面曲线的切线与法线方程理解Roll、Lagrange、Ca

5、uchy、Taylor定理会用定理证实相关问题会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图会计算曲率半径二、题型与解法导数微分的计算根本公式、四那么、复合、高阶、隐函数、参数方程求导y=y(x)由?1.x=arctantdy2y-ty+e=5决定,求dx23<n"l2.y=y(x)由ln(x十的=xy+s1nx决定,求dx一解：两边微分得乂=0时y'=ycosx=y,将x=0代入等式得y=1B.曲线切法线问题3 y-y(x)由2刈=x+y决定那么dy|x旦=(ln2-1)dx4 .求对数螺线P=e8在(P,e)=(产产/2)处切线的直角坐标方程.x=e&quo

6、t;cos日/23,(x,y)10rH/2=(0e工y'10Lji/2=-1解：“eSin9y-e/2二-x5 .f(x)为周期为5的连续函数,它在x=1可导,在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x).求f(x)在(6,f(6)处的切线方程.解：需求f,(6因,f'(1),等式取x->0的极限有：f(1)=0limf(1+sinx)-3f(1-sinx)x0sinxsinxzfc：f(1t3f(1-t)-f(1)t=4f'(1)=8.f'(1)=2.y=2(x-6)C导数应用问题6y=f(x)对一切x满足xf(x)+2

7、xf'(x)2=1-e：假设f'(x0)=°(x.°)求(x0,y.)点的性质.x=x0代入,f''(x0)=解：令ex0ex0x0>0,x0>0产0,x.<°,故为极小值点.3xy=一一7 .(x-1),求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线.解：定义域x.(一二,1)(1,二)y'=0=驻点x=0及x=3y''=0=拐点x=0；x=1：铅垂；y=x+2：斜/2arctanx8 .求函数y=(x1)e的单调性与极值、渐进线.2.y'=-eR2Harctanx=驻点x=Wx=-1而

8、冗/0、匕o解："1+x2,渐：y=e7r(x-2)与y=x-2D.哥级数展开问题9.dx2sin(x-t)dt二sinxdx0')1(t、2(2n)sin(x-t)2.(x-t)2-3(x-t)6-(-DnJS2-.21317n.1sin(x-t)dt=(x-t)(x-1)十一(一1)33!74n1(x-t)(4n-1)(2n1)!x213sin(x-t)=-x034n_jx7(-1)n,一3!7(4n-1)(2n1)!dx221sin(xT)dt=xxdx03或：2(2nJ)(-1)n-=sinx2(2n1)!10.求E.不等式的证实F.中值定理问题解：11设,证：1)令

9、g'(x),g''(x),g'''(x)=-2ln(12x):二0,g'(0)=g''(0)=0(1x)二xw(0,1)时g''(x)单调下降,g''(x)<0,g'(x)单调下降g'(x)；0,g(x)单调下降,g(x)：0;得证.11h(x)=-一,xw(0,1),h(x)<0,单调下降,得证2)令ln(1+x)x12.设函数“刈在一1,1具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f,(0)=0,求证：在(-1,1)上存在一点'使f'&

10、#39;'K)=31213f(x)=f(0)f'(0)xf''(0)x2f'''()x3证：2!3其中(0,x),x-1,1一一1一1一0=f(-1)=f(0)f''(0)-f'''(1)26一一1一1一1=f(1)=f(0)f''(0)-f'''(2)将x=1,x=-1代入有26两式相减：f'''(1)f'''(2)=611,2,f'''()=f'''(1)f&#

11、39;''(2)=322242lnbTna-(b-a)13.e<a<b<e,求证：e证:Lagrange:f-(b)-f-(a)=f'()b-a2ln2b-ln2a2lnf(x)=lnX,7一.小Int1Int2、In2(t)=,'(t)=2:0()(e),2令tte224lnb-Ina2(b-a)e(关键：构造函数)三、补充习题(作业)1-x3f(x)=ln-_2,求y(0)=彳1.1x2x=etsin2t,t在(0,1)处切线为y+2x-1=02.曲线y=ecos2t11y=xln(e)(x-0)的渐进线方程为y-x-3.xe/224.证实

12、x>0时(x-1)lnx-(x-1)222(x2-1)g(x)=(x-1)lnx-(x-1),g'(x),g''(x),g'''(x)=3-证：令xg(1)=g'=0,g''=20x(0,1),g'<0x(1,二),g'0x(0,1),g'"<0,g"2x(1,二),g'''0,g''2第三讲不定积分与定积分一、理论要求1 .不定积分掌握不定积分的概念、性质线性、与微分的关系会求不定积分根本公式、线性、凑微分、换元技巧、分

13、部2 .定积分理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题长、面、体会用定积分求物理问题功、引力、压力及函数平均值二、题型与解法A.积分计算1.2.3. 设,求解：4.B.积分性质5.连续,且,求并讨论在的连续性.解：6.C.积分的应用7 .设在0,1连续,在(0,1)上,且,又与x=1,y=0所围面积S=2o求,且旋转体积最小.解：.3a212f(x)=x+(41)x：V'=(n0ydx)'=0,a=-58 .曲线y="x-1,过原点作曲线的切线,求曲线、切线与x轴所围图形绕面积.解：切线y=x/2绕x轴旋

14、转的外表积为1271ydSr'522二yds=(5,5-1)曲线y=、；x1绕x轴旋转的外表积为6(11.5-1)总外表积为6a=?时S绕x轴x轴旋转的表三、补充习题(作业)3.1.第四讲向量代数、一、理论要求多元函数微分与空间解析几何1 .向量代数2 .多元函数微分3 .多元微分应用4 .空间解析几何理解向量的概念(单位向量、方向余弦、模)了解两个向量平行、垂直的条件向量计算的几何意义与坐标表示理解二元函数的几何意义、连续、极限概念,闭域性质理解偏导数、全微分概念能熟练求偏导数、全微分熟练掌握复合函数与隐函数求导法理解多元函数极值的求法,会用Lagrange乘数法求极值掌握曲线的切线

15、与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离二、题型与解法A.求偏导、全微分1.f(x)有二阶连续偏导,z=f(exsiny)满足zxxex2*-6x+13arcsinx,dx、z,求f(x)解：f''-f=0=f(u)=c1euC2e«1.、z=-f(xy)y(xy),求；：2z:x:y2. xB.空间几何问题C.极值问题3 .y=y(x),z=z(x)由z=xf(x+y),F(x,y,z)=缺定求dz/dx4 .求&*6中丘上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和.解：x/.x0y/.y0z/,z0=.a=d=a5 .曲面、2+2

16、y2+3z2=21在点(1,一2,2)处的法线方程.2226 .设znzJM是由x-6xy+10y-2yz-z+18=0确定的函数,求z极值点与极值.z(x,y)的三、补充习题(作业)一2x.,V、弋;zz=f(xy,一)+g(2),求1yxcxcyz二f(xy,2.z=u,u=lnx2y2,=arctan,求dz3.x第五讲多元函数的积分一、理论要求1.重积分熟悉二、三重积分的计算方法(直角、极、柱、球)by2(x)adxy1(x)f(x,y)dyf(x,y)dxdy-2£Drd.1fSWrdrby2(x)z2(x,y)adxy1(x)dyz1(x,y)“乂丫:"2.曲线

17、积分出f(x,y,z)dxdydz=,Vz2f(z)z1dzT(z)r2(z,3d-.f(r尸,z)rdr.一r1(z,H-.：2,2(口.).2dd.f(r,)rsindr1T11(>)会用重积分解决简单几何物理问题(体积、曲面面积、重心、转动惯量)z=f(x,y)=Aiid1z'Xz.dxdy理解两类曲线积分的概念、性质、关系,掌握两类曲线积分的计算方法l：yy(x)=：f(x,y(x).1y'jdxaLf(x,y)dl=x=x(t),P-2,、二Lf(x(t),y(t)“'2+y't2dtj=y(t)口"二rC)二,f(rcos-,rsin

18、-).r2r'2d-熟悉Green公式,会用平面曲线积分与路径无关的条件3.曲面积分理解两类曲面积分的概念(质量、通量)、关系熟悉GausWStoke於式,会计算两类曲面积分1s：zMx,y)f(x,y,z)dS=f(Dxyf(x,yz(x,y)+z'2+z'jdxdyGauss:虱EdS=.EdV(通量,散度)Stokes:“(FdF=ffs(VxF)dS(旋度)二、题型与解法A.重积分计算I1.,2:Ii.u.(x82y)dV,1j为平面曲线'y2=2zlX=0绕z轴旋转一周与z=8的围域.解:0dzx2.y2£z(x22、y)dxdy82-2z0

19、dz0d.0211024二rrdr=B.曲线、曲面积分I2.,x2y2=ff-,一D,2224a-x-y2/二21二a()162dxdy,D为x2y,1<x<2,0<y<x0,其他f(x,y)=3. ,iif(x,y)dxdy,D:x2y2_2xy=-a+a2-x2(a>0)与y=-x围域.(49/20)xxI二(esinyb(xy)dx(ecosy-ax)dy4. LL从A(2a,0)沿y=M'2axx2至O(0,0)解:令L1从.沿y=0至A2aI5.I二一LL1L1_xdy-ydx71=(b-a)dxdy-0(-bx)dx=(-2)D22:,二3ab

20、-a2-L4x2+y2L为以(1,0)为中央,R(>1)为半径的圆周正向.L1:1解：取包含(0,0)的正向2x=rcosej=rsinHL_L1=0.=方L16.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S,2xnxf(x)dydz-xyf(x)dzdx-ezdxdy=0口f(x)六八口左3小已将S,且f(x)在x>0有连续一阶导致,limf(x)=1x挈+L_芯f(x)o_2x铲0=.sFdS=.“FdV=.(f(x)xf'(x)-xf(x)-e)dV斛：sy'(1)y=e2x一e.x,、=y=(e-1)x第六讲常微分方程一、理论要求1 .一阶方程2 .高阶方程3.

21、二阶线性常系数熟练掌握可别离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法会求y(n)=f(x),y''=f(x,y')(y'=p(x),y''=f(y,y')(y'=p(y)y''py'q=0=2p,q=0=c1e2+c2e*=(c1+c2x)e'xYi=ex(Cicosxc2sin：x)、,2(齐次)a#九Ty2=Qn(x)e"f(x)=Pn(x)ea口(ax=,1or12y2=Qn(x)xe=%and2Ty2=Qn(x)x2e.(非齐次)f(x)-e：x(Pi(x)cosxPj(x)sinx)

22、s土iB丰九ty2=e>(qn(x)cosPx+rn(x)sinPxs±iH=)Ty2=xea(qn(x)cosPx+rn(x)sinPx(n=max(,j)(非齐次)二、题型与解法A.微分方程求解222223、.求(3x+2xyy)dx+(x-2xy)dy=0通解.(xy-xy-x=c)uYx2.禾IJ用代换cosx化简y8sx2ysinx+3ycosx=e并求通解.xcos2xu4u=e,y=c1：2c2sinxcosxxe5cosx)3.设y=yx是上凸连续曲线,y=x+1,求y=yx及其极值.1x,Y处曲率为5+/,且过01处切线方程为解:,1y''y&

23、#39;1=0=y=ln|cos(一x)|1ln2,yg42ji1=1ln22三、补充习题作业1.函数y=yx在任意点处的增量尸冷+oCx,Y0=%求Y1_4.超.2x2x12x2xY二ceC2exe2 .求y-4y=e的通解.(4),-22y(x21)3 .求(丫十+y)dx-xdy=0(x>0),y=0的通解.J2()112x2y(32x)e4 .求'一2/-/=0,丫(0)=/(0)=1的特解.44()第七讲无穷级数一、理论要求1.收敛性判别2.哥级数3.Fourier级数级数敛散性质与必要条件常数项级数、几何级数、p级数敛散条件正项级数的比拟、比值、根式判别法交错级数判别

24、法哥级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法哥级数在收敛区间的根本性质和函数连续、逐项微积分Taylor与Maclaulin展开了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理会求T的Fourier级数与0,l正余弦级数第八讲线性代数一、理论要求1 .行列式2 .矩阵会用按行列展开计算行列式几种矩阵单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随矩阵加减、数乘、乘法、转置,方阵的哥、方阵乘积的行列式矩阵可逆的充要条件,会用伴随矩阵求逆矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价用初等变换求矩阵的秩与逆理解并会计算矩阵的特征值与特征向量理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件掌握将矩阵化为相似对角矩阵

25、的方法掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质3.向量理解n维向量、向量的线性组合与线性表示掌握线性相关、线性无关的判别理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法了解标准正交基、正交矩阵的概念与性质4.线性方程组理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件理解齐次、非齐次线性方程组的根底解系及通解掌握用初等行变换求解线性方程组的方法5.二次型二次型及其矩阵表示,合同矩阵与合同变换二次型的标准形、标准形及惯性定理掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法第九讲概率统计初步一、理论要求1 .随机事件与概率2

26、.随机变量与分布3 .二维随机变量4 .数字特征5 .大数定理6 .数理统计概念7 .参数估计8 .假设检验第十讲总结1.极限求解了解样本空间根本领件空间的概念,理解随机事件的关系与运算会计算古典型概率与几何型概率掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式理解随机变量与分布的概念理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布,会求分布函数理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布理解随机变量的独立性及不相关概念掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度会求两个随机变量简单函数的分布理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数

27、的概念掌握常用分布函数的数字特征,会求随机变量的数学期望了解切比雪夫不等式,了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩一“2,了解分布、t分布、F分布的概念和性质,了解分位数的概念了解正态分布的常用抽样分布掌握矩估计与极大似然估计法了解无偏性、有效性与一致性的概念,会验证估计量的无偏性会求单个正态总体的均值和方差的置信区间掌握假设检验的根本步骤了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验变量替换1/作对数替换,洛必达法那么,其他重要极限,微积分性质,级数,等价小量替换.1a,2a,/(n-1)a,alim-(x-)(x).(x)=x-1.nT0nnnn2(几何级数)lim(2arccosx)1/x=e-/22:百江(对数替换)tan正lim(2-x)23.x_13xx24阿(丁)24.Xfc6+xlimx-a5.nnn1(x-a)-na(x-a)(x-a)26.2.导数与微分3.一元函数积分1-cos2x2xf(x)=<4,x=0x0costdt(x0)limf(x)x,求x与,复合函数、隐函数、参数方程求导(f)x(b)a(-