线性代数教案(2015)

1、第一章 行列式1.1 行列式的概念一、本次课主要内容介绍行列式的起源，总结学习二阶行列式和三阶行列式，学习全排列和逆序数，归纳n阶行列式的定义。二、教学目的与要求掌握二阶、三阶及n阶行列式的概念，掌握逆序数的计算。三、教学重点难点1、二阶、三阶行列式的定义、计算；2、逆序数的计算；3、n阶行列式的定义。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。五、作业与习题布置P22 习题1（6）、2（3），3§1. 1 行列式的概念对于方程组用消元法，当方程组有唯一解和。观察上面链各个式子的分母，发现是一样的。而且两个式子的分子和分母在型式上也是有相似之处的。一、二阶行列式的概念设有数表

2、，两边加上竖线变为，记注意：2阶的行列式一共能分成2=2!项相加相减（一项加一项减）。每一项里面有2个不同行，不同列的元素相乘。简单介绍对角线法其中表示的是第i行，第j列的元素。i和j分别称为行坐标和列坐标。D称为行列式的值，是的计算结果。有两行两列，所以称之为二阶行列式。如同水有气体，液体，固体三种表现形式一样。一个行列式也可以表现为三种形式：行列式，组成行列式的元素的计算式，和行列式的值。例如：二元一次 方程组的求解公式对于方程组，当方程组有唯一解和。记 ，注意和就是用和分别替换原来中第一，第二列元素所得的行列式。则此时有，这个就是克莱姆法则。我们将在第四节的时候再一次讲到它。P2例题1二

3、、三阶行列式的概念设有数表，两边加上竖线变为，记称这个式子就是对应于前面数表的三阶行列式。继续补充对角线法则讲解。3阶的行列式一共能分成6=3!项相加相减（三项加三项减） 。每一项里面有3个不同行，不同列的元素相乘。有三行三列，所以称之为三阶行列式。对于线性方程组，当时。方程组有唯一解，记，其中、和就是用、和分别替换原来中第一，第二，第三列元素所得的行列式P4例2往n阶行列式推广对角线法写行列式仅限于两阶和三阶行列式，比三阶高的都不能用。行列式的阶数：行列式的行数或者列数。有几行或者几列就是几阶。n阶的行列式一共能分成n!项相加相减。每一项里面有n个不同行，不同列的元素相乘。接下来就是介绍为什

4、么n阶行列式有n!项相加相减，到底哪一项前面是+，哪一项是-号 三、排列与逆序数<1> 由自然数1, 2, , n 组成的一个有序数组i1, i2, , in称为一个n级排列例如，由1，2，3可组成的三级排列共有3!6个，分别为1 2 3; 1 3 2; 2 1 3; 2 3 1; 3 1 2; 3 2 1; n级排列的总数为n!个。<2> 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面 ( is > it ) 时，称这一对数 is it 构成一个逆序。 一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。记为t(i1, i2, in)，简记为t 。例如 t(1 2

5、3)=0, t(3 1 2)=2, t(4 5 2 1 3)=7,奇排列与偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列 对换 将一个排列中两个位置上的数互换，而其余不动，则称对该排列作了一次对换。定理 1 每一个对换改变排列的奇偶性结论：在 n ( ³ 2) 级排列中，奇偶排列各有个。 前三项的列排列的逆序都为偶数，前面的符号为+。后面三项的列排列都为奇数，前面的符号为。所以式子用连加符号表示为类似的，而阶行列式也可以表示为对于n阶行列式注意到这里的行坐标是按照自然顺序来的，列坐标是乱序的。n阶行列式的定义也可写成注意到这里的列坐标是按照自然顺序来的，行坐标是乱

6、序的。或者这里的行列坐标排列都是乱序。例4，附带讲解上，下三角行列式和对角行列式。教学后记：第一章 行列式1.2行列式的性质一、本次课主要内容介绍行列式的性质，并利用行列式的性质进行计算。二、教学目的与要求掌握n阶行列式的性质概念，并能利用这些性质进行行列式的计算。三、教学重点难点1、n阶行列式的性质；2、利用行列式的性质进行计算；四、教学方法和手段课堂讲授、提问，总结归纳。五、作业与习题布置P22-23 习题1 4（1）、（3）、（7），5（2）§1. 2 行列式的性质第一章 行列式性质1：将行列式的行、列互换，行列式的值不变则。行列式称为行列式 D 的转置行列式。即把行列式的行变

7、成列，列变成行。讲解三种转置的记忆方法。显然有 ，即证性质2 互换行列式的两行(列)，行列式仅改变符号 则。（D和M就是呼唤了P，q两行得到）在 M 中第 p 行元素，第 q 行元素证明完毕推论1：若行列式中有两行(列)对应元素相同，则行列式为零交换行列式这两行，有D = D，故D = 0性质3 若行列式某一行(列)的所有元素都乘以数 k，等于该行列式乘以数 k，即： 证明：推论2：若行列式中的某行(列)全为零，则行列式为零。推论3：若行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则该行列式为零。性质4 若行列式中某一行(列)的各元素都是两个数的和，则该行列式等于两个行列式的和。即证明：一些符号P11

8、例题（1）（2）（3）教学后记：1.3 行列式按一行（列）展开一、本次课主要内容行列式的余子式、代数余子式，n阶行列式按行（列）展开。二、教学目的与要求掌握余子式、代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开。三、教学重点难点1、余子式、代数余子式的概念、计算；2、行列式按行（列）展开；四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。五、作业与习题布置P23 习题1 6（3）、7（2）、（4）§1. 3 行列式按一行（列）展开一.拉普拉斯展开定理在行列式中划去元素所在的行和列，余下的元素按原来顺序构成的一个n1阶行列式。称为元素的余子式，记作。余子式带上符号称为的代数余子式，记作。写

9、一个三阶行列式，略做练习考察三阶行列式发现三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示这个是按照第i行展开这个是按照第j列展开二阶行列式也是一样定理1 (Laplace展开定理) 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即或者证明：证明步骤分为三步走首先证明：（展开即得）其次（一共是做i-1次相邻两行交换，j-1次相邻两列交换）最后利用行列式的性质5即证推论 行列式的任一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即或者利用讲解带入理解法P16例题（1）（2）求用带入理解法（3）讲解地推的理念得到了地推公式，后就能开始从第2项递推，略讲解为什么是从第二

10、项开始。证明四阶范德蒙行列式证毕，n阶范德蒙德行列式依次递推即得。教学后记：第一章 行列式1.4 克莱姆法则一、本次课主要内容克莱姆法则的内容以及应用克莱姆法则求解线性方程组。二、教学目的与要求掌握克莱姆法则，并能用克莱姆法则求解线性方程组。三、教学重点难点1、克莱姆法则的内容及其证明；2、能利用克莱姆法则求解线性方程组；3、n阶线性方程组解的判定。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。五、作业与习题布置P23 习题1 8（2），9§1. 4 克莱姆法则设线性方程组的系数行列式,则方程组有唯一解，且解可表示为：其中是用常数项代替中第i列各元素而得到的n阶行列式，即：(i=

11、1, 2,n)证明：分为两步走（1）先证明是解，（2）证明解一定能写成这个形式。将带入方程组的第i个方程得将按照第j列展开得到带入之前的式子得交换连加连乘顺序括号里面的是第i行元素和第s行元素的代数余子式的乘积之和，所以当s不等于i的时候值为0,故关于s的连加里面仅有一项非0的乘积，即s=i时的那一项。接下来证明解一定是这个形式给出：由行列式的性质将第s列乘以 加到第j列（）此时在第i行的第j列个元素就变成了原来方程组的第i个方程的左边部分，代入方程的值即得即P20例题解：所以使用克莱姆法则时要注意：（1）未知量的个数等于方程的个数；（2）系数行列式如果不满足这些条件的话，那么方程组的求解就必

12、须用其他的方法解决，这个以后再说。注：在方程组中，若所有的常数项b1= b2 = = bn = 0，则方程组称为n元齐次线性方程组。 如显然有零解 x1 = x2 = = xn = 0结论1：若齐次线性方程组(3)的系数行列式，则方程组只有零解。平凡解结论2：若齐次线性方程组(3)有非零解，则系数行列式 D = 0。非平凡解P21例题为何值时，其次线性方程组有非零解解：方程组的系数行列式因为要有非零解，所以，得教学后记：第二章 矩阵2.1 矩阵的概念2.2矩阵的运算（1）一、本次课主要内容矩阵的定义；矩阵的加法运算、数乘运算、乘法运算。二、教学目的与要求掌握矩阵的概念，掌握矩阵的加法运算、数乘

13、运算和乘法运算。三、教学重点难点1、矩阵的加法运算；2、矩阵的乘法运算。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。五、作业与习题布置P54 习题2 1，2（3）、（6），3§2. 1 矩阵的概念定义 由m×n个数有次序地排成m行(横排)n列(竖排)的数表 称为一个m行n列的矩阵，简记通常用大写字母A，B，C，表示，m行n列的矩阵A也记为Am×n，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而aij表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素。 注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.行

14、数与列数都等于 n 的矩阵 A，称为n 阶矩阵或 n 阶方阵. 也可记作。(1) 只有一行的矩阵称为行矩阵(2) 只有一列的矩阵，称为列矩阵同型 两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.例如两个矩阵为同型矩阵,并 且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作元素全为0的矩阵称为零矩阵，记作O，不同型的零矩阵是不相等的。例如方阵称为单位矩阵（或单位阵）。仅在主对角线上有非0元素，且全部为1.注意：不同阶数的单位矩阵是不相等的.形如的矩阵称为对角矩阵(或对角阵）. 记作当所有的都相等的时候，变为，称为数量矩阵。方阵称为上三角矩阵。方阵称为下三角矩阵。上三角与下三角阵统称为三角形矩阵（或三角阵）教学后

15、记：§2. 1 矩阵的运算（1）一、矩阵的加，数乘运算 两矩阵同型：与的行数，列数分别相等。两矩阵相等：。定义2 两矩阵加法：。定义3 数乘矩阵 加，数乘（称为线性运算）满足下列运算律： 加法交换律： 加法结合律： 矩阵： 负矩阵： ，则。 恒等性：。 数结合律：。 分配律：。 分配律：。设是矩阵的集合，在上述矩阵的加法、数乘定义下，且满足了上述8条运算，我们称是一个矩阵空间。例1：，求。二、两矩阵的乘法。1规则：行乘列定义4 其中 （“行乘列”） 即乘积等于的第行元素与的第列对应元素积之和。 例2：，求。 解： 但不存在。 可乘条件为：的列数=的行数。 乘积阶数为：的行数=的行数，

16、的列数=的列数。 2矩阵乘法应注意下面三点：1）乘法交换律一般不成立，即。在中：称左乘，或为左因子阵。称右乘，或为右因子阵。特别：若，称与乘法可交换，或与可换。2）消去律一般不成立，即，不一定。（即使，也不一定有）3），不一定有。3矩阵乘法运算律为：（与数运算律相同）1）结合律：。2）分配律：，。3）数乘结合律：。4）恒等性：。4方阵的幂及多项式矩阵。设的多项式为：，则称为的次多项式矩阵。5一般线性方程组的矩阵表示 例3：（1）（2）（3），求。例4：， 求及。求。例5：，为阶方阵，例6：设，证明。例7：，为阶方阵，证明的主对角线上元素之和等于的主对角线上元素之和。证：的第i行元素与的第i列的

17、元素积之和 主对角线元素之和的主对角线元素之和。教学后记：第二章 矩阵2.2矩阵的运算（2）2.3矩阵的逆一、本次课主要内容矩阵的转置；矩阵的分块；矩阵的逆的定义、存在的充要条件、求解方法。二、教学目的与要求掌握矩阵的转置，了解矩阵的分块，掌握矩阵的逆以及其存在的充要条件和计算方法。三、教学重点难点1、矩阵的逆；2、矩阵的逆及存在的充要条件、计算。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。五、作业与习题布置P55-56 习题2 8（3）、（6），15（1）、（3），18, 22§2. 1 矩阵的运算（2）三、转置矩阵行转成列得 1定义1 称为的转置阵，为阶，为阶。转置性质：（

18、1），（2）（3）， （4） ：。2定义2 矩阵，若有，称为对称阵。为对称阵。矩阵，若有，则称为反对称阵。为反对称阵定义3 对于阶方阵，若有称为正交矩阵。 例 与皆为阶对称阵，则 （）+为对称阵； （）但不一定为对称阵。例 但为矩阵，则（或）为对称阵。例 与皆为正交阵，则 （）+不一定为正交阵； （）必为正交阵。四、分块矩阵1、分块矩阵的加，数乘，转置1）分块加法：+=，使与分法相同。2）数乘分块阵：。3）分块阵转置：。2、两矩阵的分块乘法 分块原则：列分法与的行分法相同，即满足可乘条件的列块数=的行块数。的子块的列数=的子块的行数。其中子块。分块乘法与矩阵普通乘法形式相同。例1：，分块为 其

19、中的列数等于的行数，则例2：列分块为，则非齐次线性方程组可转换为。例3：矩阵方程，列分块为，列分块为，则 得 。则讨论矩阵方程可转化为研究个线性方程组。例4：，为阶方阵且，求？练习：1 ，求。2设，对任意，证明。3，求。§2.3 方阵的逆矩阵一、方阵的行列式阶方阵，称为的行列式，也记。方阵的行列式性质：设，为阶方阵：（1）。（2）。（3）。应注意：。例1：为矩阵，证明是对称矩阵。例2：证明。例3：1）阶方阵，求_。 2）设_。例4：，证明。例5：，为阶方阵，求。例6：维列向量，。证明。例7：为3阶方阵，是3维列向量。，求。例8：，证明。二、阶方阵逆的定义定义1 阶方阵，若有阶方阵，使

20、得称可逆，有逆，或满秩，非奇异，就是的逆。若可逆，的逆是唯一的，故记。即。三、逆的求法及判别1定义2 对于，设为的元素的代数余子式，构造矩阵：， 称为的伴随矩阵。例如： 。 。（准确求是求逆的关键）注意：准确求出。 中的排法。2定理 可逆证明思路：（1）利用逆的定义； （2）利用行列式展开公式及推论。例9：求上述两矩阵的逆。，则。例10：（1）可逆，。注意：，不一定有。（2）。例11：，为阶方阵，可逆可逆，且也可逆。（同理不可逆，至少有一个矩阵不可逆。）例12：可逆，则四、逆的运算性质（1），（2），（3）， （4），（5）。例13：，为3阶方阵，求。例14：，为阶方阵，可逆，且，证明可逆。例

21、15：，为阶方阵，可逆，且，证明可逆。例16：，（1）证明可逆，求。（2）证明可逆，求。五、解矩阵方程三种形式：设A，B可逆例17：，求。例18：，求。例19：，求。例20： ，求。例21：，求 。六、分块矩阵的逆形如：，称，为分块对角阵，其中皆为子方块，若的阶数相同，则。，若，则 ， ，特别。四块的块三角矩阵：为方子块，则。例22：，求。例23：为可逆阵：为方子块，证明，并求的逆。例24：，求。练习：1可逆，证明 。若 ，求。2，及皆为阶可逆矩阵，求。3，求。4，求。教学后记：第二章 矩阵2.4 矩阵的秩与初等变换一、本次课主要内容矩阵的秩的概念；矩阵的初等变换；初等矩阵。二、教学目的与要求

22、掌握矩阵的秩概念，掌握矩阵的初等变换和初等矩阵。三、教学重点难点1、矩阵的秩；2、矩阵的初等变换。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。五、作业与习题布置P58 习题2 33（2）、34（2）§2.4 矩阵的秩与初等变换一、矩阵的秩的概念定义1 中取行列这些行列交叉处元素按原顺序构成的阶子行列式称为的一个阶子式。的阶子式共有个，我们关心的是阶子式的值为零或非零。定义2 中，非零子式的最高阶数称为的秩，记为，记。理解秩的含义：（1）。（2），。（3）。（4）有一个阶子式，则。（5）所有阶子式，则。（6）至少有一个阶子式，所有阶子式。二、矩阵的初等变换定义1 矩阵的初等变换是

23、指下列三种变换（）对换变换：互换矩阵两行（列）的位置。（）数乘变换：用一个非零的数乘矩阵的第行（列）。（）倍加（消元）变换：将矩阵第行（列）元素的倍加到第行（列）上。对矩阵的行做初等变换称为初等行变换，对列做初等变换称为初等列变换。注意：下面三点变换用号数乘变换不记录且对换不记录负号定义2 （）矩阵阶梯形 一般形如特点：1）如果存在零行，则零行全在矩阵下方。 2）从第一行起，每行第一个非零元前面零的个数逐行递增。简化阶梯形如：特点：阶梯形中非零行第一个非零元素为1，其对应的列的其他元素为0。标准形为 特点：矩阵的左上角对角元有个为1，其他皆为零。定理 1）初等变换可把化为标准形。2）初等行变换

24、可把化为阶梯形或简化阶梯形。例1：用初等行变换把化为阶梯形例2：用初等变换把化为标准形三、初等矩阵 定义1 单位矩阵I经过一次初等变换所得的矩阵称初等矩阵 （1）对换初等矩阵：单位阵I的行（列）互换。 （2）数乘初等矩阵：单位阵的I的行（列）的倍。 （3）消元初等矩阵：单位阵的I的行（列）倍加到行（列）上。定理1 对矩阵做一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等矩阵左（右）乘。 简言之：“左乘行变，右乘列变”。例3： ，用初等矩阵表示把化为标准形。解：思考：左乘或右乘一系列初等矩阵化为标准形。一些结论定理2 对于矩阵，必存在可逆矩，使定理3 为可逆矩阵，则可表成有限个初等矩阵之积，即(为初等阵

25、)。四、初等变换求的逆。原理：，（为初等阵）。则即：（1）式表一些行变换把化为单位阵（2）式表这些行变换把化为可逆阵例4：求下列矩阵的逆（1）（2） （3）例5：，求初等矩阵。例6：可逆矩阵的第行与第行对换变为，则逆阵与的关系如何？教学后记：第二章 矩阵2.5线性方程组有解的判别法一、本次课主要内容消元法与矩阵的初等变换；线性方程组有解的判定。二、教学目的与要求掌握矩阵的初等变换，掌握线性方程组有解的判定。三、教学重点难点1、矩阵的初等变换；2、线性方程组有解的判定。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。五、作业与习题布置P58 习题2 35（3）、36§2.5 线性方程

26、组有解的判别法一、求解非齐次线性方程组：系数矩阵 ：增广矩阵解方程组等价于对增广阵做行初等变换化为阶梯形或简化阶梯形。设的左上角的阶子式。，对应于一个简化的方程组，与原方程组同解。（1），方程组无解。（2），则有解。设为自由取值，解得个自由取值定理1 当时，无解。当时，有解。（1）若时，有唯一解。（2）若时，有无穷多解。求解非齐次方程组步骤为：1步：把用初等行变换化为阶梯形或简化阶梯形。2步：求，。3步：由未知数个数，讨论。解：（），则无解。 （）4步：取自由量，求解方程组。二、求解齐次线性方程组：（总有解）1，称为零解。2下面解决两个问题：1）在何条件？仅有零解。2）在何条件？有非零解（无穷

27、多解）。定理2 ，当有无穷多解。当仅有零解。推论1：有 非零解。仅零解。推论2：，当，则有非零解。例1：求解方程组例2：求解非齐次方程组及对应的齐次方程组例3：求解非齐次方程组及对应的齐次方程组例4：，为何值，则（1）有唯一解，（2）无解，（3）有非唯一解，并求解。解：，讨论：或的情况（1）当，且方程组有唯一的解。（2）当无解。（3）当，无穷多解，。 教学后记：第三章 向量的线性相关性与线性方程组解的结构3.1 n维向量空间与向量的线性相关性一、本次课主要内容n维向量的概念；n维向量空间；线性相关性。二、教学目的与要求了解n维向量和向量空间的概念，掌握线性相关性的概念和判断。三、教学重点难点1

28、、线性相关和线性无关的概念；2、线性相关性的判断。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。五、作业与习题布置P82 习题3 3（3）、（6），6,8（1），9§3.1 n维向量空间与向量的线性相关性一、n维向量定义1： 个有序的数组成的数组，把它们排成一行：，称为维行向量（一行阵）排成一列：，称为维列向量（一列阵）设 加法：数乘：满足下八条运算律：1） 2）3） 4）5） 6）7） 8）设集合中定义上述的加法数乘，且满足上面八条运算律，称为在实数域上的向量空间。二、向量的线性表示（线性组合）定义2 设为维列向量，若有称为（或可由）的线性表示（组合），为线性表示系数。令，则上

29、式等价于 线性表示转化为非齐次方程组的解。例1： 求在下的表示式。例2：, , 求在下的表示式。 （为任意数）三、向量组的线性相关性定义3 设维向量，若存在不全为零的数，使得称 线性相关，否则称线性无关。解释：若能寻找到一组不全为零的，使上式成立，称该向量组相关；若当且仅当才使上式成立，则称向量组线性无关。令 ，由上式为 （i）若有非零解相关。（ii）若仅有零解无关。例3：中， ，称为基本向量组（标准正交基），它们是线性无关的。例4：观察法判别下列向量组线性关系（1） （相关）（2） （相关）（3） （相关）例5：判别下列向量组线性相关性 （无关） （相关）例6：线性无关，证明线性无关。线性相

30、关一些性质：1）含0向量的向量组必线性相关2）含两成比例的向量的向量组必线性相关3）有部分向量线性相关，则全体向量线性相关。全体向量线性无关，则任一部分向量线性无关。4）向量组中向量数大于维数则线性相关，（个维向量的向量组线性相关）。四、线性表示与线性相关性的关系 定理 向量组线性相关至少有一个向量是其余向量的线性表示。解释：1）向量的线性表示，必可推出该组向量线性相关。但由线性相关，要推出某一个向量是其它向量线性表示，就得根据问题的条件来考虑。2）线性相关，不一定能推出“每一个”向量都可由其余向量线性表示。例7：（1）线性相关，则可由线性表示吗？举例说明之。(2) 线性相关，又线性无关，则可

31、由线性表示吗？ 例8：线性无关，且线性相关，求的值。（）例9：为的方阵，维列向量线性相关，证明线性相关。例10：线性无关；线性相关，则可由唯一线性表示。例11：线性无关，,线性相关，不能由的线性表示，证明线性无关。（其中为任意常数）。证：因线性相关，而线性无关，必有：（1）又因不能由线性表示，则有，线性无关。设（2）（1）代入（2）：因，线性无关，则上式系数为0，即故由（2）式知，线性无关。教学后记：第三章 向量的线性相关性与线性方程组解的结构3.2 向量组的极大线性无关组与秩一、本次课主要内容向量组与矩阵；极大线性无关组与向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩的关系。二、教学目的与要求掌握极大线性

32、无关组与向量组的秩的概念、求解，了解向量组的秩与矩阵的秩的关系。三、教学重点难点1、极大线性无关组的概念；2、向量组极大线性无关组的求解。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。五、作业与习题布置P83 习题3 21（2）、22，23§3. 2 向量组的极大线性无关组与秩一、两向量组等价定义1 与互相线性表示，称两向量组等价。 设 ， 即 等价性质（1）自反性；（2）对称性；（3）传递性。二、向量组V的极大无关组与秩。定义2 设向量组V中一个组，满足 1）若线性无关；2）对V中任一个向量，可由此向量组线性表示，即，称 为向量组的一个极大无关组.理解:1)极大无关组定义是把线

33、性表示与线性无关结合起来的一个概念.2)定义中条件是必备的,条件可换为另一些说法.定义2 是V的极大无关组线性无关,且对V中任一个,则这个向量线性相关。线性无关，且V中任个向量线性相关。一些结论：1）向量组V中的极大无关组的组数不唯一。 2）向量组V中每一个极大无关组含向量个数唯一。 3）向量组V与极大无关组等价。 4）向量组V中的任两个极大无关组是等价的。定理1 向量组可由线性表示 且， 则线性相关。推论1：（等价命题） 向量组线性无关，且可由线性表示，则。推论2：V中两极大无关组含向量个数相等。定义3 V中的一个极大无关组所含向量个数称为向量组的秩。记为秩，“秩”是向量组的一个数字特征。例

34、1： 中，为的一个极大无关组，秩。 ，极大无关组为，故。推理3：向量组（）可由向量组（）线性表示，则秩()秩（）。推论4：两等价的向量组的秩相等。例2：扩充（剔除）法求极大无关组。 求，的一个极大无关组。三、向量组的秩与矩阵秩的关系矩阵列向量组。定理2 矩阵A的秩等于A的列（行）向量组的秩。推论：A列分块为 ，求A的秩，当 线性相关。线性无关。（）判别向量组线性相关性方法把向量组排成矩阵为阶梯形求，由推论可得相关性。例3 判别，的相关性。（）求极大无关组方法 设向量组方法1： 1步： 阶梯形求秩 2步： 从向量组中挑出，判别无关性。若这r个向量无关，则为极大无关组。方法2：引理：矩阵A经初等行

35、变换化为B，则A的列向量组与B的对应列向量组有相同线性关系。1步：把排成矩阵，用初等行变换把A化为阶梯形或简化阶梯形。（阶梯形）2步：求的阶梯数，易从B中的列知线性无关，为一个极大无关组。例4：求，的一个极大无关组，并求其余向量由此极大无关组的线性表示。练习：求的一个极大无关组（本身）。例5：向量组的秩为2，求t = （2） 。例6：设 证明线性相关。例7：设 ，与，的秩相等，且可由线性表示，求a, b。例8：（单位阵），证B的m个列线性无关。例9：设向量组若线性无关，则线性无关。即线性无关向量组延长分量得新向量组仍线性无关。 教学后记： 第三章 向量的线性相关性与线性方程组解的结构3.3 向

36、量空间的基、维数与坐标一、本次课主要内容向量空间的基、维数与坐标的定义；讲解3.1、3.2中部分典型例题。二、教学目的与要求了解向量空间的基、维数和坐标的定义，理解向量空间的基与向量组的极大线性无关组之间的关系。三、教学重点难点1、向量空间基、维数、坐标的定义；2、向量空间基、维数的求法。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。五、作业与习题布置P83-84 习题3 24，26,28§3.3 向量空间的基、维数与坐标一、向量空间的定义 定义1 非空的n维向量集合V及数域F，定义两种运算加法：，有。（加封闭）数乘：，有。（数乘封闭）称V为数域F上的向量空间，F取实域R称V为实

37、向量空间。是一个空间称零空间。（仅一个元素构成）空间必包含0元素。（唯一）空间中任一元必有负元。例1：。（是空间） 。（不是空间） 。（不是空间） 。（不是空间）生成空间 二、空间的基，维数，坐标定义2 设向量空间V中，线性无关，有（唯一）。称为空间V的基（空间一个坐标系）。称r为空间V的维数，记为dimV= r，称V为r维空间。称线性表示系数为在基下的坐标。记，向量与坐标一一对应。几个概念的比较向量空间V（看做）向量组V空间V的基极大无关组维数向量组V的秩坐标唯一的线性表示定理 n维向量空间中任n个线性无关的向量都是向量空间V的基。（判别基的定理）例2：求 的基，维数。中，证明是的基。中，证

38、明，是的基。例3：求在基，下的坐标。三、实向量空间中向量的内积，长度，正交性设 （1）向量内积定义1 ，称数为向量的内积（实向量空间内积）内积性质：1），2）3）4）。（2）向量的长度 定义2 称为的长度。当，称长度为1的为单位向量。一般：就是的单位向量。，称为的夹角。（3）向量的正交性定义3 设向量，若, 称与正交，记为。若向量组两两正交，称此向量组为正交组，又若它们都是单位向量，则称此向量组为标准（规范）正交组。例4：求与向量正交的向量集合。Schmidt正交化（把一个无关组变换为一个标准正交组）。为简单起见只对线性无关向量正交化为正交组。第一步：设 。第二步：求，使与正交，即，令：上式两

39、边与做内积，得 。第三步：求，使之与正交，即满足。设 ，。得最后把已正交的向量组单位化：。为标准正交组。例5：用Schmidt正交化方法把下列向量组化为标准正交组。（1）（2）。教学后记：第三章 向量的线性相关性与线性方程组解的结构3.4 线性方程组解的结构一、本次课主要内容齐次线性方程组解的结构、非齐次线性方程组解的结构。二、教学目的与要求掌握齐次线性方程组解的结构、非齐次线性方程组解的结构。三、教学重点难点1、齐次线性方程组解的结构；2、非齐次线性方程组解的结构。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。五、作业与习题布置P84 习题3 31（2）、34 §3.4 线性方

40、程组解的结构 一、的解结构1），等价：定理1 2）的基础解系的解集记为性质：1）解，则。 2）解，则。故是一个向量空间，称为的解空间。定义 的解空间的基称为基础解系。若解是基解系，则应满足：1）线性无关；2）中任一解可由此组线性表示。求的基础解系。由前知识知任一解（1）把上面个解排成矩阵注意到的第行下方的阶子式得 解线性无关（2）由（1），（2）知：为的基础解系。定理2 ，则。即解空间含有个线性无关的解向量。，则仅零解。例1：求基础解系（1）（2）例2：设三阶方阵的三个列是下列方程组的解，求。例3： 的解空间维数为2，求及求解该方程组。例4：设是的基础解系，证明：也是的基础解系。例5*：证明：

41、，则有。二、的解的结构。1）。定理3 若对于 2）解结构定理引理：的任两解之差是的解。定理4 其中是的基础解系。例6：求通解。例7：设，。问取何值？（1）可由唯一线性表示。（2）不能由线性表示。（3）可由非唯一线性表示，并写出表示式。例8：（1），则解空间维数为_。（2），则有_解。（3）的每一行元素之和为，则非齐次方程组，有一个解为_。例9：是的基础解系，证明：线性无关。例10：取何值？方程组有唯一解，无解，无穷多解。例11：设为的三个线性无关的解，求的通解。例12：设4元线性方程组为（）又已知4元线性方程组（）的通解为（1）求线性方程组（）的通解。（2）求线性方程组（）和（）的所有公共解。

42、解：方程组（）的通解为解：把（）的通解代入（），则有：得时，公共解为：。例* 有一堆桃子，要分给5只猴子，第一只猴子先来了，它把桃子平分为5分，还多一个，扔了，然后拿走了自己的一份；第二只猴子来了，又把桃子分成5份，又多一个，也扔了，同样拿走自己的一份；以后其余的三只猴子先后到来，做了同样的事情，问原来至少有多少个桃子？最后至少有多少个桃子？解：设共有个桃子，第只猴子拿走了个桃子，则列出5个方程的6元非齐次方程组。 即为 因6元方程组系数矩阵与增广阵的秩都为5，即中，故有解，且有无穷多解，通解为其中是对应的齐次方程组的一个非零解，为非齐次方程组的一个特解，（i）从观察知，要求非齐次方程组的一个

43、特解，可令，得，即（ii）考虑对应的齐次方程组 左右两边相乘，约分得因4与5互质，可取。得因而齐次方程组的一个非零解为：。故非齐次线性方程组的通解为原来桃子个数，第5只猴子有桃子为个，取最少正整数，即，则则原来至少要有3121个桃子，最后还剩下4×255=1020个桃子。教学后记：第四章 矩阵的特征值与特征向量4.1 方阵的特征值与特征向量一、本次课主要内容方阵特征值与特征向量的定义及其性质。二、教学目的与要求掌握方阵的特征值与特征向量的定义及求解，了解其相关性质。三、教学重点难点1、方阵的特征值、特征向量的求解；2、方阵的特征值与特征向量的性质。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨

44、论，总结归纳。五、作业与习题布置P104 习题4 1，2§4.1 方阵的特征值与特征向量一、方阵的特征值与特征向量定义1 设方阵，若存在数及维向量，使得：称数是的一个特征值，称为的特征值对应的特征向量。几何代数解释： 像与原像平行。 表示像与原像的放缩系数。定义2 称为的特征多项式，其个根为的个特征值，（包括重根，复根）。称为的特征矩阵。则齐次方程组的非零解集是的特征值对应的特征向量集。求的特征值与特征向量（1）由特征多项式，求出特征值。（2）对每一个，由齐次方程组，解得的非零解集就是对应的特征向量。（转化为计算行列式与解齐次线性方程组）例1：求下列矩阵特征值（1），（2）例2：求的

45、特征值及特征向量。例3：求下面矩阵的特征值与特征向量。（1），（2）二、特征值与特征向量性质1特征值的性质设的个特征值为（1）（2） （称为的迹）推论：可逆的个特征值非零。2特征向量的性质（1）设的特征值对应的特征向量为，则其非零的线性组合仍为的特征向量。（2）的不同特征值对应的特征向量是线性无关的。（3）* 设的两不同特征值，又设的无关特征向量为，的无关特征向量为，则 线性无关。例4：（1），则的一个特征值为_。（2），则的特征值为_。 （3）的特征值为1，2，3，则|=_。 （4）有非零解，则有一个特征值为_。例5：，若是的一个特征向量，求及对应的特征值。例6：是的一个特征值，求及对应的特

46、征向量。例7：设是矩阵的一个特征值，对应的特征向量为，证明： 是的一个特征值。 是的一个特征值。 若可逆，则是的一个特征值。 若，则是多项式矩阵的特征值。它们的特征向量皆为例8：设的三个特征值为1，2，3，求（1）的特征值，。（2）的特征值。 （3）教学后记：第四章 矩阵的特征值与特征向量4.2 向量的内积与向量组的正交规范化一、本次课主要内容向量的内积；正交向量组与向量组的正交规范化；正交矩阵。二、教学目的与要求掌握向量的内积；掌握正交向量组的概念和向量组的正交规范化；会求正交矩阵。三、教学重点难点1、正交向量组和向量组的正交规范化；2、求解正交矩阵。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论，

47、总结归纳。五、作业与习题布置P104 习题4 5（1），6§4.2 向量的内积与向量组的正交规范化一、向量组的内积在空间几何中，内积描述了向量的度量性质，如长度、夹角等.由内积的定义：，可得且在直角坐标系中将上述三维向量的内积概念自然地推广到n维向量上，就有如下定义。定义1 设有n维向量，称为与的内积.内积是向量的一种运算，用矩阵形式可表为.例1 计算，其中x , y如下：(1) x（，），y（，）；(2) x（，），y（，）.解 (1) x , y·（）··（）（）·；(2) x , y（）··（）··

48、.若、为n维实向量，为实数，则下列性质从内积的定义可立刻推得.(i) x , yy , x，(ii)x , yx , y，(iii)x+y , zx , zy , z.同三维向量空间一样，可用内积定义n维向量的长度和夹角.定义2 称为向量x的长度(或范数)，当x1时称x为单位向量.从向量长度的定义可立刻推得以下基本性质：（） 非负性： 当x0时，x，当x时x.（）齐次性： xx.（）三角不等式： xyxy.（）柯西-许瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式: x，yxy.由柯西-许瓦茨不等式可得（x·y）.于是我们定义，当，0时，称为x与y的夹角.二、正交向量组与向量组的正交规范化当x，y0时，称向量x与向量y正交.显然，n维零向量与任意n维向量正