第二章 矩阵及其运算

1、章节第2章课题矩阵及其运算计划课时数10授课班级04级计算机系专升本10-13班教学目的理解矩阵的概念、熟练掌握矩阵的各种运算;理解逆矩阵的概念；熟悉矩阵可逆的充要条件；掌握两种定义、伴随矩阵求逆方法；熟悉矩阵的分块运算。教学重点矩阵的乘法；方阵的行列式；伴随矩阵; 逆矩阵的概念；求逆方法；分块求逆方法。教学难点矩阵乘法不满足交律以及由此的问题；矩阵可逆性的讨论；分块求逆方法教学方法和手段讲授 习题课 答疑备注教 学 内 容批注第二章 矩阵及其运算矩阵是将一组有序的数据视为“整体量”进行表述和运算，使得问题简洁和易于了解本质。矩阵不仅是解线性方程组的有力工具，而且是线性空间内线性变换的表现形式

2、，因此有关矩阵的理论构成了线性代数的基本内容。 本章介绍矩阵的概念；矩阵的线性运算、矩阵乘法；逆矩阵及矩阵的初等变换；分块矩阵及其运算等内容。§1 矩阵1、矩阵的概念 定义 由个数排成行列的数表：称为一个矩阵，简记为，其中表示位于数表中第行第列的数，称为矩阵的元（或者元素）。常用大写英文黑体字母来表示矩阵，如等。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中若无特殊说明，一般是指实矩阵。两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们为同型矩阵。如果矩阵和是同型矩阵，且它们的对应元素相等，即教 学 内 容批注则称矩阵与相等，并记作。2、特殊矩阵（1）方阵若，则称为阶矩阵，也叫

3、阶方阵。在阶方阵中，从左上角到右下角的连线称为主对角线，简称对角线。元素位于主对角线上。（2）行矩阵（行向量）只有一行的矩阵叫做行矩阵，又叫做行向量。（3）列矩阵（列向量）只有一列的矩阵叫做列矩阵，又叫做列向量。这种矩阵以后经常用小写希腊字母如等表示。（4）零矩阵元素都为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或。注意，不同型的零矩阵是不相同的。（5）上三角型矩阵（上三角阵）在阶方阵中，若主对角线左下方所有元素全为零（即，即 教 学 内 容批注称为上三角形矩阵，简称为上三角阵。同理可定义下三角阵为： （这里）（6）对角阵除对角线上元素外其他元素全为零的阶方阵称为对角阵，即 此对角阵既为上三角阵又是下三角

4、阵，可简记为 （7）数量矩阵对角阵的主对角线上元素全相等的矩阵也称之为数量矩阵。（8）单位阵在对角阵中若，即则称之为单位矩阵，将阶单位矩阵记为。 另外，只有一行一列的一阶方阵实际上是一个数。 值得指出的是，矩阵与行列式是两个完全不同的概念。（在后面的学习中将会详细的阐述） 教 学 内 容批注3、例子例题1、图的邻接矩阵；四个城市间的单向航线如图所示1423例题2、线性变换的系数矩阵个变量与个变量之间的关系式 *表示一个变量到变量的线性变换，其中，为常数，线性变换*的系数构成矩阵（系数矩阵），例如恒等变换。例题3、在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴(反时针方向转轴)，那么平面直角

5、坐标变换的公式为 其中为轴与轴的夹角.显然新旧坐标之间的关系，完全通过公式中系数所排成的矩阵教 学 内 容批注 表示出来。§2 矩阵的运算矩阵的意义不仅在于把一些数据根据一定的顺序排列成阵列形式，而且还在于对它定义了一些有理论意义和实际意义的运算，使它真正成为有用的工具。一、矩阵的加法1、定义定义 设,是两个矩阵，则矩阵称为和的和，记为.需要指出的是，两个矩阵相加是有条件的，即与必须是同型矩阵。例如教 学 内 容批注2、运算律（设都是矩阵）(1)交换律 (2)结合律 (3)零矩阵 ，即任何一个矩阵和与之同型的零矩阵相加仍为。(4)负矩阵 对于任意，存在，满足，则称为矩阵的负矩阵。由(

6、4)可以定义减法：二、数与矩阵的相乘1、定义 设是矩阵，是实数（记R），定义一个新的矩阵： 其中，称为矩阵与数的数量乘积，记为，这种运算也简称为数乘运算。例如 =教 学 内 容批注2、运算律（设为矩阵，为数）(1) (2) 结合律 (3) 分配律 (4) 若为阶矩阵，则有此外，还容易得到： 矩阵相加与数乘矩阵合起来统称为矩阵的线性运算。例 设有矩阵。求。三、矩阵与矩阵的乘法 1、定义 设有两个线性变换 （1） （2）若想求出从到的线性变换，可将（2）代入（1）得：教 学 内 容批注（3） 线性变换（3）可以看成是先作线性变换（2）再作线性变换（1）的结果，我们把线性变换（3）叫做线性变换（1）

7、与（2）的乘积，相应的（3）对应的矩阵定义为（1）和（2）对应的矩阵的乘积，即 定义：设是矩阵，是矩阵，则定义一个新的矩阵： 其中 ，则称矩阵为矩阵乘以矩阵之积，记作 注：(1) 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的乘积才是有意义的。 (2) 两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数。(3) 乘积矩阵的第行第列元素等于左矩阵的第行元素与右矩阵的第列对应元素乘积之和。教 学 内 容批注按此定义，一个行矩阵与一个列矩阵的乘积是一个数：例题 求矩阵 与的乘积。例题 求矩阵 与的乘积与。此例不仅说明了矩阵的乘积一般不满足交换律，即一般来说，而且说明了

8、两个非零矩阵的乘积，可能是零矩阵。所以，若就不一定能得出或者的结论。由此还可以得出，矩阵相乘时，消去律一般不成立，即不能由且得出。这一点与普通数的乘法性质不同，应特别引起注意。例题 证明上三角阵与上三角阵的乘积仍为上三角阵证 设为阶上三角阵，即 当时， 当时，教 学 内 容批注记，则 当时，有 = + 因为当时，当时，由于，故，从而当时，有，即是上三角矩阵。 用类似的方法，可以证明下三角矩阵与下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵，对角矩阵与对角矩阵的乘积仍为对角矩阵。例题设，求及由此例可见，对于任意矩阵，有 =但要注意：当时，=无意义。2、运算律（1）（2），（其中R）（）教 学 内 容批注如果方阵

9、与的乘积满足交换律，即则称与是可交换的。例题 求与矩阵可交换的所有矩阵。例题 证明阶数量矩阵与所有阶方阵都可交换。证 设任一阶方矩为 又设 为阶数量矩阵，则 =同样可得，从而，即两矩阵可交换。 特别地，当时，即，有 由于矩阵的乘法满足结合律，故个方阵的连乘积，可以不必讨论哪些先乘哪些后乘，而有确定的含义，将方阵的幂定义为 。 教 学 内 容批注显然只有方阵的幂才有意义。由以上定义，对于任意自然数，方阵的幂有如下性质： 必须强调的是，由于矩阵乘法不满足交换律，故一般地 但若两个矩阵可交换，即，则易得 例题 设，计算，及。例题 设，求，。例题 设，求教 学 内 容批注解 =25= =例4：证明提示

10、：用数学归纳法证明四、矩阵的转置1、定义定义 把矩阵的行与列互换，得到的矩阵称为矩阵的转置，记作，即，其中。 例如 2、运算律求一个矩阵的转置也可以看作是矩阵的一种运算，它有以下性质（假设以下运算可行）：教 学 内 容批注（1）；（2）+；（3）；（4）=；（证明略）例题 设求.若为阶方阵，且满足=，即 ，则称之为对称矩阵。对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。若=，则称之为反对称矩阵，反对称矩阵的特点是：它的主对角线上的元素全为零。例题 试证任意n阶方阵都可以分解为一个对称方阵和一个反对称方阵之和。例题 设列矩阵满足，E为n阶单位阵，证明是对称阵，且。五、方阵的行列式 1、定

11、义定义：由n阶方阵的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵的行列式，记作或者。教 学 内 容批注注意：方阵和行列式是两个不同的概念，阶方阵是个数按一定的方式排成的数表，而阶行列式则是这些数（也就是数表）按一定的运算法则所确定的一个数。2、运算律（设为阶方阵，为常数）(1)(2)(3)（要讲一下（3）的证明过程。）例题 设均为阶方阵，且，则。3、伴随矩阵（1）定义 设是阶矩阵的行列式中元素的代数余子式，则称矩阵 为矩阵的伴随矩阵，记作。（2）基本公式 =（证明略）（3）计算教 学 内 容批注例题 设 求。 = 六、共轭矩阵1、定义 当为复矩阵式，用表示的共轭复数，记 称为的共轭矩阵。

12、2、运算律（设为复矩阵，是复数）(1)(2)(3)§3 逆矩阵一、 逆矩阵1、引入 设给定一个线性变换 教 学 内 容批注它的系数矩阵是一个阶矩阵，若记 则线性变换可记作：用的伴随矩阵左乘上式两端可得： 当时，可解出 记，上式可记作 ，此式表示一个从到的线性变换，称为原线性变换的逆变换。我们代入得到： 可见，为恒等变换所对应的矩阵，故；另一方面，把代入得到： 由此可得到 。 于是有 由此引入逆矩阵的定义2、定义 设是阶方阵，若存在阶方阵，使得 则称矩阵是可逆矩阵或者非奇异矩阵，称为的逆矩阵。教 学 内 容批注二、 逆矩阵是唯一的证明：假设都是的逆矩阵，则有： 所以我们也用来表示逆矩阵

13、，即 三、 逆矩阵的有关定理定理1 阶矩阵为可逆矩阵的充分必要条件是。且如果为可逆矩阵，则有 。证 必要性： 若为可逆矩阵，则有，使得 两边求行列式，可知 所以 。 充分性： 若，由=可得 =。于是矩阵为可逆矩阵，且。教 学 内 容批注推论 设，为阶矩阵，若=或者，则矩阵，都可逆，且，。证 不妨设=，两边求行列式，可得 则必有，由定理1知，都可逆，且 。 此推论说明，要判断矩阵是否是的逆矩阵，不必严格按照定义检验=，而只要检验=或者是否成立即可。运算律：（可逆）（1）也可逆 ，此时；（2）可逆的充分必要条件为数此时若，有；（3）可逆，且；（4）同阶可逆，则可逆，且；（5）。（证明略）性质（4）

14、还可推广为： 若都是阶可逆矩阵，则也可逆，且 。 教 学 内 容批注注意1 当时，有：（1）（2）（3）（4）2 当时，为可逆矩阵，也称为非奇异矩阵 当时，为不可逆矩阵，也称为奇异矩阵四、 逆矩阵的应用例题1求方阵的逆矩阵。例题2求矩阵方程的解，其中例题3 设教 学 内 容批注，且求例题4设，求。五、矩阵多项式：1、定义 设为x的m 次多项式，为阶矩阵，记：，则称为矩阵的m次多项式。2、性质性质1：同一矩阵A的矩阵多项式之间可以交换，也可以因式分解（象一元多项式一样）。性质2：。性质3：§4矩阵的分块法一、 分块矩阵的定义把一个阶数较高的矩阵，用若干条横线和竖线分成若干小块，每一小块

15、都叫做矩阵的子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵。教 学 内 容批注例如，用一条纵线和一条横线可以将下面的矩阵 分成四块 其中 ，。也可以用一条横线将它分成两块 其中 从上述分法，我们可以看到，对于给定的一个矩阵，可以有很多种不同的分块方法，采用何种分块，完全根据实际需要而定，并充分利用给定矩阵的特点，使问题尽可能简化。 如果把分块矩阵的的每一个子块作为矩阵的一个元素，可以按照矩阵的运算法则建立分块矩阵的运算法则。二、 分块矩阵的运算1、 分块矩阵的加法同型矩阵，分法相同，子块相加教 学 内 容批注设是两个矩阵，将它们用同样的方法分块，设为 = =其中和是同型矩阵（），则可得分块矩阵的加法和数

16、乘运算分别如下： 2、分块矩阵的数乘 设分块矩阵： （这里为实数）。即数与分块矩阵的数乘运算就是将该数与分块矩阵的每个子阵相乘即可。很容易验证：它们运算的结果和没分块之前原矩阵经加法和数乘运算的结果是相同的，且关于矩阵加法和数乘运算的性质同样适用于分块矩阵的加法和数乘运算。为方便起见，将这两种运算简记为 ， 教 学 内 容批注 3、分块矩阵的乘法设为矩阵，为矩阵，由矩阵乘法可得为矩阵。现在对矩阵作相同的分块，分块如下：其中的列数分别等于的行数，则可求分块矩阵与的乘法运算，若记则 其中 （）这与普通矩阵乘法规则在形式上也是一致的。但必须注意：左矩阵的块始终在乘积的左边，右矩阵的块始终在乘积的右边，且可以证明，用分块矩阵求得的乘积与矩阵不分块做乘法运算求得的乘积是相同的。教 学 内 容批注例题按下列分块计算，其中， 4、分块矩阵的转置 设 则的分块转置矩阵为 5、分块对角阵 若在矩阵=的分块矩阵中，非零子块位于主对角线上，而其余子块均为零矩阵，即 其中分别是阶方阵（），那么称为分块对角矩阵或准对角阵