第八单元多元函数微分学

1、第八单元 多元函数微分学一、基本概念1、二元函数的定义：设有三个变量x,y,z，如果当变量x,y在一定范围内任意取定一对数值时，变量z按照一定的规律f总有惟一确定的数值与它们对应，则称z是x,y的二元函数，记为z=f(x,y),其中x,y称为自变量，z称为因变量，自变量x,y的取值范围称为函数的定义域。2、二元函数的的几何意义 设z=f(x,y)的定义域为D，则在空间直角坐标系中，其表示一个空间曲面，且这个曲面在xoy坐标平面上的投影即为该函数的定义域D。3、多元函数 若对于变量x1,x2,xn在可能取值的某一范围内的每一组值，变量z依照某一规则有确定的值与之对应，则称z为x1,x2,xn的n

2、元函数，记为z=f(x1,x2,xn). 二元及二元以上的函数统称为多元函数。4、求二元函数定义域的几个原则 分式的分母不能为零；开偶次方根号下非负；对数式中的真数恒为正；arcsinf(x,y), arccosf(x,y)中的f(x,y)1;求复合函数定义域时，宜由外层到里层进行。5、多元函数的性质 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；在分母不为零的点处，连续函数的商仍为连续函数； 多元连续函数的复合函数仍为连续函数； 多元初等函数在其定义域上都是连续函数； 最大（小）值定理：有界闭区域D上的连续函数，在区域D上必能取得最大值与最小值； 介值定理：有界闭区域D上的连续函数，在区域D上必能取

3、得介于最大值与最小值之间的任何值。例1 求的定义域。x2+y24y2+1>2x 4x2y20y22x+1>0解：由 解得 （不等式组表示）所以，定义域为介于圆x2+y2=4（包括边界）内，在抛物线y2+1=2x的右侧（不包括抛物线上的点）的区域。例2 求的定义域。y0y0解：由 解得 即为该函数的定义域。例3 求的定义域（a>0,b>0+）axabyb解：由 解得 xa, yb 所以定义域为：二、偏导数与全微分偏导数1、定义：设z=f(x,y)在点P0(x0,y0) 的某一邻域D内有定义，点P(x0+x,y0)为D内任意一点,如果存在,则称这个极限值为z=f(x,y)在

4、点P0(x0,y0)处对x的偏导数,记为 类似地，z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处对y的偏导数,记为 若z=f(x,y)在区域D内每一点都有偏导数fx/(x,y), fy/(x,y),则称其为偏导函数，简称偏导数，fx/(x0,y0)称为fx/(x,y)在(x0,y0)处的偏导数值。2、偏导数的求法 求其中一个变量的偏导数时，将另外一个变量看作常量，从而变成一元函数，利用一元函数的求导法则即可求出其偏导数。例1 解：例2 解：例3 解：例4 解：例5 解： 例6 （06、11）解：例7 解：法一： 法二：所给函数变形为：f(x,1)=x+0=x 所以，全微分1、定义：设z=f(x,y)

5、在点P0(x0,y0) 的某一邻域D内有定义，点P(x0+x,y0+y)为D内任意一点, z=f(x0+x,y0+y)-f(x0,y0),若dz=Ax+By,其中A，B与x，y无关，且当趋于零时，z-dz为的高阶无穷小量，即：z-dz=（），则称dz为f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分。 如果z=f(x,y)在区域D内的每一点处都可微，则称f(x,y)在D内可微分，记作dz. 2、性质 性质1（全微分存在的必要条件）设z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分，则z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的两个偏导数fx/(x0,y0), fy/(x0,y0)必存在，且A= fx/(x

6、0,y0)，B= fy/(x0,y0)，因此， 若z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分，则有若z=f(x,y)在区域D内可微分，则有 性质2（全微分存在的充分条件）设z=f(x,y)在点P (x,y) 处的偏导数为连续函数，则z=f(x,y) 在点P (x,y)处可微分，且 （此为求全微分的公式）例8 解： 当y0时，有定义，为连续函数，故 例9 解：该函数的定义域为x+y2>0,x=1,y=0为定义域内的点 所以，例10 证： （轮换对称性） 所以，例11 （07、11）解：例12 （08、5） 解： 三、二阶偏导数 1、定义：如果z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处

7、都存在偏导数fx/(x,y)和fy/(x,y),且这两个偏导数的偏导数也存在，则称它们为f(x,y)的二阶偏导数，记为： 若在区域D内连续，则有（二阶混合偏导） 2、求法：求二阶偏导时，将一阶偏导数中的一个变量看作常量，从而依一元函数的求导法，对另一个变量求导。 例13 设z=xy2+x3y,求 解：法一： 法二： 例14 设z=xy,求 解： （幂函数求导） （指数函数求导） 例15 设z=xexsiny, 解： 四、复合函数微分法 1、复合函数的链式法则：设函数U=U(x,y),V=V(x,y)在点(x,y)处有连续偏导数，函数z=f(u,v)在对应点（u,v）处有连续偏导数，则复合函数z

8、=fu(x,y),v(x,y)在点(x,y)处对x,y有连续偏导数，且遵循链式法则： （多重复合时法则类似） x u yz = f x v y 2、几种特殊情况下的链式法则 （1）若z=f(u,v),u=u(x),v=v(x,y),即z=fu(x),v(x,y),则： （2）若z=f(u,v),u= x,v=v(x,y),即z=fx,v(x,y),则： （不要写成）（3）若z=f(u,v),u=u(x),v=v(x),即z=fu(x),v(x),则： （z为x的一元函数，该导数称为全导数） （4）若z=f(u,v),u=x,v=v(x),即z=fx,v(x),则： （z为x的一元函数，该导数称

9、为全导数） 例16 设z=eusinv,u=xy,v=x+y,求 解： 例17 设,求 解：设u=x+2y,v=3x2+y2,则z=uv 例18 设z=(x+2y)x,求解：设u=x+2y,v=x,则z=uv (一元，不用偏导符号) 例19 设函数z=arctan(xy)+2x2+y,求dz解： 例20 设z=f(u,v),u=x2y,求解：第一个位置的变量u用1代表，第二个位置的变量v用2代表 例21 设z=f(xy,x2+y2),且函数f可微分，求解：用1代表xy, 代表2x2+y2 例22 设z=(x+y)+(x-y)，求解：用1代表x+y, 代表x-y 例23 设z=f(x,xy),其

10、中f(u,v)具有连续偏导数，求解：用1代表x, 代表xy 五、隐函数微分法 1、一元隐函数：设F(x,y)=0对x,y存在连续偏导数，且，则由F(x,y)=0确定的函数y=y(x)的导数 2、二元隐函数：设F(x,y,z)=0,其中z为x,y的二元函数，F(x,y,z)对x,y,z存在连续偏导数，且，则:例24 设y=y(x)是由方程y-xey+x=0确定，求解：法一：两端同时求导得,解得法二：令F（x,y）=y-xey+x例25 设z=f(x,y)由方程x2+y3-xyz2=0确定，求解：设F(x,y,z)= x2+y3-xyz2,则例26 设z=f(x,y)由方程F（x+mz,y+nz）

11、=0所确定，其中m,n为常数，F(u,v)为可微分函数，求解：设u=x+mz,v=y+nz,则故例27 设z=f(x,y)由方程x2z+2y2z2+y=0所确定，求dz解：设F(x,y,z)= x2z+2y2z2+y,则 例28 设 （二元隐函数）解：方程两边对x求偏导数 所以方程两边对y求偏导数 例29 设Z=z(x,y)由方程F(xy,xz,y+z)=0确定，其中F是可微函数，求 解：方程两边对x求偏导数 方程两边对y求偏导数 例30 设u=f(x,y,z)具有连续偏导数，其中y=y(x),z=z(x)分别是由方程exy-y=0和ex-xz=0所确定的函数，求 解：u=f(x,y(x),z

12、(x)是x的一元函数 将exy-y=0两边对x求导得： 所以 将ex-xz=0两边对x求导得： 所以 将（2），（3）代入（1）得 例31 设z=f(u)由方程确定u是x,y的函数，其中f,可微， 解：将z=f(u)两边对x、y求偏导得：, 将两边对x求偏导得： 所以于是 将两边对y求偏导得： 所以于是例32 已知函数z=f(sinx,y2),其中f(u,v)具有二阶连续偏导数，求 （05、17）解：例33已知函数z=f(xy,x2),其中f(u,v)具有二阶连续偏导数，求 （05B、18）解：例34 设u=exysinx,则 （06，11）解：例35已知函数z=xf(x2,xy),其中f(u

13、,v)的二阶偏导数存在，求 （06、20）解： 例36 设,则全微分dz= (07、11)解： 例37设z=f(2x+3y,xy),其中f具有二阶连续偏导数，求 （07、17）解： 例38 设函数，则函数在点（2，2）处的全微分dz为（ A ） 08、05） 解： 例39 设函数，其中f(x,y)具有二阶连续偏导数，求 （08、18）解： 六、多元函数的极值 1、无条件极值 定义：设函数z=f(x,y)在点（x0,y0）的某个邻域内异于（x0,y0）的任何点（x,y）,如果都适合不等式f(x,y)< f(x0,y0)（或f(x,y)> f(x0,y0)）,则称函数z=f(x,y)在

14、点（x0,y0）处有极大值（极小值）f(x0,y0)。 极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 2、极值必要条件 设函数z=f(x,y)在点（x0,y0）处具有偏导数，且在点（x0,y0）处有极值，则它在该点处的偏导数必为零，即 驻点：能使成立的点（x0,y0），称为z=f(x,y)的驻点。 奇点：偏导数不存在的点。 驻点和奇点统称为可疑极值点。3、极值充分条件 设函数z=f(x,y)在点（x0,y0）的邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又。令，则f(x,y)在（x0,y0）处是否取得极值的条件如下： AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，A>0

15、时有极小值； AC-B2<0时没有极值； AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，需另作讨论。 步骤：（1）由方程组求出驻点 （2）计算 （3）列表讨论4、条件极值 定义：如果在点（x0,y0）的一个邻域内，对于满足约束条件（x,y）=0的点，恒有f(x,y)< f(x0,y0)（或f(x,y)> f(x0,y0)）,则称目标函数z=f(x,y)在约束条件（x,y）=0下有条件极大值（或条件极小值）f(x0,y0)，条件极大值和条件极小值统称为条件极值。5、条件极值的求法（拉格朗日乘子法） 求U= f(x,y，z)满足条件（x,y，z）=0的解题步骤：（1） 构造拉格朗日

16、函数： F（x,y,z, ）= f(x,y，z)+（x,y，z）（2） 求出F（x,y,z, ）的驻点，即求以下方程组的解fx/(x,y,z)+/x(x,y,z)=0fy/(x,y,z)+/y(x,y,z)=0fz/(x,y,z)+/z(x,y,z)=0 （x,y，z）=0 （3） 根据问题实际意义，说明条件极值的存在性，若驻点又是惟一的（或惟二的），则驻点处的函数值即为所求的条件极值（极大值或极小值）。例1 求f(x,y)=(6x-x2)(4y-y2)的极值解：由fx(x,y)= (6-2x)(4y-y2)=0及fy(x,y)=(6x-x2)(4-2y)解得驻点（0，0），（0，4），（3，2），（6，0），（6，4） 又求得二阶偏导数： A=fxx(x,y)=-2(4y-y2),B= fxy(x,y)=4(3-x)(2-y),C= fyy(x,y)=-2(6x-x2)列表讨论：ABCAC-B2（0，0）0240-242<0无极值（0，4）0-240-242<0无极值（3，2）-80-188×18>0极大f(3,2)=36（6，0）0-240-2