第八讲孤立奇点及其分类

1、1 第八讲第八讲 孤立奇点及其分类孤立奇点及其分类一一、函数孤立奇点的概念及其分类、函数孤立奇点的概念及其分类二、函数各类孤立奇点的充要条件二、函数各类孤立奇点的充要条件三、用函数的零点判断极点的类型三、用函数的零点判断极点的类型四四* *、函数在无穷远点的性态、函数在无穷远点的性态2例例10 z是函数是函数zzezsin,1的孤立奇点的孤立奇点.1 z是函数是函数11 z的孤立奇点的孤立奇点.注意注意: : 孤立奇点一定是奇点孤立奇点一定是奇点, , 但奇点不一定是孤但奇点不一定是孤立奇点立奇点.一一 、函数孤立奇点的概念及其分类、函数孤立奇点的概念及其分类在在定义定义 如果函数如果函数在在

2、 不解析不解析, , 但但的某一去心邻域的某一去心邻域内处处解析内处处解析, , 则则0z)(zf)(zf0z 00zz0z)(zf为为的的孤立奇点孤立奇点. .称称3例例2 2 指出函数指出函数0 z在点在点zzzf1sin)(2 的奇点特性的奇点特性. .解解 kzz1,0 ),2,1( k，因为因为01lim kk即在即在0 z的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内, , 的奇点存在的奇点存在, , 函数的奇点为函数的奇点为)(zf总有总有0 z不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以4讨论函数在孤立奇点的情况讨论函数在孤立奇点的情况如果点如果点 为函数为函数 的的孤立奇点孤立奇点，

3、则，则在点在点 某去心邻域某去心邻域 内可设内可设 的的Laurent级数展开式为级数展开式为其中其中 nnnzzczf)()(0)()()(2110为整数为整数nzzdzzficcnn 为该去心邻域内围绕点为该去心邻域内围绕点z0的任一条正向简单闭的任一条正向简单闭曲线。曲线。C0z)(zf0z)(zf 00zz5定义定义1 1 若若Laurent级数级数(5-1-1)中所含中所含(z-z0)的负幂的负幂项的项数分别为项的项数分别为1 1）零个，）零个， 2 2）有限个，）有限个， 3 3）无穷多个，）无穷多个，则分别称则分别称z0为为f(z)的的可去奇点可去奇点、极点极点和和本性奇点本性奇

4、点。且当且当z0为极点时，若级数中负幂的系数为极点时，若级数中负幂的系数c-m0 并且并且cn=0(n=-m-1,-m-2, ), 则称则称z0为为f(z)的的m级极点级极点，一级极点又称为一级极点又称为简单极点简单极点。61 1 可去奇点可去奇点如果如果Laurent级数中级数中不含不含 的的负幂项负幂项, , 0zz 0z)(zf则称孤立奇点则称孤立奇点 称为称为 的的可去奇点可去奇点.定义定义其和函数其和函数)(zF在在0z处解析处解析.的的孤孤立立奇奇点点，则则若若是是)(0zfz nnzzczzcczf)()()(0010内内在在 00zz二、函数各类孤立奇点的充要条件二、函数各类孤

5、立奇点的充要条件7)(lim)(000zfczFzz 无论无论在在是否有定义是否有定义, )(zf0z可补充定义可补充定义则函数则函数在在解析解析.)(zF 0zz反过来，若反过来，若在在解析，解析，)(zf 00zz且且)(lim0zfzz存在，存在， 则则 必是必是 的可去奇点。的可去奇点。)(zf0z( (由于这个原因，因此把这样的奇点由于这个原因，因此把这样的奇点z0叫做叫做 f(z) 的可去奇点。的可去奇点。) )这样得到下面的结论这样得到下面的结论：8由定义判断由定义判断:的的 Laurent 级数无负级数无负0z)(zf在在如果如果幂项幂项, 由有界性判断：由有界性判断：0 0若

6、若f(z)f(z)在在点点z z 的的去去心心邻邻域域内内有有界界则则0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点.上解析，上解析，在在设设Rzzzf 00)(则则0z为为)(zf的的可去奇点可去奇点的的充要条件充要条件为为存存在在并并且且是是有有限限值值。)(lim0zfzz0z为为)(zf 的可去奇点的可去奇点.则则注注：函数函数f(z)的可去奇点的可去奇点z0 0看作它的解析点，且规看作它的解析点，且规定定00)(czf 9例例 说明说明0 z为为zez1 的可去奇点的可去奇点. .解解 zez1,!1! 2111 nznz z0所以所以0 z为为的可去奇点的可去奇点.zez1 无负幂项无负幂项

7、另解另解 zzzzeze00lim1lim 因为因为)1!1! 211(12 nznzzz, 1 所以所以0 z为为的可去奇点的可去奇点.zez1 10 由于由于z=0为函数为函数 的可去奇点，的可去奇点，且当且当z0时，时，f(z)1，因此可补充定义，因此可补充定义 f(0)=1，使使 f(z) 在整个复平面上处处解析。在整个复平面上处处解析。zezfz)1()( 11如果补充定义如果补充定义:0 z时时, 1sin zz那末那末zzsin在在0 z解析解析.例例 42! 51! 311sinzzzz中不含负幂项中不含负幂项,0 z是是zzsin的可去奇点的可去奇点 . 120 00 0i

8、i0 0特特上上式式等等号号成成立立f(z )|=f(z )|=别别的的，如如果果或或存存在在圆圆内内一一点点z z使使得得|,|,则则|z |z |f(z)= e zf(z)= e z有有(|z|1)(|z|1)Schwarz 引理引理 如如果果f(z)f(z)在在单单位位圆圆|z|1|z|1内内解解析析，并并且且满满足足条条件件f(0)= 0, |f(z)|1 (|z|1),f(0)= 0, |f(z)|1 (|z|1),则则在在单单位位圆圆内内恒恒有有： |f(z)| |f(z)|z|z|且且有有|f(0)|f(0)|1 1132 2 极点极点1012020)()()()( zzczzc

9、zzczfmm)0, 1( mcm )(010zzcc10)( zz,)(0mzz 其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即的的(m级级)极点极点.0z)(zf那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数定义定义 0zz 如果如果Laurent级数中级数中只有有限多个只有有限多个的的负幂项负幂项, , 14)()(1)(0zzzzfm 则则1012020)()()()( zzczzczzczfmm)0, 1( mcm )(010zzcc由极点的定义由极点的定义)()()(0010 mnnmmmzzczzcczz mnnmmzzczzccz)()()(001 记记15注意到注意到: : 20201)

10、()()(zzczzcczmmm ,0内内是是解解析析函函数数在在 zz0)(0 z 且且的的m级极点级极点的的充要条件充要条件是是0z)(zf为函数为函数由此可得由此可得：)()(1)(0zzzzfm 的解析点，并且有的解析点，并且有0z)(z 为函数为函数这里这里0)(0 z 16的极点的的极点的充要条件充要条件是是0z)(zf为函数为函数.)(lim0 zfzz例例 有理分式函数有理分式函数,)2(23)(2 zzzzf是二级极点是二级极点, , 0 z2 z是一级极点是一级极点.由此也得由此也得：17)(zf0zz 的的Laurent展开式中含有展开式中含有的负幂项为有限项的负幂项为有

11、限项. .在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内0zmzzzzf)()()(0 其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析, , 且且 )(z 0z. 0)(0 z 由定义判别由定义判别：由定义的等价形式判别：由定义的等价形式判别：由极限判别：由极限判别： )(lim0zfzz判断判断 .18例如例如 是函数是函数 的的二级二级极点，这里极点，这里 zizzcos12 iz 0zzzfcos)()(2211 19),(1! 3! 211zzzz 解解 0221!11nnznzzze所以所以0 z不是不是二级极点二级极点, , 而是一级极点而是一级极点.0 z是是3sinzz的几级极点的几级极点?

12、思考思考例例1 1 问问0 z是是21zez 的二级极点吗的二级极点吗? ?注意注意: 不能以函数的表面形式作出结论不能以函数的表面形式作出结论 . 解析且解析且0) 0 ( )(z20定理定理 点点 为为 的的 阶极点的阶极点的充要条件充要条件为为 是是 的的 阶零点。阶零点。)(zfm0zm)(1zf0z推论推论2 若点若点 为函数为函数 的的 阶零点阶零点(k=1,2)，则，则z0为函数为函数 的的 阶零点；当阶零点；当 时，时，z0为函数为函数 的的 阶极点。阶极点。)(zfkkm12mm )()(21zfzf0z21mm 21mm )()(21zfzf注意：注意： 若函数若函数 在点

13、在点 解析，解析， ，则当，则当 为函数为函数 的的 阶零点或阶零点或 阶极点时，阶极点时， 也分也分别是函数别是函数 的的 阶零点或阶零点或 阶极点。阶极点。0)(0 zg)(zg0z0z)(zfmm0zmm)()(zgzf21例例2 2 函数函数zsin1有些什么奇点有些什么奇点, , 如果是极点如果是极点, , 指出指出它的阶它的阶.解解 函数的奇点是使函数的奇点是使0sin z的点的点,这些奇点是这些奇点是)2,1,0( kkz 孤立奇点孤立奇点. . kzkzzzcos)(sin因因为为sinzkz，所所以以是是的的一一阶阶零零点点, 0)1( kzsin1的一阶极点的一阶极点.即即

14、上述定理为判断函数的极点提供了一个较为简上述定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法便的方法. .22例例3 3 求下列函数孤立奇点的类型，并指出极点级求下列函数孤立奇点的类型，并指出极点级数数 （2 2）解：解： 显然显然 和和 是函数是函数 的孤立奇点，的孤立奇点，分别取分别取 和和 32211sin)( zzzzf1 z1 z)(2zf 321sin)( zzz 221sin)( zzz 则可见则可见z=1和和z=-1分别是分别是f2(z)的的二二阶极点阶极点和和三阶极三阶极点点。23（4 4）解：解： 点点 为为 的一级零点的一级零点; ; 函数函数 的零点为的零点为 ， 且且 在

15、这些点处不为零，由在这些点处不为零，由定理定理，这些点为函数，这些点为函数 的一级零点。由定理的一级零点。由定理2 2的的推论推论2 2， 为函为函数数 的二级零点，又由的二级零点，又由推论推论1 1及其及其注意注意， 它它为为 的的二级极点二级极点，而而为为 的的简单极点简单极点。00 z) 1()(4 zzezezf1 zeikzk 2 , 2, 1, 0 kzzee )1(zzf )(1 ze00 z)(4zf)1( zez,2ikzk , 2, 1 k)(4zf24练习练习求求1123 zzz的奇点的奇点, , 如果是极点如果是极点, , 指出它的指出它的级数级数.答案答案 1123z

16、zz由于由于,1:是是函函数数的的一一级级极极点点所所以以 z.1是是函函数数的的二二级级极极点点 z,)1)(1(12 zz253 3 本性奇点本性奇点则孤立奇点则孤立奇点0z称为称为)(zf的的本性奇点本性奇点. .若若Laurent级数中级数中含有无穷多个含有无穷多个0zz 的的负幂项负幂项, ,例如例如，,!1! 211211 nzznzze)0( z含有无穷多个含有无穷多个z的负幂项的负幂项 特点特点: 在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内)(lim0zfzz不存在且不不存在且不为为. 为为本本性性奇奇点点，所所以以0 z同时同时zze10lim不存在不存在.26例例0,)(0/1

17、zezfz为为f(z)的本性奇点，因为：的本性奇点，因为：；有有当当 )(,0zfxz；有有当当0)(,0 zfxz无极限。无极限。有有当当yiyzfiyz1sin1cos)(, 0 为极限。为极限。无极限，也不以无极限，也不以于是当于是当 )(, 0zfz综上综上，当当z0 0为为f(z)的孤立奇点时，可用极限的孤立奇点时，可用极限 值存在有限、为值存在有限、为 、不存在，来区分奇点是、不存在，来区分奇点是可可去奇点去奇点、极点极点还是还是本性奇点本性奇点。 zfzz0lim nnzzne 01!127综上所述综上所述:孤立奇点孤立奇点可去奇点可去奇点m级极点级极点本性奇点本性奇点Laure

18、nt级数的特点级数的特点)(lim0zfzz 存在且为存在且为有限值有限值无负幂项无负幂项含无穷多个负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项含有限个负幂项10)( zzmzz )(0关于关于的最高幂的最高幂为为不存在不存在28三、用函数的零点判断极点的类型三、用函数的零点判断极点的类型291 1、函数的零点、函数的零点例例.)1()(1,03的零点的零点是函数是函数 zzzfzz 定义定义 若函数若函数( )f z在点在点 解析，并且解析，并且 ，0z0()0f z z0则称则称为函数为函数的的零点零点。( )f z300z0z )(zf)(zf1m 定义定义 若若为函数为函数的的零点，零点，00 (| ) (|m时，时，ck=0，此时称，此时称z=是函数是函数 f(z)的的m级极点级极点。特别地，当特别地，当m=1时，称时，称z=是函数是函数f(z)的的单极点单极点。 44 定理定理3 3 设函数设函数 在区域：在区域：