第二讲(四)渐开线与摆线

1、（一）、问题探究（一）、问题探究1 1 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。曲线。动点（笔尖）满足什么几何条件？动点（笔尖）满足什么几何条件？一、新课教学一、新课教学这条曲线的形状怎样？这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？能否求出它的轨迹方程？2BOAM172 图图,.A位于点笔尖如图设开始时绳子外BMBMABM所以切线为切线展开后成的一段弧度单位是弧绳子对圆心角因为时当外端展开到点,

2、)(,.,满足的几何条件笔尖这是动点的长的长就是弧AB3BOAM172 图图 我们把笔我们把笔尖画出的曲线叫做尖画出的曲线叫做圆的渐开线圆的渐开线，相应的定圆叫做相应的定圆叫做渐开线的基圆渐开线的基圆2 2、圆的渐开线的方程求解、圆的渐开线的方程求解ABMOxy 以基圆圆心以基圆圆心O O为原点，直线为原点，直线OAOA为为x x轴，建立平面直角坐标系。轴，建立平面直角坐标系。 设基圆的半径为设基圆的半径为r r，绳子，绳子外端外端M M的坐标（的坐标（x x，y y），显），显然，点然，点M M由角由角唯一确定唯一确定。B取 为参数，则点 的坐标为（rcos ,rsin ）,从而41.1.圆

3、的渐开线定义圆的渐开线定义ABMOy(cos ,sin ),|.BMx ry rBMr 1(cos ,sin )eOB 由于向量是与 同方向的单位向量，2(sin , cos )eBM 因而向量是与向量同方向的单位向量。| (cos ,sin )(sin , cos )BMxryrr (cossin )()(sincos )xryr 解得 是参数。这就是这就是圆的渐开线的参数方程圆的渐开线的参数方程。2 2、圆的渐开线的方程求解、圆的渐开线的方程求解5所以所以 即即2erBM渐开线的参数方程渐开线的参数方程ABMOxy(cossin)()(sincos)xryr是参数 。3、渐开线的应用：、渐

4、开线的应用： 由于渐开线齿行的齿轮由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。轮采用这种齿形。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。 在机械工业中，广泛地使在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。用齿轮传递动力。6（二）、问题探究（二）、问题探究2 2 如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？出什么样的曲线？ 上述问题抽象成数学问

5、题就是：上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？的轨迹是什么？OABM16 同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。周上的这个动点满足的几何条件。 我们把点我们把点M M的轨迹叫做的轨迹叫做平摆线平摆线，简称，简称摆线摆线，又叫，又叫旋轮线。旋轮线。OABM 摆线在它与定直线的两个相邻交摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱点之间的部分叫做一个拱线段线段OAOA的长等于的的长等于的 长，即长，即OA=rOA=rMA1

6、 1、摆线的定义、摆线的定义17xyO DAEBMC2 2、摆线方程的求解、摆线方程的求解OABM 根据点根据点M满足的几何条件，我们取定直线为满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位置为滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。原点，建立直角坐标系。设圆的半径为设圆的半径为r r。 设开始时定点设开始时定点M在原点，圆滚动了在原点，圆滚动了角后与角后与x轴相切于点轴相切于点A，圆心在点，圆心在点B18xyO DAEBMC2 2、摆线方程的求解、摆线方程的求解MABxCD从点分别做， 轴的垂线，垂足分别是 ， 。sin ,x OD OA DA OA

7、 M C rrcos .yDMACAB CB r r 设点设点M的坐标为（的坐标为（x,y）,取取为参数，根据为参数，根据点点M满足的几何条件有满足的几何条件有所以，摆线的参数方程为：所以，摆线的参数方程为：(sin ),()(1 cos ).xryr为参数19xyO DAEBMC3 3、摆线的参数方程、摆线的参数方程OABM(sin ),()(1 cos ).xryr为参数摆线的参数方程为：摆线的参数方程为： 在摆线的参数方程中，参数在摆线的参数方程中，参数的取值范围的取值范围是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？思考思考20说明说明 2 2）、当基线是直线

8、时，就得到平摆线或变）、当基线是直线时，就得到平摆线或变幅平摆线。幅平摆线。 4）、当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若）、当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若两圆外切，就得到外摆线或变幅外摆线。两圆外切，就得到外摆线或变幅外摆线。 1 1）、摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）、摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线） 上滚动时，动圆上一点的轨迹。上滚动时，动圆上一点的轨迹。 3 3）、当基线是圆且动圆在定圆内滚时，就）、当基线是圆且动圆在定圆内滚时，就得到内摆线或变幅内摆线。得到内摆线或变幅内摆线。21二、二、1 1、练习：、练习：P P4242 1 12 22 2、作业、作业 P42 3P42 34 4平行轴齿轮传动机构（圆柱齿轮传动机构）平行轴齿轮传动机构（圆柱齿轮传动机构）直