第二章 拉伸与压缩

1、第二章第二章 拉伸与压缩拉伸与压缩本章重点：1、轴向拉压的强度和 刚度计算 2、材料的力学性质 3、拉压静不定问题2-1 2-1 轴向拉伸与压缩的概念轴向拉伸与压缩的概念一、工程实例与基本思路一、工程实例与基本思路1、工程实例：工程中有很多构件，例如钢木组合桁架中 的钢拉杆和做材料试验用的万能试验机的立柱都是等直杆（连接部分除外），作用于杆上的外力合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形是纵向伸长或缩短。这类构件称为拉(压)杆。2、基本思路：实际问题的提出 计算模型 分析内力 分析应力 进行强度计算 分析变形 计算刚度二、轴向拉压的概念二、轴向拉压的概念轴向拉压是杆件的基本变

2、形之一，其力学模型如图所示 1、外力特征 外力的作用线与杆件的轴线相重合。 2、构件特征 构件一般为等截面的直杆。 3、变形特征 受力后杆件沿其轴线方向均匀伸长(缩短)， 即杆件任意两横截面沿杆件轴线方向产生 相对的平行移动。 2-2 2-2 轴向拉压时横截面的上的轴向拉压时横截面的上的 内力与应力内力与应力一、轴向拉压问题的计算模型一、轴向拉压问题的计算模型受力：轴向变形：轴向的伸缩由此建立的计算模型如图所示：二、内力的计算二、内力的计算内力的求法：截面法NP NP轴力的概念：若内力的合力作用线与杆件轴力的概念：若内力的合力作用线与杆件 的轴线重合则其称为轴力的轴线重合则其称为轴力轴力的正负

3、号规定：拉为正，压为负。轴力的正负号规定：拉为正，压为负。轴力图：表示沿杆件轴线各横截面上轴力变化的图形。轴力图：表示沿杆件轴线各横截面上轴力变化的图形。 如沿杆件轴线有多个外力作用，则在杆件各部分的横截面上轴力不相等。为了较直观、明显地表示各横截面上的铀力，常用轴力图来表示。轴力图绘制可通过下面的例题予以说明。轴力图的绘制步骤：1、列写各段的轴力方程N(x) 轴力方程要注意分段列写2、按轴力方程画出各段的轴力图 轴力图必须与构件画在一起， 一般画在构件下方其位置要一一 对应。3、突变的截面用直线连接起来。图形的意义：1、每段图形纵坐标表示对应截面 上内力的大小。2、突变的高度表示该截面上作用

4、 外力的大小。3、图形回到横轴上表示外力平衡。例：求图示杆例：求图示杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力截面上的轴力解：解：N110kNN25 kNN320 kNCL2TU3NNN12310520 kNkNkN三、应力三、应力问题：1、横截面上应力的大小？ 2、应力在截面上分布规律？1、实验现象的观测 在试件上画上网格后加载可 观测到：(1)网格的直角不变， (2)两横线之间均匀伸长， (3)纵向线之间均匀收缩。FPP由此可推断： (1) (2) (3) 泊松效应0, 0, 0, 0沿横截面均匀分布2、应力的计算公式根据实验现象可以假设：变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线；

5、即平面假设。PdANA由截面上应力建立平衡方程，在截面上任意一点截取一面积微元dA，设其上的应力为： ，则dN= dA；故可得：由前面(2)的推断，可知正应力与点的位置无关，为一常数，则PAdANAAN所以：(2-1)3、讨论： (1)如果杆件为阶梯杆或变截面杆，可用否？ (2)加载方式对杆的加载端的影响？阶梯杆：在每段内公式仍适用，但在突变面上不适用。变截面杆：一般可以应用。对于截面连续变化的杆，当杆件两侧棱边的夹角小于20度时，公式(2-1)的计算误差约为3%。加载方式的影响一般不考虑，其由圣维南原理来保证。圣维南圣维南( (Saint VenantSaint Venant) )原理：原理

6、： 作用于物体某一局部区域内的外力系，可以用一作用于物体某一局部区域内的外力系，可以用一个与之静力等效的力系来代替。而两力系所产生的应个与之静力等效的力系来代替。而两力系所产生的应力分布只在力系作用区域附近有显著的影响，在离开力分布只在力系作用区域附近有显著的影响，在离开力系作用区域较远处，应力分布几乎相同。力系作用区域较远处，应力分布几乎相同。2-3 2-3 斜截面上的应力斜截面上的应力问题： (1)斜截面上应力P与横截面上的应力有何关系？ (2)斜截面上应力的大小？PPPPPPP一、求内力一、求内力 如上图所示，二、求应力：二、求应力：1、用内力与横截面的面积：ppPAPAcosPAcos

7、cos其前提条件是，斜截面上的应力均匀分布2、将全应力进行分解：pppcoscossinsincossin222即可得：00m ax4522max900这说明纵向无挤压2-3 材料在拉伸时的力学性能材料在拉伸时的力学性能w问题：前面求出的应力有何用途？一、材料的力学（机械）性质一、材料的力学（机械）性质指材料在指材料在外力作用下表现出的变形、破坏方面的特性外力作用下表现出的变形、破坏方面的特性(讨论范围：金属材料讨论范围：金属材料)二、实验条件：常温、缓慢平稳加载（静二、实验条件：常温、缓慢平稳加载（静载）载）一、低碳钢的拉伸实验一、低碳钢的拉伸实验标准试件标准试件标距标距 ，通常取，通常取

8、或或lldld510夹头夹头液压式万能试验机液压式万能试验机底座底座活动试台活动试台活塞活塞油管油管低碳钢含碳量在0.3%以下的碳素钢。（I）A3钢试件的拉伸图：OabcdePL（P)L曲线拉伸图Oabcde（）A3钢的应力应变图（）曲线 1. 弹性阶段弹性阶段 oab：这一阶段可分为：斜直线这一阶段可分为：斜直线Oa和微弯曲线和微弯曲线ab，该段范围内，试件变形是弹性的，卸载后变形可完全恢复。，该段范围内，试件变形是弹性的，卸载后变形可完全恢复。Oabcde。Oa段：变形是线弹性的，应力与应变成正比。直线段：变形是线弹性的，应力与应变成正比。直线oa为线为线弹性区，其应力与应变之比称材料的弹

9、性模量（杨氏模量）弹性区，其应力与应变之比称材料的弹性模量（杨氏模量）E，几何意义为应力几何意义为应力-应变曲线上直线段的斜率。应变曲线上直线段的斜率。Oabcde比例极限比例极限p弹性极限弹性极限etgE 屈服极限屈服极限2. 屈服阶段屈服阶段 bcOabcde上屈服极限上屈服极限下屈服极限下屈服极限s表面磨光的试件，屈服时可在试件表面看见表面磨光的试件，屈服时可在试件表面看见与轴线大致成与轴线大致成45倾角的条纹。这是由于材倾角的条纹。这是由于材料内部晶格之间相对滑移而形成的，称为滑料内部晶格之间相对滑移而形成的，称为滑移线。因为在移线。因为在45的斜截面上剪应力最大。的斜截面上剪应力最大

10、。 强化阶段的变形绝大部分是塑性变形强化阶段的变形绝大部分是塑性变形Oabcde3. 强化阶段强化阶段 cd强度极限强度极限b4. 颈缩阶段颈缩阶段 deOabcde比例极限比例极限p 屈服极限屈服极限s 强度极限强度极限bOabcde其中其中s和和b是衡量材料强度的重要指标是衡量材料强度的重要指标延伸率延伸率:lll1100%3020 AAA1100%截面收缩率截面收缩率 :%60冷作硬化现象经冷作硬化现象经过退火后可消除过退火后可消除卸载定律：卸载定律：冷作硬化冷作硬化常温下把材料予拉到塑性变形阶段，然常温下把材料予拉到塑性变形阶段，然后卸载，再次加载时，材料的线弹性范围将增大，使材后卸载

11、，再次加载时，材料的线弹性范围将增大，使材料屈服极限提高，而塑性降低。料屈服极限提高，而塑性降低。材料在卸载时应力与应变成直线关系材料在卸载时应力与应变成直线关系cdfpeP残余应变（塑性应变）二、其它材料的拉伸实验二、其它材料的拉伸实验对于在拉伸过程中对于在拉伸过程中没有明显屈服阶段没有明显屈服阶段的材料，通常规定的材料，通常规定以产生以产生0.2的塑性的塑性应变所对应的应力应变所对应的应力作为屈服极限，并作为屈服极限，并称为称为名义屈服极限名义屈服极限，用用0.2来表示来表示0 2 .02%.OCL3TU3没有屈服现象和颈没有屈服现象和颈缩现象缩现象,只能测出只能测出其拉伸强度极限其拉伸强

12、度极限bO三、灰口铸铁的拉伸实验三、灰口铸铁的拉伸实验b切线模量：切线模量：曲线在任意应变处的 斜率，用表示Et割线模量：割线模量：由原点至曲线上对应于任意应变点连线的斜率，用表示Es 显然切线、割线模量是变量显然切线、割线模量是变量弹性模量弹性模量割线切线2-4 材料压缩时的力学性质材料压缩时的力学性质一般金属材料的压缩试件都做成圆柱形状一般金属材料的压缩试件都做成圆柱形状hd 1530.低碳钢压缩时的低碳钢压缩时的-曲线曲线CL3TU9拉伸拉伸压缩压缩b测不出铸铁压缩时的铸铁压缩时的-曲线曲线OO拉伸拉伸压缩压缩b拉b压岩石的单向压缩岩石的单向压缩2-5 轴向拉压的强度计算轴向拉压的强度计

13、算Apu极限应力理论上只要构件中最大工作应力小于极限应力构件就能安全工作umaxAp材料在拉压时的强度：材料在拉压时的强度：拉压杆中的工作应力：拉压杆中的工作应力：一、许用应力一、许用应力 安全系数安全系数：实际：最大工作应力是按计算获得的，可能偏小；由于材质不均匀，材料试验获得的极限应力比实际偏大；需要考虑一定的安全储备numax故构件安全工作条件n1安全系数二、二、对于塑性材料对于塑性材料sssun)(02或的安全系数大于材料的极限应力1nnuu许用应力就是杆件被人为规定的实际应力允许达许用应力就是杆件被人为规定的实际应力允许达到的最高限度到的最高限度令对于脆性材料对于脆性材料ubbbn

14、所以，强度条件为：max(2-2)三、三类强度问题三、三类强度问题1、强度计算：结合载荷P，杆件尺寸A，材质 等条件 按(2-2)式杆件是否工作安全。2、选择杆件合理的截面尺寸：给定的条件：P， , 来确定杆件的截面尺寸。NA3、确定杆件的许用载荷：给定条件：A， ，确定杆 件能承受的最大载荷P。AP四、例题四、例题例例1：一直径：一直径d=14mm的圆杆，许用应力的圆杆，许用应力=170MPa，受轴向拉力，受轴向拉力P=2.5kN作用，试校作用，试校核此杆是否满足强度条件。核此杆是否满足强度条件。maxmax.NA251041410162326MPa NBC杆EF为危险杆0MA由0MD由2、

15、计算应力：杆EF横截面上的应力MPaPadANNEF1511015110254101 .744662323、校核是否安全：由于=160MPa，结构中危险构件最大工作应力=151MPa，故，结构安全。讨论：1、上例中若BC、EF杆直径未知，试设计两杆所须直径。解：两杆材料相同，受力不同，故所须直径不同，AN由mmNmmmNddEFEFBCBCEFEFEFBCBCBCddNN3.2448.15108.1510160102.31444436322讨论：2、上例中若BC、EF杆直径均为d=30mm，荷载P未知，试确定结构所能承受的许可载荷P。解：1、据前受力分析，ABP3000750NBC600320

16、0CDENBC300NEFNPNPNNNNNMNPPNMEFEFBCEFBCEFBCDBCBCA5263.08.36.125.18.35.02.3030sin2.38.3025.10375.300代入将（1）（2）2、两杆的许可载荷：AN由KNdANKNdANEFBC11310160411310160462623、选择结构的许可载荷：按BC杆选择 由（1）KNPNNPBCBC25.14125.11代入按EF杆选择：由（2）KNPNNPEFEF47.591135263. 05263. 02代入故结构的许可荷载为KNPPPP47.59,min221*本题也可由受力分析知，EF杆为危险杆，而直接由N

17、EF选择许可荷载。2-5 2-5 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形 虎克定律虎克定律一、虎克定律一、虎克定律杠件作用P后 轴向伸长杠件产生 横向收缩lblllbbb ll bb问题：为何计算 、 ， 与哪些因素有关？ 与哪些因素有关？1、杠件轴向伸长由试验得到：lblbAlPl1,材质：E经实验数据处理归纳出EAPll E表示材料抵抗变形的能力称为弹性模量，是材料的特征量。单位Mpa(MN/m2)，GPa (GN/m2)。 (3) (3)式称为虎克定律，是由轴向拉压试件的试验得到的。2、应力应变的关系APEll1E1E(4)说明(4)式与(3)式的意义是否不同？ (思考？思考？)式

18、(3)和(4)是虎克定理的两种表达形式。注意：虎克定律在弹性范围内杆件的伸缩变形与载荷成正比，与杠长成正比，与截面积成反比，或在弹性范围内应力与应变成正比。 3、横向变形： 试验结果表明：当应力不超过比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值是一个常数。即：称为横向变形系数或泊松称为横向变形系数或泊松( (Poisson)Poisson)比，也是材比，也是材料固有的弹性常数，其无量纲。料固有的弹性常数，其无量纲。二、拉压杆件变形的计算二、拉压杆件变形的计算1、等直截面杆受集中力作用。321llllEAlNEAlNEAlN3322112、变截面杆xxEAxNld)()(dlxxEAxNld)()

19、(PqxdxN(x)N(x)例题例题PP2d1dLxxdx xN xN xA解：徐变截面杆取dx微段研究： )1 (222122122LxddddxLdddxtgdxdLddtg221故： PxNLxddddxdxA2221222)1 (44由xxEAxNld)()(d21022444dEdPLdxxdEPxdEdxPdL例：例：考虑自重影响的等之杆变形。已知P、杆长L、A、E、容重。P解：1）求轴力N（x）Pxxx若已知求许可杆长。0)(:0AxpxNxAxPxN)(2）求变形：dxdxN（x）N（x）取微段dx研究N（x）xP+ALdxxAPEEAdxxNdx)(1)()(积分：ELEAP

20、LdxxAPEL2)(120PN（x）3）求许可杆长:maxmaxAALPAN由APALBDC4m3m例题：简单托架，BC杆为圆钢，直径d=20mm，BD杆为8号槽钢。=160MPa，E=200GPa，P=60KN，试求B点的位移。解：一、分析构件受力：取B点研究P1N2NPKNPNKNPN7545454321（“-”表示2N与图示方向相反，为压力）BBDC3mP1N2NP4m二、分析计算B点的位移：假想把B节点松开，BB1B2B222222111111BBAELNBBAELN受力后B点移到B其位移2121BBBBBB3B4Bsin231BBctgBBBB3231232cosBBBBBBBB3

21、311mBBAELNcmAmBBAELN349322222222362931111111083.11024.10102005107524.101015.2102041020031045查型钢表得mctgBBBBBB31223311109.3)cos(sinmBBBBBB321211045.42-6 轴向拉压的变形能轴向拉压的变形能 一、变形能的概念一、变形能的概念1、定义：杆件在载荷作用下由于本身的变形而储存 的能量称为变形能(应变能)2、外力的功：在材料力学中载荷P在其引起的变形上 所做功为：lPW21二、变形能的表达式二、变形能的表达式由能量守恒原理，根据材料力学的特征可得知外力所做的功等

22、于杆件变形能。EAlPlPWU22121若为一般性杆系，则可得：iiiiniAElNU2121(1)三、变形比能三、变形比能1、定义：杆件单位体积所储存的能量称为变形比能。表达为：22212121EEdvduu(2)注意： (1)式是整个杆件的变形能，其只能用于均匀 应力状态的杆件 (2)式是杆件内一点的应变能，可用于任意情况。2-7 拉（压）超静定问题拉（压）超静定问题一、静定与超静定的概念一、静定与超静定的概念：12PABC11AE22AE静定问题静定问题：若未知力（外力或内力）的个数等于独立的平衡方程数目，仅用静力平衡方程即可解出全部未知力，这类问题称为静定问题。相应的结构称静定结构。静

23、定结构。超静定问题超静定问题：若未知力（外力或内力）的个数多于独立的平衡方程数目，仅用静力平衡方程便无法确定全部未知力，这类问题称为静不定问题或静不定问题静不定问题。相应的结构称超静定结构超静定结构或静不定结构静不定结构。多余约束多余约束：在静定结构上加上的一个或几个约束，对于维持平衡来说是不必要的约束（但对于特定地工程要求是必要的）称多余约束。对应的约束力称多余约束反力多余约束反力（B固端约束）12PC11AE22AEBBR超静定次数：超静定次数：未知力个数与平横方程数之差，也等于多余约束数。二、静不定问题的解法：12PC11AE22AEBBRAR1）由静力平衡条件：0PRRBA2）变形协调

24、（相容）条件：0BCACA3）由力与变形间的物理关系：)(222111为压力轴力BBBCAACRAERAER4）补充方程：0222111AERAERBA(1)(2)12221112221222112111:)2(),1 (AEAEAPERAEAEAPER求解联立解题关键：找变形相容条件、建立补充方程。BAP1P2小练习：E、A为已知。例题：例题：一、杆上段为铜，MPaEcmAm100,10,6 . 11211，下段为钢杆，,100;200,20,8.02222KNPGPaEcmAm杆的下端与支座B相距=1.25mm。求上、下段内的应力。12PABC11AE22AE12PC11AE22AEBBR

25、AAR解：1）取AB杆研究：建立平衡方程0PRRBA试算B端与下部是否接触即P引起的AC杆伸长量：（1）与下部接触mAEP3493111106.11010101006.1101002）找变形相容条件：213）代入物理关系（胡克定律），建立补充方程：222111AERAERBA（2）4）联立（1），（2）求解：)(5.19),(5.80压拉KNRKNRBA5）求应力：)(75. 9),(5 .802211压拉MPaARMPaARBA二、结构如图，1，2杆抗拉刚度为,3 ,3311AEAE杆为P力作用下，求各杆内力。PA123解：1）取A结点研究，建立平衡方程1N2N3NPPNNFNNy3121c

26、os2:0:由对称性（1）未知力个数2个，平衡方程数1个，固为一次超静定L123LA2）找变形相容条件：12A3由结构、材料、荷载的对称性21cos313）代入物理关系，建立补充方程3333333311111111cosAELNAELNAELNAELNcoscos:333111AELNAELN得（2）4）联立（1），（2）求解：333113211331cos21coscos2AEAEPNAEAEPN三、列出平衡方程、变形相容调件。123Laa刚体PP2311N2N3N02:021321aNaNoMPNNNFAy解：1）列平衡方程，取AB研究ABAB2）找变形相容条件：2312 2121312aa三、装配内力和温度应力