第九章机械振动课件给学生

1、基本知识点1、箭谐振动的运动方程：)cos(tAx法和振动曲线表示。简谐振动可用旋转矢量取）（取决于初始时刻的选初相位的性质）（取决于振动系统本身角频率（取决于振动的能量）振幅个基本特征量：A3)arctan(,0022020 xxA初相由初始条件确定振幅和2、振动相位：时刻简谐振动的状态。它决定了。tt )(3、简谐振动的微分方程：02 xx4、简谐振动的能量22222222222412121)(cos2121)(sin2121AmEEEAmEtkAkxEtAmmEpkpk平均能量：总能量：势能：动能：5、简谐振动的合成*（1）两个简谐振动的合成：合振动仍为同频率简谐振动，合振动的振幅取决于

2、两个分振动的振幅和初相差，)cos(212212221AAAAA（2）简谐振动的合成：当两振动频率很大，频率差很小时，产生拍的现象，拍频为12（3）的两简谐振动的合成：若两分振动的，则合运动轨迹为，若两分振动频率为时，合运动轨迹为。 例：例：P37页1-5选择题答案：答案：B；D；B；C；D例例1已知一个简谐振动的振幅已知一个简谐振动的振幅A=2cm，角频，角频率率 ，以余弦函数表达运动规律时的初相，以余弦函数表达运动规律时的初相 试画出位移和时间的关系曲线试画出位移和时间的关系曲线（振动曲线）（振动曲线）1 4s21)24cos(02.0tx0.020.020.250.5T(s)X(m)本题

3、3分例例2,一作简谐振动的振动系统，振子质量一作简谐振动的振动系统，振子质量为为2kg，系统振动频率为，系统振动频率为1000Hz，振幅为，振幅为0.5cm，则其振动能量为，则其振动能量为 。JAmE222109 . 9212例例3，在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧，在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长被拉长 而平衡。再经拉动后，该小球在而平衡。再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为竖直方向作振幅为A=2cm的振动，试证明此振的振动，试证明此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式（时，写出此振动的数值表达式（09）c

4、ml2 . 10Ox平衡位置0l原长x零点00/,lmgkklmg解：如图建立坐标小球在x处时，据牛顿第二定律xlgdtxddtxdmkxxlkmg022220)(Ox平衡位置0l原长x零点小球在x处时，据牛顿第二定律xlgdtxddtxdmkxxlkmg022220)(所以此振动为简谐振动。其角频率为：1 . 958.280lg据题意：)1 . 9cos(1020,10222txmA例例4.一质点作简谐振动，其振动方程为一质点作简谐振动，其振动方程为试用旋转矢量法求出质点由初始状态运动到：试用旋转矢量法求出质点由初始状态运动到： 的状态所需最短时间的状态所需最短时间 (SI) )32cos(

5、24. 0tx0 ,12. 0mx提示提示:只要确定始末二态的旋转矢量只要确定始末二态的旋转矢量st322/3/xo0t3332解解:例例5，一个质点作简谐振动，振幅为，一个质点作简谐振动，振幅为A，在起始，在起始时刻质点的位移为负时刻质点的位移为负A/2，且向，且向x轴正方向运动，轴正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为：代表此简谐振动的旋转矢量图为：(若在起始时刻质点的位移为若在起始时刻质点的位移为A/2？）？）（A）（B）（D）（C）A/2xoA-A/2xoAA/2xoA-A/2xoA答：D（B）例例6，在一竖直轻弹簧的下端悬挂一，在一竖直轻弹簧的下端悬挂一m0=100g 法码时，法码

6、时，弹簧伸长弹簧伸长8cm。现在这根弹簧下端悬挂。现在这根弹簧下端悬挂 m=250g的物体，的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给，并给以向上以向上21cm/s的初速度的初速度(令这时令这时t=0)。选。选x轴向下，求此轴向下，求此振动方程的表达式。振动方程的表达式。Ox0l分析：此题未知振幅A，却给出了初始时刻的速度Ox0l1725.0/25.12/25.1208.08.91.0/smkmNlmgk解：据初始条件得： 注意此题有具体的速度数值！注意此题有具体的速度数值！radxtgcmxA64.04/3)74/()21()/(5)72

7、1(4/002222020所以振动方程为)( )64. 07cos(05. 0SItx例7、一质点在x轴上作简谐振动，A=4cm，T=2s，以平衡位置为坐标原点，若t=0时刻质点第一次通过x=-2cm处，且向x轴负方向运动，则质点第二次通过x=-2cm处的时刻为：(A)1s. (B)(2/3)s(C)(4/3)s. (D)2sst32)3/2(例8、有两相同的弹簧，其劲度系数均为k，（1）把它们串联起来，下面挂一个质量为m的重物，此系统作简谐振动的周期为？（2）把它们并联起来，下面挂一个质量为m的重物，此系统作简谐振动的周期为？,22 ,22kmkm例例9、一质量为、一质量为0.20kg的质点

8、作简谐振动，其振动方程的质点作简谐振动，其振动方程为：为：求求（1）质点的初速度）质点的初速度；（2）质点在正向最大位移一半处所受的力。）质点在正向最大位移一半处所受的力。(SI) )25cos(6 . 0tx解：NFAxxmdtxdmmaFsmtdtdx5 . 12)2(/0 . 3(SI) )25sin(0 . 3220例10、一质量m=0.25kg，在弹簧的力作用下沿x轴运动，平衡位置在坐标原点，弹簧的劲度系数k=25N/m，求：（1）振动的周期和角频率（2）若振幅A=15cm，t=0时刻质点位于x=7.5m处，且物体沿x轴反向运动，求初速和初相（3）写出振动的数学表达式：)310cos

9、(15. 0)3()3/sin(/3 . 1)/(, 3/)2(63. 0/2,10/)1(0020201txAsmxAsTsmk或11、如图两谐振动的曲线，若两谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为：(A)3/2. (B)(C)/2. (D)0txA/2A答（B）12、在同一坐标上画出两谐振动的x-t曲线，已知两个谐振动的方程为：txA/2A)31cos(cos21tAxtAx13、两物体作同方向、同频率、同振幅的谐振动，在振动过程中，每当第一个物体经过位移为 的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，且向远离平衡位置的方向运动，试用旋转矢量法求它们的相位差。2/2/A1215-1-7

10、、质量为 的滑块，两边分别与倔强系数为 和 的轻质弹簧联结， 点为系统的平衡位置，将滑块向左移到 ，自静止释放时开始计时，求按图所示坐标的振动方程。mO1K2K0 x0 xm1K2K解：xKKxKxKFx)( 2121，所受合力为：物体离开平衡位置,0 xA由题意易知，02122xmKKdtxdmKK21xKKdtxdm)(2122由牛二律，)cos(210tmKKxx振动方程为：思考题：当物体经过平衡位置时，有一粘土竖直落到物体上并粘在一起，再求振动方程。或用能量方法EmxKxK22221212121任一时刻t两边对时间 求导：t02221dtxdmxKxK02122xmKKdtxdmmmV

11、Vmmm)(,动量守恒021221222)()(21)(2)(21xmmmkkmmmAAkkmmmVmmE总能量)cos(21tmmKKAx振动方程为：)()(212121020212kkmxxkkmE原0 xm1K2K15-1-8、作简谐振动质点方程为 用旋转矢量法求由初始状态运动到 状态所需最短时间。)32cos(24. 0tx0,12. 0 xx24. 012. 0330to解：st3223min由旋转矢量图，此题为此题为07、08年年5分计算题分计算题/32t，15-2-2、一系统作简谐振动，周期为 ，初相为零，则系统的动能和势能相等的时刻是？T解：tAtAxsin cos222121

12、mkx 2421tansin21cos21222222ntTttmAtkA) 12(8nTt15-2-3、一倔强系数为 ，质量为 的竖直悬挂的弹簧振子，以振幅 作谐振动，若以弹簧原长为势能（重力和弹性）零点，则物体在平衡位置下方距平衡位置为 处，系统的重力势能，弹性势能和总势能分别为多少？KmAx解：平衡位置0Kxmg Ox平衡位置0 x原长x零点重力势能)( )(0KmgxmgxxmgE重Ox平衡位置0 x原长x零点弹性势能KgmmgxKxKmgxKxxKE221 )(21)(21222220弹总势能KgmKxE221222总15-2-5、一质点作简谐振动，振动方程为 当 为何值时，系统势能

13、为总能量的一半，质点从平衡位置移动到此位置所需的最短时间？ )43cos(100 . 62txx解：22212121kAkxmx21023st75.034xo4415-2-6、一质点同时参与两个同频率同方向的简谐振动，其振动方程分别为)34cos(05. 01tx)64sin(03. 02tx求：合振动的振动方程。)324cos(03. 0)64sin(03. 02ttx解：Ox由旋转矢量图可知)34cos(02. 0tx1A2A315-2-8、一质点在 轴上作谐振动，质点向右运动通过 点作为计时起点，2秒后质点第一次经过 点，再经过2秒第二次经过 点，已知质点在 两点具有相同的速率，且 （1

14、）写出质点振动方程（2）在 点的速率（3）在 点的加速度 xAcmAB10BA、BBAABAo解：（1）4cmA2543)434cos(25tx4x12221093. 3)22(41025)434sin(41025smt（2）（3）2222221008. 3)22()4(1025)434cos()4(1025smta思考：第一次经过 点的速度、加速度B0t2t0t)2cos(2tAy振波-17、两质点作同方向、同频率，同振幅的振动。在振动过程中，每当第一个物体经过位移为 的位置且向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置但远离平衡位置运动。2A（1）用旋转矢量法求它们的相差（2）若质点1的振动方

15、程为 ，求质点2的运动方程)cos(1tAy（3）若上述条件改为：一个质点同时参与两种振动，求合振幅A解：（1）xO1424221（2）（3）xO1424AA2)cos(212212221AAAAA15-2-9、一单摆的悬线长为 ，在距顶端固定点的铅直下方 处有一小钉，设整个系统无损失，当单摆在左方仍作简谐振动，左右两边振幅分别为 和 ，证明：1A2A012LLLAA0LL0L证明：2222121AlgmAmE因无能量损失222102121ALgmALLgm012LLLAAL例 、 质量为 的比重计浮在密度为 的液体中，比重计圆管横截面积为 ，证明此比重计在竖直方向的振动是简谐振动，并求周期。

16、（略去阻力和水面的起伏）mSOx解： 平衡时，gVmg压下距离xgSxxSVgmgF)(xmgSdtxd22gSmT2例题例题1 1结论：是简谐振动0t1 . 005. 0060例 、振动质点的 曲线如图所示，求（1）运动方程；（2）点 对应的相位；（3）到达 点相应位置所需要的时间。txPP关键在于确定 ，mx005. 010. 00 . 4stP解：4t（一）旋转矢量法OxP一、简谐振动的描述一、简谐振动的描述/ /例题例题(1) 由旋转矢量图易知:1 . 0A3245,234)3245cos(1 .0tx(2)0p(3)st6 . 12453利用旋转矢量法，可以很简便地确定一、简谐振动的描述一、简谐振动的描述/ /例题例题（二）解析法（1）设运动方程为：)cos(10. 0txmxt05. 00 时，5 . 0cos30 )sin(10.