正弦定理和余弦定理知识题及答案解析

1、2.在*BC中，内角A,B,C的对边分别是A.30B.60C.120D.150正弦定理和余弦定理测试题一、选择题:,赃osB=()1.在AABC中，a=15,b=10,A=60a,b,c.若a2b2=/3bc,sinC=2yisinB,则A=()3. E,F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点，则tan/ECF=()16A272Bl33DI4兀B6。，£,则ABC4. zABC中，若lgalgc=lgsinB=lg2且的形状是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形5. 小BC中，a、b、c分别为/A、/B、/C的对边，如果a、b、cA. 1+B. 3+成等差

2、数列，/B=30°,ABC的面积为0.5,那么b为（）C.36.已知锐角A是MBC的一个内角,a、b、c是三角形中各内1角的对应边，若sin2Acos2A=2，则（A.b+c=2aB.b+c<2aC.b+cw2aD.b7、若ABC的内角A满足sin2A-,贝UsinAcosA3,15BVC.8、如果ABiCi的三个内角的余弦值分别等于A2B2c2的三个内角的正弦值，则A.A1BQ1和A2B2c2都是锐角三角形B.AiBiCi和A2B2c2都是钝角三角形C. ABCi是钝角三角形，A2B2c2是锐角三角形D. ARG是锐角三角形，A2B2c2是钝角三角形9、&ABC的三内

3、角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量P(ac,b),q(ba,ca),若，；,则角C的大小为(A)6(叱©万(D)三10、已知等腰ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是()A.3B.百C.叵D.叵28711、ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列，且c2a,则cosBAB-3。.亨D,也312、在ZABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=-,a=石,b=1,3则c=(A)1(B)2(C)J31(D)3、填空题:13、在ABC中，若sinA:sinB:sinC5:7:8，贝UB的大小是14、在ABC中，已知a%3,b=4,A=30,则s

4、inB415、在3BC中，已知BC=12,A=60,B=45,贝叭C=16、已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为.三、解答题:117。、已知八ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=a；+tanA1bB，求内角C-18、在小BC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB+sinC=1,试判断ABC的形状.19、如图，在ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AD=A10,AC=14,DC=6,求AB的长./Vx20、已知AABC

5、的周长为721,HsinAsinB6sinC.(I)求边AB1的长；(II)若ABC的面积为-sinC,求角C的度数.621、ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列,8sB4(I)求cotA+cotC的值;(n)设BAbC3，求a+c的值.22、某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30,海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C间的距离.答案ab1.解析：依题意得0<B<60,由正弦定理得蒜=薪得的B=3：选D.bSnA士=,cosB=1sin2B=3&#

6、39;2.解析：由sinC=2、/3sinB可得c=2、/3b,由余弦定理得cosA=b2+c2a2-/3bc+c2f32bc2bc于是A=30°,故选A.13.解析：设AC=1,则AE=EF=FB=3AB=23,由余弦定理得CE=CF=A/AE2+AC2-2ACAEcos45,所以cos/ECF=CE2+CF2-EF242CECF=5'5sin/ECF答案:所以tan/ECF=；cos/ECF4.解析：lgalgc=lgsinB=lg/,g：=lgsinB=lg?sinB=BS0,£，回由c=a2+c2-得cosB=2acb2=23a2b22J2=a22a2=b2

7、,-a=b.答案：D5.解析：2b=a+c,£acg=2?ac=2,a2+c2=4b24,b2=a2+cfac?b2=4+2泡?6=3+否.答案：c233116 .解析：由sin2Acos2A=j得cos2A=2,又A是锐角,b+csinB+sinC所以A=60；于是B+C=i20,所以丁=丁7=2a2sinA2sin”cos坐2B-C_=cos2<i,b+cw2a.答案：c7 .解:由sin2A=2sinAcosA0,可知A这锐角，所以sinA+cosA0,55又(sinAcosA)isin2A-,故选A8 .解：AiBiCi的三个内角的余弦值均大于0,则ABCi是锐角三角形

8、,sinA，cosAsin(-A)A2若A2B2c2是锐角三角形，由sinB2c0sBisin(-Bi),得B2sinC2cosCisin(-Ci)C2Ci那么,A2B2c2a，所以A2B2c2是钝角三角形。故选Do9.【解析】p/q(ac)(ca)i可得2cosCi,即cosC-2C3，故选择答案Bb(ba)b2a2c2ab,利用余弦定理【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力1°.解：依题意，结合图形可得ta4弯，故“Ai.15瞑选D2tan2tanA-1215_tan2t1（空）221511.解:ABC中，a、b、c成

9、等比数列，且c2a,则b=C2a,cosB22.22acb_a2ac4a22a23、生2,选4a24B.12 .解：由正弦定理得sinB=1,又ab,所以AB,故B=3°,所以C=9°,故c=2,选B二、填空13 .解：sinA:sinB:sinC5:7:8abc=578设a=5k,b=7k,c=8k由余弦定理可解得B的大小为-.14 .解：由正弦定理易得结论sinB=/。15 .【正确解答】由正弦定理得，-ACr解得AC4nsin45sin60【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理16 .解析：由ABC的三个内角A、B、C成等差数

10、列可得A+C=2B而A+B+C=可得B3AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得AD本题主要考察等差中项和余弦定理，涉及三角形的内角和定理，难度中等。三、解答题：（17-21题12分，22题14分，写出证明过程或推演步骤.）117。、已知八ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=atanAtanB,求内角C.解：由a+b=a+b及正弦定理得sinA+sinB=tanAtanBcosA+cosB,兀兀即sinAcosA=cosBsinB,从而sinAcos-cosAsin-=44兀兀cosBsin4sinBcos4兀即sinA4=sin又0<A+B<兀，故A74兀所以

11、c=一.2兀B,A+B=一,218、在AABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB+sinC=1,试判断ABC的形状.解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.1由余弦定理得a2=b2+c22bccosA,故cosA=一2，又A6(0,兀)，故A=120.(2)由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC.又sinB+sinC=1,得sinB=sinC=一.2因为0°<B<90,0<C<9

12、0°,故8=。所以3BC是等腰的钝角三角形.19、如图，在4ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AAD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.解：在ADC中，AD=10,AC=14,DC”6,由余弦%理在coszADC=AD2+DC2AC2100+361962ADDC2X10X62'.“DC=1209DB=60.在AABD中，AD=10,B=45ZADB=60,由正弦定理得ABADsinZADBsinB'ADsinzADB10sin60AB=sinBsin4510X20、已知ABC的周长为无1,且sinAsinB&sinC.(I)求边AB

13、的长；(II)若ABC的面积为1sinC,求角C的度数.6解：(I)由题意及正弦定理，得ABBCAC.21,BCAC.2AB,两式相减，得AB1.(II)由ABC的面积Bc|Ac|sinC1sinC,得Bc|aC6理，得cAC2BC2AB2cosC2ACBC(ACBC)22ACBCAB212ACBC所以C60：.21、ABC中，内角A,c成等比数列，c0sB4B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,(I)求cotA+cotC的值;(n)设或奈-,求a+c的值.2分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定理等.3一解：(I)由cosB一，得sinB41(-

14、3)2：,由b2=ac及正弦定理.2sinBsinAsinC.1贝UcotAcotCtanA1tanC1cosAsinAcosCsinCcosAcosCsinAsin(AC)sinC%.sinAsinC.2,sinBsinB7P得ca?c0sB=2,由孑B=>可得ac=2,即b2=2.由余弦定理b2=a2+c2-2ac+cosB,得a2+c2=b2+2accosB=5.222(ac)ac2ac549,ac322、某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30,海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C间的距离.解：如图，在4ABP中，AB=30X40=20,60'ZAPB=30,/BAP=120,由正弦定理，得