第7单元怎样设元(郭发林)

1、李善兰(18101882) 晚清中国杰出的数学家。在西方传教士的帮助下，翻译了大量科学著作，如几何原本后九卷、代数学等。不仅向中国学者介绍了西方数学知识，还创立了许多新概念、新名词、新符号，如代数学、方程式、函数、微分等，李善兰也有许多自己的著作，如方圆阐幽、对数探源、弧矢启秘等，为中国数学的发展作出了卓越的贡献。7.怎样设元解读课标荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说：“与其说学习数学，倒不如说学习数学化”方程就是将众多实际问题“数学化”的一个重要模型在运用一元一次方程解决实际问题的过程中，设立未知数是首要环节，不同的设法列出的方程有的简单，有的复杂，故在设未知数时需有所选择，设元的基本方法有：1

2、直接设元 即问什么设什么 2间接设元 即所设的不是所求的，需要将要求的量以外的其他量设为未知数，便于找出符合题意的等量关系3辅助设元 有些应用题隐含一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则难求其解，故需把这些未知的常量设出未知数，作为桥梁帮助分析4整体设元 若在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，从而减少设元的个数问题解决 例1 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个长方形色块图的面积为 . （济南市中考题） 试一试 要求长方形的面积需求出各正方形的边长，为便于求出长方形长与宽，故不宜直接设元，

3、由于6个正方形边长有一定的依存关系，所以，可以从间接设某个正方形的边长入手. 新视窗 实际问题的一个明显特征是文字叙述长、生活常识丰富、相关制约因素多解应用题的基础是阅读，阅读是以理解为核心的认知活动，在解题过程中，应耐心细致地进行阅读，弄清每个段落所表达的意思，在关键词句上作上标记，把较长的关键语句压缩简化，突出问题的实质.想一想已知=，求的值（“希望杯”邀请赛试题）P55 例2植树节时，某班平均每人植树6棵如果只由女同学完成，每人应植树15棵；如果只由男同学完成，每人应植树( )棵 A. 9 B. 10 C.12 D14 例3某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和

4、零售票，其中团体票占总票数的，若提前购票，则给予不同程度的优惠,在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的；零售票每张16元，共售出零售票数的一半，如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？ （北京市东城区中考题）试一试 票款与票数、票价有关，既要用字母表示六月份零售价，又要用字母表示总票数例4某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中作出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清

5、铺款，每年可获得的租金为商铺标价的10%.方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用(1)请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：投资收益率=×100%）(2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元问：甲、乙两人各投资了多少万元？ （2012年江苏省无锡市中考题）试一试 在阅读理解的基础上通过设元解决问题 寻找等量关系是列方程解应用题的核心和关键寻找等量关系的基本途径有： (1)利用公式寻找； (2)从关键词句中寻找

6、； (3)运用不变量寻找； (4)对一种“量”，从不同的角度进行计算（即算两次）得到相等关系， 列代数式是最基本的教学能力之一，涉及中学数学多领域的内容，如列方程解应用题、函数关系式的表示等，能分析具体情景中的数量关系，并用代数式表示，且能注意到代数式的多样化和简洁性，是代数思维的内核和灵魂P56例5某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定的速度增加如果开放一个检票口，则要20分钟检票口前的队伍才消失；如果同时开放两个栏票口，则8分钟队伍就消失设检票的速度是一定的，问同时开放三个检票口，队任要几分钟就消失？分析与解 未知量有以下几个：检票开始时、，等候检票的队伍人数；每个检票口每分钟

7、检票的人数；队伍每分钟增加的人数，只有指明这些量，才能表示等量关系，设检票开始时，等候检票的队伍有a人，每个检票口每分钟检票x人，队伍每分钟增加y人，则 =20, =8，消去a，得20(x -y)=8(2xy), x=3y 故同时开放三个检票口，等侯检票的队伍消失的时间是： =5(分钟).新视窗本例涉及的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些未知数辅助建立方程，辅助未知数的引入，在已知条件与所求结论之阃架起了一座“桥梁”，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求”纪念大师例6瑞士数学家欧拉(LEuler，1707-1783)是历史上最多产的

8、数学家，据统计他一共写了886本（篇）书籍和论文著名数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉，他是我们所有人的导师”是啊，欧拉在数学上的贡献实在太多了，即使在初等数学中也到处可见他的身影下面问题是欧拉的数学名著代数基础中的一个问题有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样分他的财产：第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一按这种方式一直分下去，最后每一个儿子所得财产一样多问这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？这位父亲共留下多少财产？分析 根据设未知数和思路的不同，可得多种解法解法1 设有x个儿子，则最后一个儿

9、子分得l00x克朗，倒数第二个儿子先得到l00(x 1)克朗，又得到“余下的”，即留给最后一个儿子的是余下的，故这个“余下的”也是最后一个儿子钱数的，由最后两个儿子分得钱数相等，得方程 lOO(x 1)+= l00x，解得x=9 所以这位父亲共有9个儿子，每人分得财产l00x=900（克朗），留下900×9=8100（克朗）财产 解法2设每个孩子分得的财产是x，恩的财产是y，则根据题意， 第一个孩子分得的财产是：x=100+，第二个孩子分得的财产是：x =200+ 第三个孩子分得的财产是：x=300+， 依此类推，可以看出，老大与老二（老二与老三，老三与老四等都一样）的差额是100

10、根据题意，这个差数应当是0，于是得出一元一次方程：100=0 解之，得x=900，于是y=8100. 经过验证，每个孩子确实都分得900元，即第二、三、四个方程都满足8100÷900 =9（个） ， 所以这位父亲有9个孩子，他共有财产8100克朗，每人分到900克朗新视窗解法2的巧妙之处在于所列方程使相邻二兄弟所得财产之差的表示式相同这样把问题转化为一元一次方程，但求解之后需检验所得解是否满足所有方程 波利亚在怎样解题中写道：“一只飞虫企图穿过玻璃选出去，它在同一扇窗户上试了又试，而不去试试附近打开的窗户人的聪明之处就在于当他遇到一个不能直接克服的障碍时他会绕过去，”数学冲浪知识技能

11、广场1古希腊数学家帕普斯是丢番图最得意的一个学生，有一天他向老师请教一个问题：有4个数，把其中每3个相加，其和分别为22，24，27，20，则这四个数分别是_.2一个六位数的3倍等于，则这个六位数等于 3. 10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 （呼和浩特市中考题） 4学友书店推出售书优惠方案：一次性购书不超过100元，不享受优惠；一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折；一次性购书超过200元，一律打八折如果小明一

12、次性购书付款162元，那么小明所购书的原价一定为( )元A180 B. 202.5 C. 180或202.5 D. 180或200 （山西省临汾市中考题）5一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是( ) A. 100元 B105元 C108元 D118元 （广东省深圳市中考题） 6某种产品是由A种原料x千克、B种原料y千克混合而成，其中A种原料每千克50元，B种原料每千克40元，后来调价，A种原料价格上涨10%，B种原料 价格减少15%，经核算产品价格可保持不变，则xy的值是( ) A B C D7陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买

13、了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418 元，”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了”(l)王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；(2)陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10的整数，笔记本的单价可能为多少元？ （四川省资阳市中考题）8燃蜡时间问题（英国）在伦敦的一个大雾天，一家商店的店主叫店员点燃两支长度相同的蜡烛，这两支蜡烛的一支可维持4个小时，另一支可维持5小时雾散后，店主来吹蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的4倍，问蜡烛点燃了多长时间？9体育文化用品商

14、店购进蓝球和排球共20个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润260元篮球排球进价（元个）8050售价（元个）9560 (1)购进篮球和排球各多少个？(2)销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？， (2012年湖南省娄底市中考题) 思维方法天地10.某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球10个，每投进一个球得1分，得分的部分情况如表所示：得分0128910人数754341已知该班学生中，至少得3分的人的平均得分为6分，得分不到8分的人的平均得分为3分，那么该班学生有 人（江苏省竞赛题）11一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4小时，从乙地到甲地逆流行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，

15、需 小时 （“希望杯”邀请赛试题）12.右边算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”=3，那么被乘数是_ （第15届“五羊杯”竞赛题）13从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是( ) A5千克 B6千克 C7千克 D8千克14.某校初一、初二两个年级学生的人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的，已知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级 男生人数占三个年级男生人数的，那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的比

16、是( ) A B C. D （“希望杯”邀请赛试题）15某商品原价为a元，春节促销，降低20%，如果节后恢复到原价，则应将现售价提高( ) A15% B20% C25% D30% （四川省竞赛题）16.将下表的方格中的7个方格填入不同的数字，便得每行、每列、每条对角线上的3个数字之和都相等问：表中左上角的数字是多少?(2012年“启智杯”数学思维及应用能力竞赛题)2012201017某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）月使用费元主叫限定时间分主叫超时费（元分）被叫方式一581500.25免费方式二883500.19免费温馨提示：若选用方式一，每月固定交费5元，当主动打出电话月累

17、计时间不超过150分，不再额外交费；当超过150分，超过部分每分加收0. 25元 ，设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：(1)用含有t的式填写下表：t15050<t<350t=350t>350方式一计费元58108方式二计费元888888 (2)当t为何值时，两种计费方式的费用相等；(3)当330 <t<360时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可） （2012年天津市中考题）18.为了改善城乡人民生产、生活环境，我市投入大量资金，治理竹皮河污染，在城郊建立了一个综合性污水处理厂，设库池中存有待处理的污

18、水a吨，又从城区流入库池的污水按每小时6吨的固定流量增加，如果同时开动2台机组需30小时处理完污水，同时开动4台机组需10小时处理完污水若要求在5小时内将污水处理完毕，那么要同时开动多少台机组？ （湖北省荆门市中考题）应用探究乐园19.某农民在农贸市场卖鸡甲先买了总数的一半又半只，然后乙买了剩下的一半又半只，最后丙买了剩下的一半又半只，恰好买完，问该农民一共卖了多少只鸡？ （2012年“希望杯”邀请赛试题）20.如图，长方形ABCD、ABEF、AGHF的长与宽的比相同，长方形ABCD与AGHF的面积比是，长方形BEHG的周长是22，求长方形ECDF的面积 （世界数学团体锦标赛试题）7. 怎样设

19、元 问题解决例1 143设C、D的边长为x，则E、F、B的边长分别为x1，x2，2x 1，由题意得：(x1)（x2）=x(2x1)，解得x=4例2 B设男、女同学分别有量x、y人，则 15y =6(xy)， x=y，则只由男同学完成每人应植树6(xy)÷x=6（yy）÷y=10例3设总票数为a张，六月份零售票应按每张x元定价，由题意得，解得x=19.2（元）例4 (1)设商铺标价为x万元，则 按方案一购买，则可获投资收益（120% 1）·x+x·10%×5=0. 7x， 投资收益率为×100% =70%. 按方案二购买，则可获投资利益

20、（120% 0. 85）·xx.·10%×(110%)×3=0. 62x. 投资收益率为×100%72.9% 投资者选择方案二所获得的投资收益率更高 (2)设甲投资了x万元，由题意得0.7x0. 62x =5， 解得x=62.5， 甲投资了62.5万元，乙投资了53. 125万元数学冲浪1. 9，7，4，11设四个数的和为x 2. 28571332 提示：设报3的人心里想的数是x，报5的人必里想的数应是8 x，于是，报7的人心里想的数是12 (8x)=4x，报9的人心里想的数是16 (4x) =12 x，报1的人心里想的数是20 (12 x) =8x，报3的人心里想的数是4(8x)=4 x，由x= 4x，得x= 2.4C 5A 6C7(1)设单价为8元的课外书为x本，由8x12(105 x)=1500 418，得x=44.5（不合题意），所以陈老师肯定搞错了 (2)设单价为8元的课外书为了本，笔记本的单价为a元， 则8y12(105 y) =1500 418 a，即178+a =4y，178a应被4整除，a=2，4，6，8，经讨论a=2或68设蜡烛点燃了x小时，蜡烛的长度为l厘米，由，得x=小时9(1)12个，8个 (2)4个10. 43设共有x人，由(x45 7) ×62 ×41×5