量子力学复习课件--中山大学微电子学大二课件

1、经典物理学遇到的困难经典物理学遇到的困难EhhPnkh hpnk(1) 如何描述微观粒子的状态如何描述微观粒子的状态 ？ (2) 微观粒子的状态变化时应微观粒子的状态变化时应 遵循什么样的运动规律遵循什么样的运动规律 ？ 2( , )dWr td 22(),1r td全 空 间1122.nnccc22( , )( )( , )2ir tU rr tmt ( , )( , )ir tHr tt22( )2HU rm ( , )( , )ir tHr tt2( , )( , )dWr tdw r t d 2( , )( , )w r tr t *( , )2ij r tm ( , )( , )0w

2、 r tj r tt( , )( , )VSdw r t dj r tdsdt 22( , )( ) ( , )2r tiU rr tdtm ( , )( )( )iEtitr tr er eE22( , )( , )( )w r tr tr ( , )( )iEtx tx e222( ) ( )( )2dU xxExmdxaxaxxU0)(-aa0U(x)0 0( ),0 xaU xxa x)()()(2222xExxUdxd222222( )( )2( )( )( )2dxExxadxdxxExxadx-aa0U(x)sin()2( )00nnAxnxaaxxcos()2( )00nnBx

3、nxaaxx2222, 1,2,. (9)8nnEna( , )(, )rrr tr t (, )( , )r tr t(, )( , )r tr t(, )( , )r tr t(, )( , )r tr t 讨论讨论22128Ea基态能量基态能量（3 3） 取负整数与正整数描写同一状态。取负整数与正整数描写同一状态。 n（1 1(2)(2)粒子粒子能量最低的态能量最低的态 称称为为基态基态1与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的表现，因为表现，因为“静止的波静止的波”是没有意义的，亦即是没有意义的，亦即 的的态不存在，无意义。态不存在，无意

4、义。0,0,0nE本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称：本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称： 而导致的。而导致的。)()(xUxU（4 4）当）当 为偶数时，为偶数时， ，即，即 具有具有负宇称负宇称（奇宇称）（奇宇称）。 当当 为奇数时，为奇数时， ，即，即 具有具有正宇称正宇称（偶宇称（偶宇称) )。nn)()(xxnn)(xn)()(xxnn)(xn()0( , )ip rEtr te 常数202),(tr2sin(1,2,.)0( )0 0,nnxnx axaaxx a 2222, 1,2,. 2nnEnaHamilton operator 22222212xdxdH定态定态Sc

5、hrSchrdingerdinger方程：方程： )()(21222222xExxdxd（1） 改写成改写成0)(21222xxEdxd令令 E2（ 为待定常数） （2） x,（3） 于是方程（于是方程（2 2）可写成）可写成0)(222dd（4 4） )(!2)(222121xHenxnxnn (13) (13)归一化的本征函数归一化的本征函数(0,1, 2, 3,)n 21nEn得本征能量得本征能量: : (15)(15)问题问题:( ,)( ,)FF F1 1、力学量的算符力学量的算符),(),(irFprFF一一、算符、算符1) 算符算符(operator):在量子力学中在量子力学中算

6、符算符表示对波函数的表示对波函数的一种运算一种运算, 这种这种运算也称为把运算也称为把算符算符 “作用作用”到波函数上到波函数上, 这种作用这种作用的结果是得到了另外一个波函数的结果是得到了另外一个波函数.A用数学式子可表示为用数学式子可表示为:容易证明位置和动量算符一般满足对易关系容易证明位置和动量算符一般满足对易关系 :这是量子力学最基本的对易关系这是量子力学最基本的对易关系, 它有明确的物理它有明确的物理意义（后面还要讲到）意义（后面还要讲到）., , .xpix y z 量子力学中常定义量子力学中常定义 表示对易关系表示对易关系:ABBABA,三三、算符的构造、算符的构造1) 在经典力

7、学中可以在经典力学中可以找到相应的对应量找到相应的对应量的力学量的力学量, 如如: 动量动量, 角动量角动量, 等等,因为它们总是可以表示为位矢因为它们总是可以表示为位矢和动量的函数和动量的函数, 只要知道位置和动量算符只要知道位置和动量算符, 就可以应用就可以应用代换法得到量子力学中相应力学量的算符表示代换法得到量子力学中相应力学量的算符表示(见规见规则则2)经典力学经典力学),(prFF量子力学量子力学),(),(irFprFF关于量子力学中的算符构造问题关于量子力学中的算符构造问题, 并没有一般的方法并没有一般的方法.FFF11221122()F ccc Fc F( ,)(, )FF 一

8、一、厄米算符、厄米算符由于所有力学量的数值必须是实数由于所有力学量的数值必须是实数, 也即要求表示力也即要求表示力学量的算符的本征值必须是实数学量的算符的本征值必须是实数, 什么算符满足如此什么算符满足如此要求呢要求呢?下要介绍的厄米算符就具有这种性质下要介绍的厄米算符就具有这种性质, 所以所以我们可以说量子力学中表示力学量的算符都是厄米我们可以说量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符算符(见规则见规则4).根据量子力学公设，当体系处于态根据量子力学公设，当体系处于态 时时,对力学量对力学量进行观测，单（每）次测量一般得到不同的结果，进行观测，单（每）次测量一般得到不同的结果，但必定是力学量算

9、符的本征值之一但必定是力学量算符的本征值之一A2) 厄米算符的定义厄米算符的定义 如果对任意如果对任意(波波)函数函数 与与 算符算符A满足满足:),(),(AA即对厄米算符有即对厄米算符有:dAdA*)(*则称则称算符算符A 为厄米算符为厄米算符.*(,)nnnd 定义定义内积内积: :3) 厄米算符的本征值必为实数厄米算符的本征值必为实数. 4) 厄米厄米算符本征函数的正交性算符本征函数的正交性mnnmuu),(即厄米即厄米算符的算符的本征函数系本征函数系un 正交归一正交归一其中其中cn是展开系数是展开系数, 本征函数的这种性质称为本征函数的这种性质称为完备性完备性5) 厄米厄米算符本征

10、函数的完备性算符本征函数的完备性对一个任意波函数对一个任意波函数 , 总可以展开为总可以展开为厄米厄米算符本征函数算符本征函数的级数（物理上依据态叠加原理，数学上类似级数展的级数（物理上依据态叠加原理，数学上类似级数展开）开）:nnnc u*(, )nnncuud 为求出此展开系数为求出此展开系数, 用用um*乘以上式两边乘以上式两边, 并对整个空并对整个空间积分间积分, 可得可得:另外利用波函数的归一化条件及厄密算符的本征函另外利用波函数的归一化条件及厄密算符的本征函数的正交归一性数的正交归一性, 还可以证明系数的模方之和满足还可以证明系数的模方之和满足:2(,)*1nndc 问题问题:nn

11、nF;kkF*2*|;(,)nnnnnnnnnFF dcccd AA(,)(,)AA (,)AAAd In summary, to measure quantity at state A12, , . naaa*2|nnnAA dca *2,1( ,)(,)(,)|mmnnmnmnmnnmnmnm nm nnc uc uc c uuc cc 22212| , | ,. |nccc六六、例题、例题物理分析：物理分析：例例: :在宽度为在宽度为a的一维无限深势阱中的粒子处于状态：的一维无限深势阱中的粒子处于状态：求粒子能量的各个可能测得值及相应概率求粒子能量的各个可能测得值及相应概率.24( )s

12、incos ()xxxaaa前面我们已经求解过一维无限深势阱问题，其实质就前面我们已经求解过一维无限深势阱问题，其实质就是求解能量算符或哈密顿算符的本征值方程，并已得是求解能量算符或哈密顿算符的本征值方程，并已得到哈密顿（能量）算符的本征值和本征函数到哈密顿（能量）算符的本征值和本征函数解解: 已知一维无限深势阱已知一维无限深势阱(非对称非对称) 的能量本征值为的能量本征值为:本征波函数为本征波函数为:2( )sin0nnxxxaaa22221,2,3,2nEnnm a现在粒子所处的状态现在粒子所处的状态 (x)显然不是能量本征态，每次显然不是能量本征态，每次测量能量时得到不确定的值，但一定是

13、本征值之一测量能量时得到不确定的值，但一定是本征值之一( )nnncx*0(,)( ) ( )annncxx dx 2024(sin)*(sincos)anxxx dxaaaaa把把 (x)按本征函数系按本征函数系 n(x)来展开来展开:0212sin* 2sin1cosanxxxdxaaaaa 02123sin*sinsin2anxxxdxaaaaa1312nn因此可以得到展开因此可以得到展开系数：系数：1311, , 0 (1,3)22ncccn*1301( )( )( )2anxxxdx由此可知原来的波函数已经归一化由此可知原来的波函数已经归一化, 若对处于这个波若对处于这个波函数所代表

14、的粒子状态进行能量的测量函数所代表的粒子状态进行能量的测量, 测得其能量测得其能量的值只能为的值只能为E1和和E3，相应概率为相应概率为:21112wc23312wc0; 1,3nwn22122Em a223292Em a22222nEnm a测得其能量的平均值测得其能量的平均值:22222291222m am a22252m a11331(,)nnnEHw Ew Ew E课堂练习课堂练习:若只是计算能量的平均值若只是计算能量的平均值, 还有其它方法吗还有其它方法吗?2220()2(,)addxmdxEH2413( )sincossinsinxxxxxaaaaaa222220223022223

15、213193sinsin*sinsin233sinsin*sin9 sin295()2222aaxxxxdxmaaaaaaaaxxxxdxm aaaaaaam am a 4 4、坐标算符和动量算符、坐标算符和动量算符二、坐标算符二、坐标算符1)1)本征值方程本征值方程: :这里这里r r0 0为任意实数为任意实数, , 所以其本征值构成连续谱所以其本征值构成连续谱. .2)2)本征波函数本征波函数: :00000()( )()( )rrrrrrrr根据根据 函数的性质，容易求出本征函数：函数的性质，容易求出本征函数：000() ()rrrr00( )()rrr r 三三、动量算符、动量算符1)

16、 动量算符动量算符:2)本征值方程本征值方程:( )( )ppprpr 其中其中 表示动量算符对应于本征值为表示动量算符对应于本征值为p 的的本征波函数本征波函数.)(rpxipipx3)本征波函数本征波函数:rpipcer)(其中其中c为归一化系数为归一化系数.四四、自由边界条件下动量算符本征函数的、自由边界条件下动量算符本征函数的“归一化归一化”:”:1)1)自由边界自由边界条件下条件下动量算符动量算符的的本征值本征值可以取可以取任何实数任何实数: :对任何对任何p的值的值, 其对应的波函数其对应的波函数 满足动满足动量的本征方程量的本征方程:rpipcer)( )( )ppprpr其本征

17、值构成连续谱其本征值构成连续谱. .显然这里波函数不是归一到显然这里波函数不是归一到 1 1，而是归一到，而是归一到 函数函数(,)()pppp3)3)动量算符本征函数的内积动量算符本征函数的内积: :3 21( )(2)ip rpre 八八、动量算符本征函数的完备性、动量算符本征函数的完备性: : 对任意波函数对任意波函数 ( (r),r),把它按把它按 p p(r)(r)展开展开, , 则可写为则可写为: :)()()()()()()()(分立谱连续谱rpcrpdrpcrppp*2/31( )(,)( ) ( )( )(2)ip rppc prr drr edr 显然显然 表示对处于表示对

18、处于 态的态的微观粒子进行动量微观粒子进行动量的测量的测量, 测得动量为测得动量为 的几率的几率.p2( )c p21122( )( ()()ikxikxikxikxixAeeee123451122345( ) ()()()()()iip xp xiiip xp xp xxc p ec pec pec pec pe2-2-2-4ikxikxikxikxAeeee 24)()(24)()(242)(54321ApcpcApcpcApc1|11)1()1(2216| )(|2222222251 AApcii kpkpkpkpp54321220 1 A 42)()(42)()(22)(54321pc

19、pcpcpcpc0)(4242)2(42242022|)(|22222251 kkkkppcpiii若只是计算动量的平均值若只是计算动量的平均值, 还可以采用一般公式还可以采用一般公式:*(,)(,)didxdxdxpp 2( ) sin (1/2)cos xAkxkx 85)(81)(81)2(81)2(81021)(42)(42)2(42)2(42022212|)(|2222222222222222251kkkkkkkkkppcTiii 若只是计算动能的平均值若只是计算动能的平均值, 还可以采用一般公式还可以采用一般公式:22*2*2(,)(,)ddxmdxdxTT 2( ) sin (1

20、/2)cos xAkxkxzyxpppzyxkjiprL prLriprLzyxLkLjLiL)(yzzyizpypLyzx)(xyyxiypxpLxyz)(zxxzixpzpLzxy22222()()()Lyzzxxyzyxzyxsin cos ;sin sin ;cosxryrzr(sincos)( cossin)xyzLictgLictgLi2222222,11(sin)sinsinL ),()1(),(,2,2 mlmlYllYL 即角动量平方算符的本征值为即角动量平方算符的本征值为: :22(1), 0,1,2.Ll lll可以决定可以决定角动量的大小，所以称为角量子数角动量的大小，

21、所以称为角量子数. .2.2.角动量平方算符的本征值和本征函数角动量平方算符的本征值和本征函数2L2) 1(ll) 12(l 的本征值的本征值 仅由角量子数仅由角量子数 确定，而本征确定，而本征函数函数 却由却由 和和 确定。对于一个确定。对于一个 值，值， 可取可取 ，这样就有，这样就有 个个 值相同而值相同而 值不同的本征函数与同一个本征值值不同的本征函数与同一个本征值 对应对应, ,因此因此, , 的本征值的本征值 是是 度简并的度简并的。 2L2) 1(lll, 2, 1, 0),(lmY2) 1(lllllmm21l ml;0, 1, 2,zLmml ),(),(, mlmlzYmY

22、L 3.3.角动量角动量 z 分量算符的本征值与本征函数分量算符的本征值与本征函数: :即同时也是角动量即同时也是角动量L Lz 算符的本征函数，相应的算符的本征函数，相应的本征值为本征值为: :, l mY这里这里 m m 是磁量子数是磁量子数, ,这说明角动量的平方及其这说明角动量的平方及其z 分量分量具有共同的本征函数系，在该本征态中，两者具有共同的本征函数系，在该本征态中，两者同时具有确定的值，其原因稍后再讲同时具有确定的值，其原因稍后再讲, l mY 001( , )4Y 113( , )si n8iYe 103( , )cos4Y 222215( , )si n32iYe 1 13

23、( , )si n8iYe 2115( , )si n cos8iYe 2205( , )(3cos1)16Y 2 115( , )si n cos8iYe 222 215( , )si n32iYe三三. . 有心力场有心力场如绕核运动的电子如绕核运动的电子, ,若原子核带的正电荷为若原子核带的正电荷为+ +ZeZe, ,运动运动的电子势能为的电子势能为: :rZerU024)(rZemH022242若忽略原子核的运动若忽略原子核的运动, ,电子的定态薛定谔方程为电子的定态薛定谔方程为: :),(),()42(0222rErrZem( , , )( )( , ); 1,2,.1;0, 1,.

24、nlmnllmrRr Ylnml 因此我们得到当时，电子在库仑场中运动的因此我们得到当时，电子在库仑场中运动的能量本征值和相应的本征函数：能量本征值和相应的本征函数：2422 1,2,3,2nmZ eEnn 能级只与量子数有关，波函数却与三个量子数能级只与量子数有关，波函数却与三个量子数有关，能级的简并度是：有关，能级的简并度是：, ,n l mn120(21)nlln2020.529aAme0321100100001( , , )( )( , )zrazrRr yea 03222002000001(, , )( ) ( , )24 2zrazzrrRryeaa 03222102110003,

25、 ,ecos423zrazzrrRr Yaa 03222112111003, ,esin823zraizzrrRr Yeaa 032221 1211 1003, ,esin823zraizzrrRr Yeaa 解解: 根据计算坐标算符的平均值公式根据计算坐标算符的平均值公式:例例4:4:氢原子处于基态（见习题氢原子处于基态（见习题3.23.2）：求电子径向坐标求电子径向坐标r,势能和动能的平均值势能和动能的平均值, 最可几半径最可几半径(见见课堂练习课堂练习),电子动量电子动量p的几率分布的几率分布.0310001( ,)rarea 2(,)( , ,)rrrrd 02230014rarr d

26、rae01!naxnandxex403004233!2aaa022 /2300001sin r arerdrdda 电子势能的平均值电子势能的平均值:2222( ,)()eeedrrr 222300042eeaaa 02223014raer drrae0223004raerdrae01!naxnandxex根据基态是定态，即处在能量本征态根据基态是定态，即处在能量本征态, 总能量守恒并总能量守恒并确定确定 (但动能和势能不能同时确定但动能和势能不能同时确定, 只能以平均值表示只能以平均值表示, 二者相加才等于总能二者相加才等于总能):4122eE 202ae20eUa 222122200022

27、eeeTEUaaa 6 6、力学量之间的关系和算符的对易力学量之间的关系和算符的对易关系关系; ;不确定性原理不确定性原理,0A B ,0A BC 前面我们已得到过关于坐标和动量之间的对易关系前面我们已得到过关于坐标和动量之间的对易关系这是量子力学中的一个基本对易关系，有了它就可这是量子力学中的一个基本对易关系，有了它就可以得出其他力学量之间的对易关系以得出其他力学量之间的对易关系, , .xpix y z , , ,xyzx py pz pi0 ,yx p0 ,xy p, , , 0 xyxzyzpppppp还可以证明还可以证明:222 , 0; , 0; , 0PPPxyzppp, 0T

28、P对自由粒子对自由粒子:2, 0; 0H PH P 角动量算符之间的一般对易关系角动量算符之间的一般对易关系: :2)2)0,0,0,222zyxLLLLLLxzyxyzzyLiLLLiLLLL,zyxzxyyxLiLLLiLLLL,yxzyzxxzLiLLLiLLLL,1)1)L L i L , 0A B 定理定理 : , 0A B ,0A B 二、共同完备本征函数系二、共同完备本征函数系: :定理和互为逆定理，并且容易推广到三个以上定理和互为逆定理，并且容易推广到三个以上算的情况算的情况例如：例如：0,0,0,222zyxLLLLLL;0, 1, 2,zLmml ),(),(, mlmlz

29、YmYL ),()1(),(,2,2 mlmlYllYL 22(1), 0,1,2.Ll ll,; ,; ,xyzyzxzxyL Li LL Li LL Li L ( )( )ppprpr例如：例如：, 0; , 0 ( , , )ppp px y z ( )( ), (, , )ppprprx y z/3/21(2)( )ip repr (,)xyzp p pp体系的完全状态可以由一个波函数描述；体系的完全状态可以由一个波函数描述；与此同时，体系的完全状态也可以由一组相互对易的与此同时，体系的完全状态也可以由一组相互对易的力学量表示，即可对易力学量的完全集（力学量表示，即可对易力学量的完全集

30、（一般选择包一般选择包括在内的守恒量完全集括在内的守恒量完全集）这组力学量的数目一般）这组力学量的数目一般与体系的自由度相同与体系的自由度相同2,zH L L 氢原子中的电子有三个自由度，完全确定它的状态需氢原子中的电子有三个自由度，完全确定它的状态需要三个相互对易的力学量，因为电子是在库仑场中运要三个相互对易的力学量，因为电子是在库仑场中运动，可以证明下列对易关系，所以力学量完全集可以动，可以证明下列对易关系，所以力学量完全集可以取为：取为：22, 0, , 0, , 0zzH LL LH L ;0, 1, 2,zLmml 22(1), 0,1,2.Ll ll( , , )( )( , )n

31、lmnllmrRr Y 2422 1,2,3,2nmZ eEnn 其共同的本征函数为：其共同的本征函数为：三个力学量的本征值为：三个力学量的本征值为：在共同本征态中，三个力学量可以同时取上述的确定值在共同本征态中，三个力学量可以同时取上述的确定值解解: 根据前面的讨论，氢原子中电子的能量算符，角根据前面的讨论，氢原子中电子的能量算符，角动量平方算符动量平方算符,角动量角动量 z 分量算符相互对易，具有分量算符相互对易，具有共共同的本征函数，在共同本征态中，三者可以同时取相同的本征函数，在共同本征态中，三者可以同时取相应的确定值应的确定值:例例5:5:氢原子初始时刻氢原子初始时刻 (t = 0)

32、 ) 处于状态处于状态求电子能量求电子能量,角动量平方角动量平方,角动量角动量 z 分量的取值几率及分量的取值几率及相应的平均值相应的平均值. 21103110211 1( , ,)111( )( ,)( )( ,)( )( ,)222rRr YRr YRr Y ;0, 1, 2,zLmml 22(1), 0,1,2.Ll ll( , , )( )( , )nlmnllmrRr Y 2422 1,2,3,2nmZ eEnn 共同的本征函数为：共同的本征函数为：三个力学量的本征值为：三个力学量的本征值为：( ,)( , ,)nlmnlmnlmrcr 容易得到：容易得到：21031021 1111; ; 222ccc 容易检验原来的波函数没有归一化，进行归一化后：容易检验原来的波函数没有归一化，进行归一化后：21031021 1122; ; 555ccc 由于给定的粒子态不是本征态，由于给定的粒子态不是本征态，因此把波函数向共同的本征函数展开：因此把波函数向共同的本征函数展开：( , ,)r 42221021 12242310324232123(2); 55582(3); 5183275572meEnccmeEncmeEEE 能量的可能取值及几率：