几何画板入门教程

1、几何画板入门教程二八年四月写在前面的话我们经过几年的信息技术的培训，对常用的办公软件、网页制作软件都有了比较详细的了解，为我们有效的开展计算机辅助教学奠定了良好的基础。今后，我们应该将就信息技术和学科的整合进行一些探索。几何画板作为一款优秀的数理工具软件，是教育部基础教育司面向全国中小学数学、物理教师推广的软件之一，在计算机辅助教学方面有着广泛的应用，它功能强大，简单实用，操作简单、不需要编程，学习容易，制作课件所花的时间少，制作出来的课件体积小，便于携带，交互性强。教师可以像平时使用尺规作图一样使用它，它所表现出来的强大功能却不是寻常的尺规作图法所能比拟的。用几何画板制作课件，体现的不是教师

2、的计算机水平，而是教师的教学思想和教学水平。这样的教学工具，正是我们多年来苦苦追寻而求之不得的，在这方面，几何画板软件提示了答案和方向。几何画板不是一个一般的绘图软件，不仅制作出来的图形是动态的，而且注重数学表达的准确性。因此，我们应该从数学的角度来看这个软件，在理解中学习它。本教程属于画板的入门教程。教师只要依照教程提供的操作步骤一步一步照着做，并且能够举一反三就可以掌握它的基本功能，制作一些简单的课件。但是必须认识到几何画板是一个上手容易精通却很难的软件，因此，教师之间的交流非常重要，同时希望今后对教师进一步培训。第一章 几何画板简介 几何画板软件是由美国Key Curriculum Pr

3、ess公司制作并出版的几何软件。它的全名是几何画板-21世纪的动态几何。本章简单介绍几何画板的基础知识。1.1几何画板的功能简介几何画板是一个适用于几何教学的软件，它给人们提供了一个观察几何图形的内在关系，探索几何图形奥妙的环境。它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等，构造出其它较为复杂的图形。1.动态的图形功能用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几何关系（即图形的基本性质）都保持不变。2.丰富的函数图像功能几何画板提供了直角坐标系和极坐标系功能，只要给出函数的表达式，几何画板就能画出函数的图像。3有趣的变换功能。几何画板提

4、供了丰富的变换功能，包括平移、旋转、缩放、反射等图形变换功能。几何画板还能对动态的图形进行跟踪 ,并能显示跟踪的“轨迹”。4.简便的动画功能几何画板可以针对教学得要求制作动画和运动。5方便的计算功能几何画板提供了测量和计算功能，能够对所做出的对象进行度量。如度量长度、弧长、角度、面积等。还能够对度量出的值进行计算，包括四则运算、函数运算，并把结果动态的显示在屏幕上。当被测量的对象变动时，显示它们大小的这些数量也随着改变，可以代动态的各个对象之间的变化及其关系。正是由于上述强大功能，使得几何成为动态几何。1.2在理解中学习几何画板在“理解”中进行学习就学得快，学习几何画板也不例外。几何画板不是一

5、般的绘图软件，不仅制作出来的图形是动态的，而且注重数学表达的准确性。因此，应该从数学的角度看这个软件，在理解中学习它。假定在屏幕上作出了一个点A和一条线段BC，并且都处于选中状态。（如图1-4-1） 图1-2-1不要打开任何菜单，想一想，我们能够进行什么样的操作？首先从数学的角度来看，我们能够做出什么样的图形：1 过点A作线段BC的垂线；2 过点A作线段BC的平行线；3 以点A 为圆心，以线段BC为半径画圆。打开“作图”菜单（如图1-4-2），软件也只让做这些事情。 图1-2-2 再看看软件还能够做些什么。打开“度量”菜单（如图1-4-3）。可以度量出点A到直线BC的距离。 图1-2-3打开“

6、变换”菜单（如图1-4-4）。软件允许把点A与线段BC进行平移，还可以把点A标记为（旋转或缩放的）“中心”，对其它对象进行“旋转”或“缩放”变换。也可以把线段BC标记为“镜面”，对其它对象进行“反射”变换。 图1-2-4打开“显示”菜单（图1-4-5）。可以给点A和线段BC选择线形、添加颜色；可以给点A和线段BC的标签选择字形、字号与字体；可以把点A和线段BC都隐藏掉；还可以设置点A在线段BC上的“动画”等等。 图1-2-5打开“编辑”菜单（如图1-4-6）。软件允许对刚才的操作后悔“撤销”允许复制点A和线段BC为其它场合所用；也可以复制到另一个几何画板文件中，减少重复的操作。 图1-2-6打

7、开“图表）菜单（如图1-4-7 。软件允许以点A为原点（或极点）以BC为单位长建立直角坐标系（或者极坐标系）图1-2-7如果选择了“作图“菜单中的”以圆心和半径画圆）（如图1-4-8），那么就出现了一个圆A如果拖动线段的BC的一个端点移动，就会看到圆的大小在改变。这正说明圆的大小是由线段BC的长度控制的。当然，如果拖动点A移动，圆A的位置改变而大小不变。附录：1. 几何画板的产生背景1982年，国际教育成绩评估组织在美国所做的一次调查中发现 ，高中学生最不喜欢的数学题是证明题，而且有超过50%的学生认为证明题并不象老师所说的那样重要。此项调查在美国引起了强烈反响，专家、教师纷纷撰文呼吁对数学教

8、学进行改革。1985年，美国教育发展中心率先开发了具有划时代意义的教学软件模块几何探索，让教师和学生开始使用计算机作为教学工具。他们应用苹果型计算机鼓励学生发挥创造力，利用软件做出简单的几何图形并推测图形的性质。这样，学习几何成为对几何图形内在联系的一系列探索，而不是一遍遍地重复那些被学生认为是想当然的定理的证明。1989年，美国基本课程出版社推出了米歇尔i 塞拉的发现几何教学软件，更是对数学课程的改革推波助澜。该软件主张学生应该创造自己的几何作图方法，并用公式表现出来，以描述他们所发现的图形之间的关系。根据其要求，学生分组合作进行研究，尝试用尺规作图来发现几何性质，并用归纳法合理地作出猜想。

9、荷兰的数学教育家皮埃尔i 黑利和迪娜i 黑利在大量的课堂观察中发现，学生能够对几何问题进行直观分析、非正式推理、正式的推理等一系列思考。但过去的几何教材往往要求学生一开始就使用正式的演绎方法。这样做既不能使问题直观化，也不能鼓励学生积极地做出猜想。几何探索以及发现几何的一个重要思想，就是通过前面三个步骤来突出体现一个数学家发现几何规律的过程，即先使问题直观化，经分析后做出猜想，再试图证明它。1988年开始研制、1991年正式问世的几何画板，作为新一代的教学软件，更是引发了数学教学的一场革命。它除了具有几何探索和几何发现的优点之外，还能使学生动态地探索图形内在的联系，在自己的操作过程中了解几何图

10、形的变化。不仅如此，学生利用几何画板还能分析自己的测量数据，并与同学进行交流和研讨。几何画板的这些突破，连同其构造、变换、分析功能的完备，把运用几何软件处理问题的范围扩展到前所未有的程度，把探索几何的规律和奥秘变成一种艺术的享受。2.几何画板的诞生几何画板是“直观几何计划”的一部分。该计划是美国宾夕法尼亚斯沃斯莫大学的尤金i 克洛兹博士和莫拉维恩大学的朵丽丝i 斯凯尼德博士共同主持下的美国国家自然科学基金项目。1988年，尼古拉i 杰克拉斯开始进行程序设计。值得一提的是，几何画板不是尼古拉闭门造车的结果，而是在一个开放式的学术环境中完成的，许多专家、教师纷纷提出意见和建议，并提供各种数据。初版

11、试验的学校原定30所，但随着消息的传播，有超过50所学校请求参加试验，大家表现出空前的兴趣和热情。这种开放性的制作方式在数学教学界引起广泛关注，同时也大大激发起人们对软件制作的兴趣。1991年，几何画板1.0版由基本课程出版社正式出版发行。为让学校更有效地使用几何画板，基本课程出版社继续进行研究，并于1992年春季发行了2.0 版。这一版本不但改进了它的变换和表达能力，其中的递归脚本还增加了构造分形的功能。1993年3月发行了3 .0版。该版本更趋于完善，增加了度量变换、记录脚本、作轨迹。分析以及画函数图形等多种功能。正是在这种不断的测试和改进中，几何画板成为更为实用、更受欢迎的教学软件。3.

12、几何画板在中国的应用情况1995年由人民教育出版社引进汉化（3.0版）1996年 全国中小学计算机教育研究中心开始推广几何画板软件，并在全国迅速形成一支精干的实验队伍。1997年 由全国中小学计算机教育研究中心组织，海淀区五所学校参加的“CAI在数学课堂中的应用”成立，探索计算机应用于数学课堂教学的有效方法。1998年5月 根据原几何画板实验的经验与理论提升，全国中小学计算机教育研究中心有关研究人员提出了“课程整合”概念，这一概念本身也借鉴了西方发达国家的提法。1998年6月 全国中小学计算机教育研究中心开始设立“计算机与各学科课程整合”课题组，并将其列入“九五”重点课题的子课题进行立项。19

13、98年12月 “计算机与各学科课程整合”项目实验学校已发展至30余所。1998年12月 全国中小学计算机教育研究中心向教育部基础教育司提出报告，汇报“计算机与各学科课程整合”项目的理念、进展情况，获得有关领导的认可。第二章 几何画板入门.认识几何画板几何画板的启动界面如图1所示。可以看到几何画板窗口由标题栏、菜单栏、工具箱、工作区及状态栏组成。 标题栏图2-1将鼠标移动到窗口右上角的“X ”处并单击，就可以关闭几何画板.工具箱的使用工具箱中的工具是制作课件时使用最多的工具，下面就为您逐一介绍工具框中的各种工具的使用方法。第二个工具是画点工具。将鼠标移动到并单击鼠标左键就选择好了画点工具，然后再

14、将鼠标移动到“工作区”并单击就可以画一个点。第三个工具是画圆工具。将鼠标移动到并单击鼠标左键就选择好了画圆工具，然后再将鼠标移动到“工作区”，按住鼠标左键不放并拖动鼠标到另一位置后松开鼠标左键，就可以画一个圆。第三个工具是画线段工具。将鼠标移动到并单击鼠标左键就选择好了画线段工具，然后再将鼠标移动到“工作区”，按住鼠标左键不放并拖动鼠标到另一位置后松开鼠标左键，就可以画一条线段。有了这三个工具我们已经可以作简单的图形了，下面让我们一边作图一边学习其他工具的使用吧！请按照以下步骤学习几何画板的“基本作图”。1 重新启动几何画板。2 选择工具，并画一个圆。（如图2-2） 图2-23 选择工具，并将

15、鼠标的十字交叉处移动到圆上。当圆变粗且加亮显示时，单击鼠标左键画一个点。如图（2-3） 图2-3 4 选择工具，鼠标变成了一支“手”的形状。我们可以用这个“标出文本或标签”工具给点取个“名字”。将鼠标移动到刚才画好的点上，您会发现鼠标变“黑”了。单击鼠标左键，在点的旁边出现了一个字母“A”，于是我们给点标上了一个标签。（如图2-4） 图2-4 5 用第3步的方法显示圆心的标签“B”。我们习惯上把圆心标记为“O”，所以我们要修改它。把鼠标移到标签“B”处，当鼠标手心出现字母A时双击鼠标左键，弹出一个对话框（如图 2-5）。在其中输入“O”就可以了。如果单击“使用下标”，您还可以给标签加下标。当然

16、您还可以改变标签的样式。只要单击“样式”按钮再进行修改就可以了。（如图2-5） 图2-5 6选择工具，并将鼠标移动到点A上，当A点变粗时，按下鼠标左键并将鼠标拖动到圆上，当圆变粗后放开，我们画出了圆上的一条弦。（如图2-6） 图2-67按住不放，就会弹出三个按钮，这三个工具分别是用来画线段、射线、直线的。移动鼠标到相应按钮后放开就可以选择其中的一个工具。它们的使用方法与“画线段”工具的使用方法是类似的。8选择工具（这个工具叫做“选择箭头”工具），并将鼠标移动到点A上，鼠标箭头由斜向变成了横向，这表明鼠标已经移到了点A的位置。单击鼠标左键，会发现点变“粗”了，这表示点A已经被选中了，在工作区的空

17、白处单击左键，则点A变回到原来的状态，表示取消了点A的被选中状态。9按住鼠标左键并拖动鼠标，您会发现点A在圆O上移动。为什么会这样呢？这是因为在第2个步骤中我们事实上是画了圆O上的一个点点A，然后用“选择”工具选择了点A，并拖动，于是点A在圆上运动起来。注意：点A只能在圆上移动，而不能移动到圆内或圆外。现在您对几何画板的“在运动中保持几何关系的不变性”是否有更深的体会呢？10用具选择圆O，再愉“Dele4e”于是圆删除了。这时您会发现点A也消失了。因为点A的父母是圆O，所以如果圆O不存在删除了，那么圆O的子点A当然也就有了。现在您可以理解在几何焛板中的“父母子女”关系是么意思了吗11按“Ctr

18、l+Z”取消删除圆。12用工具选择点A，再选拡点O，按住鼠标左键不放并拖动鼠，您会发现与第10步不同的是整个图形都随鼠标移动了。事实上我们同时选定了两个对象（即点A和点O）。因而移动时会同时磻动这两个点，而几何画板要在运动中保持一定的冠何关系不变，于是整个图形都赟着移动。13将鼠标移动到“工作区”左上角，愖后住鼠标左键不放并拖动鼠栃，出现了一个矩形框，当所有几何图形（或某些几何图形）包含在这个矩形框内时放开鼠标左键，于是多个净何图形被选定了。这是选择多个几何图形的第二种方法。14按住不放，就会弹出三个按钮，这三个工具都有选择几何图形的功能，至于区别嘛继续往下看吧！15移动鼠标到后放开，就可以使

19、用这个“旋转”工具了，选择“工作区”中的所有的图形，然后用鼠标拖动它们。怎么样？整个图形是否绕着某个点在旋转呢？16按住不放，弹出三个按钮，移动鼠标到后放开，就可以使用这个“缩放”工具了，选中“工作区”中的所有的图形，然后用鼠标拖动它们。怎么样？整个图形是否在缩小或放大呢？明白三个按钮的区别了吗？17选择工具（这个工具叫做“自定义”工具），在弹出的菜单中随便选择一个，移动鼠标到“工作区”，按下鼠标左键一拖一放，看看会发生什么？至于这个工具如何使用，有些什么功能，我们以后再详细解析。好了，工具箱的使用就介绍到这里了。练习画出图 2-7中的图形：正方形ABCD内接于圆O1，并调整图形到适当大小和位

20、置。 图2-7.4编辑文本或标签本节学习目标： 会创建、编辑文本和标签 使用文本工具栏中的工具可以在几何画板中创建和编辑文本和标签。选择工具，然后再工作区中按下鼠标左键不放，拖动鼠标，即可得到一矩形区域，然后在其中输入文本，输入完毕以后，在矩形区域之外单击鼠标，即可得到一个“说明” 文本工具栏由“字体工具面板”和“数学符号工具面板”组成，当您选择了一个油标签的图形对象或一个“说明”后，上述工具面板中的工具变成可使用状态（如图2-8）文本工具面板数学工具面板 图2-8练习：创建如下的“说明”。.5保存文件现在就详细地告诉您保存文件的方法：1将鼠标移动到“功能菜单”的“文件”菜单上，单击鼠标左键，

21、就会弹出一个下拉菜单（如图 2-8）。 图2-8 2将鼠标移动到其中的“另存为”菜单上，单击鼠标左键，弹出一个对话框（如图 2-9） 图 2-93在文件名的文本框中输入“练习”。当然您也可以输入其他名字，如：“正方形”等等。您还可以通过“目录”列表改变文件存放的目录。注意：文件名的长度最多只能有8个字符，一个汉字算两个字符。4按“保存”按钮，文件保存好了。.6打开文件现在就为您介绍打开文件（“拿出来”）的方法。1将鼠标移动到“功能菜单”的“文件”菜单上，单击鼠标左键，就会弹出一个下拉菜单（如图 2-10）。 图2-10 2将鼠标移动到其中的“打开”菜单上，单击鼠标左键，弹出一个对话框（如图 2

22、-11） 图2-113选择列表中要打开的一个文件，然后按“打开”按钮就可以打开这个文件了。第三章 用构造菜单作图通过第一章的学习，您是否明白用【工具框】中的工具作图，几乎可以作出所有欧几里德图形，实质上和传统的尺规作图没什么两样（只不过电脑作出的图形是动态的，拖动点和线，能保持几何关系不变，黑板上的图形是静态的，不能拖动），但仅靠【工具框】中的工具作图实在太慢了，例如，我们想要作一条线段的中点，仅用工具作图，您想一想，通常要几步？例：如图3-1所示，用作图工具作一条线段AB的中点C，通常需要以下几步。图3-1用作图工具作线段的中点，几乎和传统的尺规作图一样，至少要经过3步：第一步 作两圆及交点

23、：分别以点A点B为圆心，AB为半径画圆；用【选择箭头工具】，单击两圆相交处,作出两圆的交点D、E。第二步 作线段DE：过两圆的交点作一条线段DE。第三步 作中点C：用【选择箭头工具】，单击线段AB和DE相交处，得线段中点C有没有更简单的方法呢？有，只要您选中了线段，按快捷键Ctrl+M，电脑就构造好了中点。具体步骤如下：作法：1、选择【直尺工具】，在工作区中画出线段AB，如图3-2所示。图3-22、选择【选择箭头工具】，单击线段AB，线段AB被选中，如图3-3所示图3-33、选择【构造】|【中点】命令，（或直接按快捷键Ctrl+M），得到线段AB的中点。如图3-4所示。图3-4 由上面的作法，

24、您是否想到，用【工具箱】中工具画出基本元素（即“点” 和“线”），选取它们，用菜单命令或快捷键，就能让电脑自动快速作出一些我们想要的基本图形，减少很多仅凭工具作图的重复劳动。您不妨先思考一下，中学数学教材里有关尺规作图的基本问题都有哪些？是不是有“作一条线段的中点”；“作一个角的平分线”；“过一点作已知直线的垂线（或平行线）”，几何画板也考虑到了这些，其实还不仅仅这些。用鼠标单击一下【构造】菜单，让我们具体看一下【构造】 菜单里都有哪些基本构造。如图3-5所示：四条菜单分隔线，把构造菜单分为五组：点型、直线型（线段、直线、射线）、圆型（圆、圆弧）、内部、轨迹。图3-5它们是不是包括了我们常见的

25、基本作图？但它们全都是灰色的，也就是说，此时还不能对电脑下达命令（即菜单命令此时无效），因为您没有选取适当的点和线，具体操作看下面的叙述。3.1 点的作法如图3-6所示：几何画板的点作法分为三类：对象上的点、中点、交点。图3-61、对象上的点的作法：选定任何一个“对象”或多个“对象”，选择【构造】|【对象上的点】命令，电脑根据您选取的对象，构造出相应的点，点可以在对象上自由拖动。这里的对象是可以是【线（线段、射线、直线、圆、弧）】、【内部】、【函数图像】等，但不能是“点”，点上当然不能再构造点。这是一个动态的菜单，选取的对象是“线段”，这时菜单显示的是【线段上的点】，选取的对象是“轨迹”，这时

26、菜单显示的是【轨迹上的点】。小技巧：一般情况下，除【内部外】，用【点工具】直接在对象上画出点（在画点状态下，用鼠标对准对象单击），这样更快。2、中点：选取一条线段，选择【构造】|【线段的中点】命令，电脑就构造出所选线段的中点例1作三角形的中线1) 画GHF：选择【直尺工具】，在工作区中画一个三角形，选择【文本工具】，单击三角形的顶点给顶点标上字母，如图3-7所示。图3-72) 选定边GH：选择【选择箭头工具】，单击线段GH，线段GH被选中，如图3-8所示。图3-8 3）作线段GH的中点：选择【构造】|【中点】命令（或按快捷键CtrlM），做出线段GH的中点I，如图3-9所示。图3-94） 连接

27、FI：用画线工具对准F点，拖动鼠标到I点后松开鼠标，得到中线FI，如图3-10所示。图3-10小技巧：为了方便快捷，允许您选取一条以上的线段，可同时画它们的中点，您不妨作下面的练习。练习：画三角形的中位线和中点三角形（连续单击线段后，按快捷键CtrlM），如图3-11所示。 图3-113、交点：选取两条（当且仅当选取两条）呈相交状态的线（线段、射线、直线、圆、弧）后，选择【构造】|【交点】命令，得两线的交点。小技巧：一般情况，在选择状态下，用【选择箭头工具】单击两线相交处，即得交点。您不妨练习一下：画三角形的重心（1、画出一个三角形；2、画出三角形的中线；3、用鼠标直接点击中线相交处，得重心，

28、即如图3-12所示，这样作是不是更快捷？） 图3-123.2 直线型的构造如图3-13所示：直线型的构造包括：线段、射线、直线、平行线、垂线、角平分线。图3-13线段、直线、射线的构造：想一想 线段、射线、直线的确定需要几点？您不会忘记“两点确定一条线段（射线、直线）”吧！作法：选取两点，选择【构造】|【线段】（或“射线”“直线”）命令，电脑就构造一条线段（或一条射线或直线）。注意 1）如选取的点是画射线，第一个点为射线的端点2）使用快捷键CtrlL能快速画线段，但也只能画线段。射线、直线没有快捷键。3）如果是过两点画直线（或射线或线段）的话，在选取相应工具的状态下，用鼠标对准一个点，按下鼠标

29、移动到另一点，松开就得直线（或射线或线段）。4）选取两点以上也能画线段（射线、直线）例、快速画中点四边形作法：1) 画出四点并选定：按住Shift键，用点工具画出四点（或，用点工具画出四点后，在选择状态下，用鼠标拉出一个矩形框，框住这四点），如图3-14所示。图3-142）顺次连接四点：按CtrlL，效果如图3-15所示。图3-153）中点四边形：按“CtrlM” 后，作出四边中点，如图3-16所示。图3-164）再按快捷键CtrlL连接中点，得中点四边形，如图3-17所示。图3-171、 平行线或垂线的作法：即过一点作已知直线（或线段或射线）的垂线或平行线，您想一想，作垂线或平行线，需要选定

30、什么？选定点和直线：1)选定一点和一直线；或选定几点和一直线；或选定一点和几条直线，菜单变成如下状态：单击菜单命令“平行线”“垂线”就能画出过已知点且平行或垂直已知直线的平行线或垂线。例1、 画平行四边形 作法：1、 用画线工具画出平行四边形的邻边，并用标签工具标上字母，如图3-18所示。图3-182、 仅选取点A和线段BC，选择【构造】|【平行线（E）】命令，画出过A点且与线段BC平行的直线；同样画出另一条过点C且与线段AB平行的直线；在两条直线的相交处单击一下（注意：在选择状态下）得交点，如图3-19所示。图3-193、 隐藏直线：选取两条直线，选择【显示】|【隐藏 平行线】命令，如图3-

31、20所示。 （提示：可以使用快捷键：CtrlH）图3-204、 连接AD和CD（可以用画线工具或菜单命令），如图3-21示。图3-21例2、 三角形的高作法：1、 画出ABC，如图3-22所示。图3-222、 作垂线：仅选定点A和线段BC，选择【构造】|【垂线（D）】命令，就画出了过A点且垂直BC的直线；单击垂线和线段BC的交点处，得垂足点D，如图3-23所示。图3-233、 隐藏垂线：选定垂线后，按快捷键Ctrl+H，如图3-24所示。图3-244、 连接AD，如图3-25所示。图3-25例3、 直角三角形的画法作法： 1、 画线段AB并在选择状态下，拖出一个框，选中点A和线段AB，如图3-

32、26所示。图3-262、 选择【构造】|【垂线（D）】命令，得到过点A垂直于线段AB的直线，如图3-27所示。图3-273、 作斜边：在画线段的状态下，对准B点单击，松开左键，移动光标到垂线单击，如图3-28所示。图3-284、 隐藏垂线：选中垂线，按快捷键Ctrl+H，隐藏垂线，如图3-29所示。图3-295、连接AC，得到直角三角形，如图3-30所示。图3-30例4、三角形的角平分线 作法：1、 画出三角形ABC：用画线工具画出ABC，并用标签工具标上字母，如图3-31所示。图3-312、 画出BAC的平分线与线段BC的交点D：选定点A、点B、点C(注意，角的顶点一定要第二个选取)，选择【

33、构造】|【角平分线】命令，在“选择状态”下用鼠标对准角平分线与线段BC的相交处单击，如图3-32所示。图3-323、 隐藏角平分线：在选择状态下，先用鼠标在空白处单击一下后，单击角平分线，再按快捷键CtrlH（等效菜单命令：【显示】|【隐藏】），如图3-33所示。图3-334、 连接A点和D点：选定A点和D点后，按快捷键Ctrl+L（等效菜单命令：【构造】|【线段】），得到三角形的角平分线，如图3-34所示。图3-34练习：作出三角形的内心3.3 圆型线的构造（圆、圆弧）一、圆的绘制1、 选定两点（有顺序）：选定两点后，选择【构造】|【以圆心和圆周上的点绘圆】命令，如图3-35所示，就可以构造

34、一个圆，圆心为第一个选定的点，半径为选定两点的距离。和【圆规工具】等效。图3-352、 选定一点和一条线段（没有顺序）：选定点和线段后，【构造】|【以圆心和半径绘圆】命令，如图3-36所示，就可以构造一个圆，圆心为选定点，半径为选定的线段的长度。图3-363、 等圆的画法：选定多点和一条线段（没有顺序）：选定多点和线段后，选择【构造】|【以圆心和半径绘圆】命令，就可以构造多个等圆，圆心分别为选定点，半径为选定的线段的长度。例、 正三角形的快速画法（试一试，能否仅看图就能知道作图思路？） 画一条线段1) 用【直尺工具】画出一条线段，按Esc键，取消画线状态。用鼠标拖出一个框，使线段和端点全在框里

35、，如图3-37所示。图3-372) 选择【构造】|【以圆心和半径绘圆】命令，画出两个等圆，如图3-38所示。图3-383) 画三角形的另两条边 选择【直尺工具】，光标对准线段左端点单击，松开左键，移动光标到两圆相交处单击（注意状态栏），松开左键，移动光标到线段右端点单击，如图3-39所示。图3-394) 隐藏两圆 按Esc键，取消画线状态，选中两圆，按快捷键Ctrl+H.，隐藏两圆，得到等边三角形,如图3-40所示。图3-404、 同心圆的画法：选定一点和多条线段（没有顺序）：选定一点和多条线段后，选择【构造】|【以圆心和半径绘圆】命令，就可以构造多个同心圆，圆心为选定点，半径分别为选定的线段

36、的长度。如图3-41所示。结果如下：图3-41注意：上述选定作为半径的线段可以用【带有长度单位的数值】代替，即半径可以是线段，也可以是带有长度单位的数值，如图3-42所示。结果如下：图3-42二、弧的绘制：1、 选定一个圆和圆上的两点（点有顺序）：选定一个圆和圆上的两点后，选择【构造】|【圆上的弧】命令，就可以绘出按逆时针方向从选定的第一点和第二点之间的弧，如图3-43所示。结果如下：图3-432、 选定特殊的三点（第一点为，另两点为端点的线段的中垂线上的点）：选定三点后，选择【构造】|【圆上的弧】命令，就可以绘出按逆时针方向从选定的第二点和第三点之间的弧，第一个点为弧所在圆的圆心，如图3-4

37、4所示。结果如下：图3-443、 选定不在同一直线上的三点：选定三点后，选择【构造】|【过三点的弧】命令，就可以绘出按逆时针方向从选定的第一点过第二点到第三点之间的弧，如图3-45所示。结果如下：图3-453.4 图形内部的构造1、 多边形内部的构造：选定三点或三点以上后，就可构造多边形内部了，如三角形内部的构造：选定三点后，选择【构造】|【三角形的内部】命令，就可以绘出由这三点决定的三角形的内部，如图3-46所示。 图3-462、 选定一个圆（或几个圆）：选定一个圆（或几个圆）后，选择【构造】|【圆内部】命令，就可以绘出这个圆的内部，如图3-47所示。 图3-473、 扇形（弓形）内部的构造

38、：选定一段弧（或几段弧）：选定一段弧（或几段弧）后，选择【构造】|【弧内部】|【扇形内部】命令，或选择【构造】|【弧内部】|【弓形内部】命令，就可以绘出这段弧所对扇形或弓形的内部如图3-48所示。 图3-48说明：这是一个动态的菜单，如选定的是四点，则此菜单显示的是“四边形的内部”；如选定的是五点，则此菜单显示的是“五边形的内部”；如果选定的是圆，则此菜单显示的是“圆内部”；如果选定的是弧，则此菜单显示的是“弧内部”。注意：“内部”的快捷键是Ctrl+P，但“弓形内部”没有快捷键。3.5 点的轨迹的构造让我们先看一道常见的数学题：如图3-49所示，P为圆上任意一点，则线段OP中点M的轨迹是什么

39、？图3-49选定P点，选择【显示】|【生成点的动画（A）】命令，如图3-50所示。图3-50结果如下：可以观察到点P在圆上运动，M也跟着运动，如图3-51所示。图3-51要知道M的轨迹，先单击【运动控制台】的停止按钮，停止动画，然后选定M点后，按快捷键Ctrl+T，跟踪点P。仅选定P点后，再按【运动控制台】的播放按钮，就可观察到点M的轨迹是什么，如图3-52所示。图3-52但这样的轨迹按Esc键就能清除掉，还不能保存。如何才能真真构造出点M的轨迹呢？作法：选定点P和点M（没有先后），选择【构造】|【轨迹（U）】命令，如图3-53所示。（注意：在作轨迹以前最好按Esc键清除掉M的暂时轨迹）结果如

40、下：图3-53您再按Esc键试试，看能否清除点M的轨迹？M还可以是OP上任意一点，您试试？看它的轨迹是什么？构造轨迹的前提条件是：选定两点，一点是在一条路径上的自由点和能够跟随此点运动的点即被动点。路径可以是任何线（线段、直线、射线）轨迹、函数图像。例1、 椭圆的画法（一）先观察，如图3-54所示，您能分析出作图步骤吗？能知道E点的轨迹是椭圆的原因吗？图3-54作法：1、 画一个圆和一条线段 线段的画法是：在画线段的状态下，把光标移到圆内，单击一下，松开左键，把光标移到圆周上，单击一下，则得线段CD，如图3-55所示。图3-552、 作线段CD的垂直平分线和直线AD 直线AD的作法是：在直线状

41、态下，对准A点单击，松开左键，移动到点D单击，如图3-56所示。图3-563、 交点 在选择状态下，单击两直线的交点处，得交点E，如图3-57所示。图3-574、 构造轨迹 选定E点和D点，选择【构造】|【轨迹（U）】命令，得到轨迹，如图3-58所示。图3-585、 隐藏不必要对象 选定圆、两直线、点E、D、B后按快捷键CtrlH隐藏所选对象，保留椭圆的轨迹，如图3-59所示。图3-59试一试：把C点拖到圆外，看轨迹有什么变化？第四章 用变换菜单作图数学中所谓“变换”，是指从一个图形（或表达式）到另一个图形（或表达式）的演变，在几何画板中，研究的是图形的演变。我们能对图形进行平移、旋转、缩放、

42、反射、迭代等变换。几何画板中实现图形的变换，有两种方法，一种是前面学习过的变换工具，另一种方法就是我们现在要学习的下图中的变换菜单。说明：【变换】菜单中的命令项是否可用，取决于工作区中选中的对象是否符合使用该菜单项的前提条件。另外，对于【旋转】、【缩放】，要基于一个标记中心，对于【反射】，要先【标记镜面】。如果要按可变的量进行变换，还要标记相关的量。4.1 旋转对象例1 画一个正方形运行结果：画一个正方形，拖动任一顶点改变边长或改变位置，都能动态地保持图形是一个正方形。基本思路：本例将学习按固定的角度来旋转对象，1、画一条线段，用来做正方形的一边；2、双击左端点，标记为中心，选中线段和右端点，

43、绕标记的中心旋转900（逆时针方向），得第二条边；3、双击第一条线段的右端点，标记为中心，选择第一条线段和它的左端点，绕标记的中心旋转900（顺时针方向），得第三条边；4、连结出第四条边。操作步骤：1、画线段AB。2、双击点A，点A被标记为中心。3、依次单击点B和线段AB，选择【变换】|【旋转】命令，在弹出的【旋转对话框】中作如图4-1所示的设置。图4-14、双击点B，标记新的中心。5、依次单击点A和线段AB，选择【变换】|【旋转】命令，在弹出的【旋转对话框】中作如图4-2的设置。图4-26、连结上方两个顶点得第四边。拓展应用：1、本例的方法可以用来作任意的正多边形，只要计算出正多边形的内角，

44、旋转时按内角度数进行即可，但这并不是最方便的方法，具体请参阅深度迭代画正多边形。2、并不是每次用正方形都要从头来画，事实上可以把这个画图的过程创建成一个自定义工具，请参考相关的章节。3、画正方形的方法比较多，本例介绍的是较为简便的一种，其余方法请自行尝试。例2 中心对称运行结果：如图4-3所示图4-3拖动点F，使DEF从0到180变化，如图4-4所示。图4-4最后结果，如图4-5所示。图3-5基本思路：本例将在前面学习的基础上，学习【按标记的角】旋转对象，同时能通过改变角的大小来动态演示对象的旋转过程。1、为了方便观察，连结对称中心和各关键点间的虚线段，让研究对象和虚线段绕对称中心旋转1800

45、，形成中心对称，；2、画一个角并标记这个角；3、再次选择原来的对象及虚线段，按标记的角旋转；4、拖动标记的角为0，观察到的图形为中心对称，拖动标记的角从0到180，可以看到旋转180后重合的过程。操作步骤：1、准备工作，完成到如图46所示。图4-62、用选择工具双击点O，标记为中心。3、同时选择点A、B、C，线段AB、AC、BC、OA、OB、OC，绕点O旋转180，如图4-7所示。图4-74、用选择工具确保按顺序点D、E、F选中这三点，并注意不要多选其它对象，选择【变换】|【标记角】命令，可以看到所标记的角闪烁。5、同时选择点A、B、C，线段AB、AC、BC、OA、OB、OC，选择【变换】|【

46、旋转】命令，在弹出的对话框中作如图4-8所示的设置。图4-86、为便于观察，改按角度旋转所得的所有对象为红色，如图4-9所示。图4-97、拖动点F，使线段EF与ED重合，可以看到红色三角形与ABC重合。练习：1、用旋转交换的方法画一个正三角形，并与前面用工具画正三角形的方法比较，你觉得哪种方法简便些？4.2 平移对象 平移是指：对于两个几何图形，如果在它们的所有点与点之间可以建立起一一对应关系，并且以一个图形上任一点为起点，另一个图形上的对应点为终点作向量，所得的一切向量都彼此相等，那么 其中一个图形到另一个图形的变换叫做平移。平移是一个保距变换，又是一个保角变换。几何画板中，平移可以按三大类

47、九种方法来进行，其中的有些方法事先要标记角、标记距离或标记向量。在极坐标系中最多可以组合出四种方法，如图4-10所示。 图4-10在直角坐标系中可以组合出四种方法，如图3-11所示。图4-11按标记的向量平移有一种方法，如图4-12所示。图4-12例3 画一个半径为cm的圆运行结果：得到一个半径为cm的圆，无论如何移动位置，半径保持不变。基本思路：根据勾股定理，让一个点在直角坐标系中按水平方向、垂直方向都平移1cm，得到的点与原来的点总是相距cm，然后以圆心和圆周上的点画圆即可。操作步骤：1、画一个点A。2、单击点A，选择【变换】|【平移】命令， 在弹出的对话框中作如图4-13的设置，平移后效

48、果如图4-14所示。 图4-13 图4-143、顺次单击点A和点A，选择【构造】|【以圆心和圆周上的点绘圆】命令。4、最后效果如图3-15所示，无论如何移动，圆的半径固定为cm。图4-15例4 全等三角形运行结果：如图4-16所示。图4-16拖动点F在线段DE上移动，可演示两个三角形重合和分开，可用来说明全等形。基本思路：本例学习根据标记的向量平移对象，1、画好一个三角形。2、另画一条线段（为方便观察，画成水平线）。3、在线段上画一点。4、标记线段左端点到线段上一点的向量。5、将三角形按标记的向量平移。操作步骤：1、画ABC。2、画线段DE，在DE上画一点F；3、顺次单击点D和点F，选择【变换

49、】|【标记向量】命令，标记从点D到F的向量。4、选取ABC的三边和三个顶点，选择【变换】|【平移】命令，在弹出的对话框中作如图3-17的设置（如果标记好向量，会自动设置为按标记的向量平移）。图4-175、用文本工具标记新三角形的三个顶点，最后如图13所示。例 平行四边形的画法前面在学习构造菜单时，我们学习过根据平行四边形的定义，用构造平行线的方法来画一个平行四边形，这种画法对于一般情况下是没有问题的，但如果你想用来说明向量加法的平行四边形法则，你会发现当两个向量共线时，无法构造平行线的交点，因而就无法正确表示两个向量的和。本例介绍根据标记的向量平移的方法来画平行四边形，这样的平行四边形可以正确

50、演示向量加法的平行四边形法则。操作步骤：1、新建一个几何画板文件。2、用【直尺工具】画出线段AB和AD，如图3-18所示。图4-183、用【选择箭头工具】按顺序选取点A、B，选择【变换】|【标记向量】命令，标记一个从点A指向点B的向量。4、确保只选中线段AD和点D，选择【变换】|【平移】命令，设置线段AD和点D按向量AB平移，如图3-19所示。图4-195、作出第四条边，改第四顶点标签为C，如图3-20所示。图4-204.3 缩放对象缩放是指对象关于【标记的中心】按【标记的比】进行位似变换。其中标记比的方法有：（1）选中两条线段，选择【变换】|【标记线段比例】命令（此命令会根据选中的对象而改变

51、），标记以第一条线段长为分子，第二条线段长为分母的一个比，这种方法也可以事先不标记，在弹出【缩放对话框】后依次单击两条线段来标记。（2）选中度量得的比或选中一个参数（无单位），选择【变换】|【标记比例系数】命令，可以标记一个比。在弹出【缩放对话框】后单击工作区中的相应数值也可以“现场”标记一个比。（3）选中同一直线上的三点，选择【变换】|【标记比例】命令，可以标记以一、三点距离为分子，一、二点距离为分母的一个比。这种方法控制比最为方便，根据方向的变化，比值可以是正、零、负等。例5 相似三角形运行结果：通过拖动点F，让图形动态发生变化，以下三图是F点所在三个不同位置对相似三角形位置的影响： 基本

52、思路：1、由在同一直线上的三个点标记一个比。2、让三角形以其中一个顶点为中心，按标记的比缩放。3、拖动比值控制点让图形在“A”形和“X”型中转变。操作步骤：1、画ABC。2、画一条直线，隐藏直线上的两个控制点，如图4-21所示。图4-213、在直线上画三个点D、E、F，用【选择箭头工具】依次选取点D、E、F，选择【变换】|【标记比例】命令，标记一个比。4、选取三角形的三边和三个顶点，选择【变换】|【缩放】命令，弹出缩放对话框后如图4-22所示进行设置。单击点A，确保对话框中的旋转中心为A，图4-225、拖动点F在直线上移动，可以看到相似三角形的变化，还可以通过度量相关的值来帮助理解。4.4反射对象反射是指将选中的对象按标记的镜面（即对称轴，可以是直线、射线或