九上 3.4 圆周角(2)

1、特征：特征： 角的顶点在圆上角的顶点在圆上. 角的两边都与圆相交角的两边都与圆相交.顶点在圆上顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角并且两边都和圆相交的角叫圆周角.旧知回放旧知回放圆周角定义圆周角定义: :圆周角定理：圆周角定理：一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的的一半一半圆周角定理的推论：圆周角定理的推论：半圆（或直径）半圆（或直径）所对的圆周角是所对的圆周角是直角；直角；90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是直径。直径。用于判断某用于判断某条线是否过条线是否过圆心圆心用于判断某个用于判断某个圆周角是否是圆周角是否是直角直角旧知回放旧知回放2 2

2、、圆心角与所对的弧的关系、圆心角与所对的弧的关系3 3、圆周角与所对的弧的关系、圆周角与所对的弧的关系4 4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系、同弧所对的圆心角与圆周角的关系旧知回放旧知回放圆心角的度数等于它所对的弧的度数。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的两倍。同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的两倍。OABCOAB.OBCA1、100 的弧所对的圆心角等于的弧所对的圆心角等于_，所对的圆周角等于，所对的圆周角等于_。2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的、一弦分圆周角

3、成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则倍，则这弦所对的圆周角度数为这弦所对的圆周角度数为_。3、如图，在、如图，在O中，中，BAC=32 ，则，则BOC=_。4、如图，、如图，O中，中，ACB = 130 ，则，则AOB=_。5、下列命题中是真命题的是（、下列命题中是真命题的是（ ）（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。）顶点在圆周上的角叫做圆周角。（B）60 的圆周角所对的弧的度数是的圆周角所对的弧的度数是30 （C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。（D）120 的弧所对的圆周角是的弧所对的圆周角是60 AOCBBAOC10010050503636或或

4、1441446464100100D D合作讨论合作讨论问题问题1 1、如图、如图1,1,在在OO中中,B,D,E,B,D,E的大小有什么关的大小有什么关系系? ?为什么为什么? ?图图1问题问题2 2、如图、如图2 2，ABAB是是OO的直径，的直径，C C是是OO上任一点，你上任一点，你能确定能确定BACBAC的度数吗的度数吗? ?BAOC图图2问题问题3 3、如图、如图3 3，圆周角，圆周角BAC=90BAC=90 ，弦，弦BCBC经过圆心经过圆心O O吗？吗？为什么？为什么？B =D=EB =D=EBAC=90BAC=90OBACDEOBCA图图3共同归纳共同归纳圆周角定理的推论：圆周角

5、定理的推论：同圆或等圆中，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；用于找相等的角用于找相等的角用于找相等的弧用于找相等的弧同圆或等圆中，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。相等的圆周角所对的弧也相等。A AB BC CD DO O找出图中与找出图中与ACDACD，BDCBDC，CADCAD相等的角相等的角试一试试一试若已知若已知ADB=ABCADB=ABC，求证：，求证：AB=ACAB=ACA AB BC CD DE E证明证明：连结连结AD.AD.ABAB是圆的直径，点是圆的直径，点D D在圆上，在圆上，ADB=90ADB=90ADADBCBC，AB=AC

6、AB=AC，ADAD平分顶角平分顶角BACBAC，即，即BAD=CADBAD=CAD， 已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中，AB=AC,AB=AC,以以ABAB为直径的圆交为直径的圆交BCBC于于D,D,交交ACAC于于E,E,求证：求证：BD=DEBD=DE BD = DE BD = DE（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）做一做做一做如图，如图，P P是是ABCABC的外接圆上的一点，的外接圆上的一点，APC=CPB=60APC=CPB=60求证：求证：ABCABC是等边三角形是等边三角形A AP PB BC CO OABC=APC=

7、60ABC=APC=60( (同弧所对的圆周角相等）同弧所对的圆周角相等）BAC=CPB=60BAC=CPB=60。ABCABC等边三角形。等边三角形。证明：证明：ABCABC和和APCAPC 都是都是ACAC所对的圆周角。所对的圆周角。 同理，同理，BACBAC和和BPCBPC都是都是BCBC所对的圆周角，所对的圆周角，例例2 2、船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定、船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图是否会遇到暗礁。如图A,BA,B表示灯塔，暗礁分布在经过表示灯塔，暗礁分布在经过A,BA,B两点的一个圆形区域内，两点的一个圆形区域内，C C表示一个危险临界

8、点，表示一个危险临界点，ACBACB就是就是“危险角危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角危险角”时，就有可能触礁。时，就有可能触礁。ABECPO弓形所含的圆周角弓形所含的圆周角C=50C=50, ,问船在航行时怎样才能保证问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区不进入暗礁区? ?（1 1）当船与两个灯塔的夹角）当船与两个灯塔的夹角大于大于“危险角危险角”时，船位于哪个区域？为什么？时，船位于哪个区域？为什么？（2 2）当船与两个灯塔的夹角）当船与两个灯塔的夹角小于小于“危险角危险角”时，船位于哪个区域？为什么？时，船位于哪个区域？为什么？ABECPOFG例例3 3、

9、一个圆形人工湖、一个圆形人工湖, ,弦弦ABAB是湖上的一座桥是湖上的一座桥, ,已已知桥知桥ABAB长长100m.100m.测得圆周角测得圆周角C=45C=45，求这个人，求这个人工湖的直径工湖的直径. .ABCO OD D1 1、说出命题、说出命题“圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等”的逆命题的逆命题. .原命题和逆命题都是真命题吗原命题和逆命题都是真命题吗? ?请说请说明理由明理由. .2.2.已知已知: :四边形四边形ABCDABCD内接于圆内接于圆,BD,BD平分平分ABC,ABC,且且ABCD.ABCD.求证求证:BC=CD:BC=CDA AB BC CD D3

10、3、求证：圆内接梯形是等腰梯形、求证：圆内接梯形是等腰梯形4 4、已知：如图，、已知：如图，ABAB是是OO的直径，弦的直径，弦ACAC与半径与半径ODOD平行平行 求证：求证：CD=BDCD=BD O OD DC CB BA A5 5、已知：如图，在、已知：如图，在OO中，中，AB=CDAB=CD， 求证：求证：ABD=CDBABD=CDBO OE ED DB BC CA AABDGFCEO6 6、如图、如图:AB:AB是是OO的直径的直径, ,弦弦CDABCDAB于点于点E,GE,G是是ACAC上任意一点上任意一点, ,延长延长AG,AG,与与DCDC的延长线相交于点的延长线相交于点F,F,连接连接AD,GD,CG,AD,GD,CG,找出图中所有和找出图中所有和ADCADC相等的相等的角角, ,并说明理由并说明理由. .1 1、本节课我们学习了哪些知识？、本节课我们学习了哪些知识？2 2、圆周角定理及其推论的用途你都、圆周角定理及其推论的用途你都知道了吗？知道了吗？1 1、如图、如图,O,O中中,AB,AB是直径是直径, ,半径半径COAB,DCOAB,D是是COCO的的中点中点,DE / AB,DE / AB,求证求证:EC=2EA.