极坐标计算二重积分60828

1、极坐标系下极坐标系下二重积分二重积分的计算的计算 二、二重积分的极坐标转化及计算二、二重积分的极坐标转化及计算一、极坐标与直角坐标系的关系一、极坐标与直角坐标系的关系什么是极坐标什么是极坐标? ?在平面内取一个定点在平面内取一个定点O O，引一条射线引一条射线OX，这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系极坐标系。叫做叫做极点极点。叫做叫做极轴极轴, ,对于平面内任一点对于平面内任一点M, ,记记 | |OM|= |= r , ,XOr M（r， ）就叫做点就叫做点 M 的极坐标。的极坐标。XOM= = , ,平面上任一点平面上任一点一一对应一一对应（r， ）)4, 2(: 如如)20,0(

2、r一、极坐标与直角坐标系的关系一、极坐标与直角坐标系的关系sincosryrxxyryxtan222两坐标系中变量间关系：两坐标系中变量间关系： 设积分区域设积分区域 D为平面有界区域为平面有界区域, 并且从原点发出的并且从原点发出的射线与射线与D的边界线交点不多于两个的边界线交点不多于两个, 则区域则区域D被分割情形被分割情形见下图见下图. sin,cos,rrfyxf二重积分中被积函数二重积分中被积函数求极坐标下的积分元素求极坐标下的积分元素d的表示方法。的表示方法。二、二重积分的极坐标转化及计算二、二重积分的极坐标转化及计算1、二重积分的极坐标转化二重积分的极坐标转化图中分割的其中一小块

3、的面积为图中分割的其中一小块的面积为2211()22rrr 略去高阶无穷小略去高阶无穷小 ( , )( cos , sin ).DDf x y dxdyf rrrdrd则有则有xyokkkkrrk21().2r rr 21(),2r r r ,故故 d = rdrd .于是于是, 二重积分二重积分 . )sin ,cos()()(21 drrrrfd Drdrdrrf )sin ,cos(1、区域特征如图、区域特征如图, ).()(21 rADo )(2 r)(1 r Ddxdyyxf),(D： )(2 r)(1 rAoDD0 ( )( cos ,sin ).df rrr dr 2、区域特征如

4、图、区域特征如图, 0( ).r )( r AoD D： Ddxdyyxf),( Drdrdrrf )sin ,cos(. )sin ,cos()(020 drrrrfd极坐标系下区域的极坐标系下区域的面积面积. Drdrd 3、区域特征如图、区域特征如图).(0 r,20 DA( )ro Ddxdyyxf),( Drdrdrrf )sin ,cos(例例1 将将 D ),( dyxf化为在极坐标系下的二次积分。化为在极坐标系下的二次积分。1）xyo22422 yxxyo4xyx422 4）D2）xyo222 422 yxDxyo222 2 422 yx3）DD 1）xyo22422 yx解：

5、解：D在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为. 20 r,20 Ao22 r D ),( dyxf Ddrdrrrf )sin ,cos(. )sin ,cos(2020 drrrrfd 2） 在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为. 20 r,0 D ),( dyxf Ddrdrrrf )sin ,cos(. )sin ,cos(200 drrrrfd Ao22 rxyo222 422 yxD D ),( dyxf. )sin ,cos(2020 drrrrfd Ao22 r3）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为. 20

6、r,20 D Ddrdrrrf )sin ,cos(xyo222 2 422 yxDAo2 cos4 r4）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为.cos40 r,22 D ),( dyxf Ddrdrrrf )sin ,cos(. )sin ,cos(cos4022 drrrrfd2 2 xyo4xyx422 D 例例2 求求 D: x2 + y2 R2 (R0).22(),Dxydxdy2200Rdrrdr 解解 在极坐标下在极坐标下D: 0 r R, 0 2 .4.2R 利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分 22()Dxydxdy 例例3 求求 D: x2

7、+ y2 2ax (a 0). 22,Dxy dxdy 解解 积分区域积分区域D如图如图, 在极坐标下在极坐标下D: 0 r 2acos , .22 22Dxy dxdy2 cos2200adr dr 332.9aDxyO2a3202(2 cos )3ad 例例4 求求 (a0).22220aaaxxdxxdy 解解 积分区域积分区域D见图见图, 采用极坐标计算采用极坐标计算,原式原式 =2 sin204cosadrrdr Dy = xxyO22ax2+y2=2ay33248sincos3ad 234481sin34a 31.2a 例例5 求求 的值的值.20 xedx 解解 考虑考虑区域区域D: 0 x + , 0 y + , 记记 .4 20 xIedx22200 xyIedxedy22xyD