基于FFT的高精度谐波检测算法

1、基于基于 FFTFFT 的高精度谐波检测算法的高精度谐波检测算法 基于基于 FFTFFT 的高精度谐波检测算法的高精度谐波检测算法薛薛 蕙，杨仁刚蕙，杨仁刚（中国农业大学电气信息学院，北京（中国农业大学电气信息学院，北京 100083100083） 摘摘 要要：大量非线性元件的应用给电力系统带来了大量的整数和非整数次谐波，传统的谐波检测方法快速傅立叶变换(FFT)由于存在栅栏和频谱泄漏现象，只适用于整数次谐波的分析，而不适用于非整数次谐波的检测，因此不能够实现精确的谐波分析。非整数次谐波频谱泄漏现象是因为有限长信号的傅立叶变换与理论傅立叶变换的不同而产生的。为消除频谱泄漏误差，提高检测精度，文

2、中详细分析了FFT算法的频谱泄漏现象，在此基础上提出了改进算法。该算法通过对FFT算法做简单变换，减小了频谱泄漏误差，降低了谐波之间的相互干扰。仿真验证了该算法的高精度检测特性。该文提出的算法具有实现简单，精度高的特点，从而为电力系统中的谐波检测和分析提供了一种有效的算法。 关键词关键词：快速傅立叶变换（FFT）；谐波分析；频谱泄漏1 1 引言引言 随着大量电力电子器件和非线性元件的使用，电力系统中的谐波污染越来越严重和复杂，不仅存在着频率是工频整数倍的整数次谐波，而且存在着大量非整数和分数次谐波1,2。这些谐波的存在严重影响了电力系统的安全经济运行3。因此必须对这些谐波进行治理。谐波的检测和

3、分析是实现谐波治理的前提条件，准确的谐波检测和分析能够为谐波治理提供良好的依据。 目前常用的谐波检测分析方法是快速傅立叶变换（FFT）。FFT 算法能够实现整数次谐波的精确分析和检测，但是对于非整数次谐波的检测，FFT 算法存在着频谱泄漏和栅栏现象，从而使检测出谐波的幅值、相角和频率均存在较大的误差4,5，不能够满足检测精度的要求；利用插值算法68可以解决栅栏问题，但是不能消除因频谱泄漏现象而导致的测量误差；利用加窗算法9,10可以减少频谱泄漏误差，但是需要构造窗函数，使频谱分析变得复杂。 本文分析了 FFT 算法中存在的频谱泄漏现象，提出了改进算法。该算法只需要对 FFT 算法做简单的变换，

4、就可以有效地消除频谱泄漏分量，实现非整数次谐波的精确检测。2 2 FFTFFT 算法的频谱泄漏现象算法的频谱泄漏现象 FFT 算法产生频谱泄漏现象7的原因是由于理论的傅立叶变换值与实际工程应用的傅立叶变换的不同而造成的。理论的傅立叶变换是对整个时域信号的变换，但实际工程中应用的 FFT 算法只能对有限长度的信号进行变换。有限长度的信号在时域上相当于无限长信号与矩形窗信号的乘积，而时域的乘积运算对应傅立叶变换结果的卷积运算，因此利用 FFT 算法得到的傅立叶变换结果相当于实际信号的傅立叶变换与矩形窗傅立叶变换的卷积，并不等于实际信号的傅立叶变换。这样利用 FFT 算法分析非整数次谐波时就会存在频

5、谱泄漏和栅栏现象。具体分析如下： 对应一个幅值为Am，频率为 ，相角为 的无限长谐波信号xm(t)，如公式(1)所示。其傅立叶变换对应的是一条位于频率 处的谱线。 (1)而对于长度为T的矩形窗函数WT (t)，如式(2)所示，其傅立叶变换对应Dirichlet 函数，如式(3)。 (2) (3) 长度为T的有限长信号 相当于无限长信号xm与矩形窗WT时域的乘积，而时域的乘积对应傅立叶变换的卷积，因此有限长信号 及其傅立叶变换可以分别用式(4)和式(5)表示。 (4) (5) 式(5)表示的是一个连续复函数，对应利用傅立叶变换得到的信号的连续频谱。忽略相角的变化，频谱幅值的变化情况可以用图 1

6、表示7。 FFT 算法是傅立叶变换在工程应用中的实现算法。利用 FFT 算法，可以得到对应 的离散频谱（其中n=1，2，3N，N为采样点数，T是采样时间）。设被检测谐波的角频率 ，利用 FFT 算法得到的频谱分布可以用序列 来表示： (6)在式(6)中，如果k为整数，则 (7)图 1 有限长度谐波信号的连续频谱特性 由式(7)可知：如果k为整数，即被检测谐波为整数次谐波时，利用 FFT 算法得到的频谱分布为一条谱线，利用这条谱线相关的参数就可以求出整数次谐波的频率、幅值和相角。因此利用 FFT 算法可以实现整数次谐波的检测精确。但是对于非整数次谐波，即k不是整数时，利用 FFT 算法得到的频谱

7、分布比较复杂。设k=k1+r（其中k1为整数，而 0r 1），则谐波信号的频谱分布为 (8)式(8)可简化为，式中 ， (9)由式(9)可知：非整数次谐波的频谱分布不是集中在一条谱线上，而是在整个频域内分布。第n条谱线的幅值与 成反比。n=k1或n=k1+1 对应的谱线的幅值最大，然后随着 的增加，相应谱线的幅值按 ，即 的速度衰减。由此可知，利用 FFT 算法得到的非整数次谐波的频谱分布，不是对应一条谱线，而是在整个频域内分布，这就是频谱泄漏现象。频谱泄漏造成谐波频谱的相互干扰，从而影响谐波的检测精度。3 3 改进的改进的 FFTFFT 算法算法 为减小谐波的频谱泄漏分量，提高谐波检测精度，

8、就需要使频谱分布中谱线幅值的衰减速度尽量快。根据式(9)，可以得到一个新的频谱分布序列x1(n)： (10) 对比x1(n)和 ，结果如下： (11) 从式(10)和式(11)中看出：频谱序列x1(n)的幅值以 的速度衰减，最靠近k1+r的三条谱线的幅值增加，而其它谱线的幅值降低。这样频谱分布主要集中在离k1+r较近的谱线上，而在其它的谱线上幅值减小，从而就减少了频谱泄漏分量。 因为式(10)是对 中相邻 3 点进行的变换，所以本文称这种变换算法为 FFT 的 3 点变换算法，简称 3 点算法。利用 3 点算法得到的频谱分布的衰减特性由原来的 变成 ，衰减速度明显变快，因此利用 3 点算法可以

9、较好地减少频谱泄漏分量，提高谐波分析和检测的精度。可以证明 3 点算法相当于加窗 FFT 算法（汉宁窗）。与加窗算法比较，本文的变换不必构造窗函数，只需要对 序列做简单的变换，不仅实现方便，而且频谱特性分析简单。另外在上述分析的基础上，还可以构造其它的频谱序列，使谱线幅值的衰减速度更快。例如把 中相邻的 5 个点进行处理，可以得到一个新的序列。设 (12)令其中的a=1/4，b=1/6，c=-1/24，则可得到x2(n)为 (13) 由式(13)可以看出，在新的频谱序列x2(n)中，谱线幅值的衰减特性变成 。随着 的增加，谱线幅值的衰减速度更快，相应的频谱泄漏分量更小。因为式(12)是对 中相

10、邻 5 点进行的变换，所以本文称之为 FFT的 5 点变换算法，简称 5 点算法。可以看出 5 点算法能够更好地减少频谱泄漏分量，从而提高谐波的检测精度。同样如果把 FFT 序列中相邻的 7 个点进行处理，会得到更好的衰减特性 。把利用 FFT 算法、3 点算法、5 点算法和 7 点算法得到的频谱序列幅值的对数衰减情况进行比较，结果如图2。图 2 谱线幅值的对数衰减特性 由图 2 可以看出：随着算法处理点数的增加，得到的谱线幅值的衰减速度随之增加。因此增加算法的处理点数，可以有效地减小频谱泄漏分量，从而减少谐波的相互干扰，提高谐波的检测精度。但随着算法处理点数的增加，在频谱分布中n=k1+r附

11、近的谱线幅值增加，造成谐波的分辨率降低。例如，图 3 是对一个非整数次谐波信号，分别利用 FFT 算法，3 点算法，5 点算法分析得到的频谱特性。图 3 频谱特性 从图 3 可以看出：两条幅值最大的谱线是第 4 条和第 5 条谱线，随着算法处理点数的增加，第 3 条和第 6 条谱线的幅值也增加。如果这时存在与该谐波频率相近的其它谐波分量，其频谱分布主要集中在第 3 条或第 6 条谱线上，那么不同频率谐波的频谱就很难分离，从而造成谐波的分辨率降低。因此应该根据实际情况合理选择处理算法。在实际的检测中，要综合考虑频谱泄漏和谐波分辨率的问题，通常选用 3 点算法或 5 点算法。4 4 用改进的用改进

12、的 FFTFFT 算法实现非整数次谐波的检测算法实现非整数次谐波的检测4.14.1 利用利用 FFTFFT 算法实现非整数次谐波的检测算法实现非整数次谐波的检测 对于采样时间为T的任意一个频率为(k1+r)/T的非整数次谐波信号，利用FFT 算法得到的频谱分布中，对应n=k1和n=k1+1 的两条谱线的幅值最大，利用这两条谱线的参数可以实现非整数次谐波频率、幅值和相角的检测。 设这两条谱线的幅值之比为a，利用式(9)得到： (14) (15) 然后利用式(9)得到谐波的幅值Am和相角 。 (16) (17)4.24.2 利用利用 3 3 点算法实现谐波的检测点算法实现谐波的检测 利用 3 点算

13、法，同样得到对应n=k1和n=k1+1 的两条幅值最大的谱线，利用这两条谱线的参数可以实现谐波频率、幅值和相角的检测。 (18) (19) 然后利用式(9)和式(10)得到谐波的幅值Am，相角 。 (20) (21)4.34.3 利用利用 5 5 点算法实现谐波的检测点算法实现谐波的检测 利用 5 点算法，也得到对应n=k1和n=kr+1 的两条幅值最大的谱线，利用这两条谱线的参数实现谐波的频率、幅值和相角的计算。 (22) (23) 然后利用式(9)和式(13)得到谐波的幅值Am和相角 (24) (25)5 5 仿真实例验证仿真实例验证5.15.1 单个非整数次谐波的检测单个非整数次谐波的检

14、测 实例 1：采样时间为T，采样点数为 64，采样信号为 ，分别用用 FFT 算法，3 点算法，5 点算法得到频谱特性如图 4。图 4 频谱特性 由图 4 可以看出，两条幅值最大的谱线位于第 5 和第 6 条谱线上。设谐波的频率为 ，则其中 4k5。设k=k1+r（k1为整数，0r 1），则k1=4。然后利用第 4 节给出的算法求出r值，幅值Am和相角 。 对于 FFT 算法，利用式(14)-(17)得到：r =0.3512， Am=2.5295， 即利用 FFT 检测出的谐波频率是 Hz，谐波幅值为 2.5295，相角为 。 对于 3 点算法，利用式(18)-(21)得到：r=0.3296，

15、 Am=2.5503， 即利用 3 点算法得到的谐波频率是 Hz，谐波幅值为 2.5503，相角为 。 对于 5 点算法，利用式(22)-(25)得到：r =0.3300， Am =2.5500， 即利用 5 点算法得到的谐波频率是 Hz，谐波幅值为 2.5500，相角为 。 由实例 1 可以看出：对于非整数次谐波的检测，3 点算法的精度高于 FFT算法；而 5 点算法的精度又高于 3 点算法。5.25.2 不同频率谐波的检测不同频率谐波的检测 如果被检测信号中存在不同频率的谐波分量，同样可以验证，3 点算法和5 点算法的检测精度也高于 FFT 算法。 实例 2：对于谐波信号 ，采样时间为T，

16、采样点数为 64。分别利用 FFT算法、3 点算法和 5 点算法得到的频谱分布如图 5。图 5 频谱特性 利用不同算法得到的检测结果如表 1 所示。 由表 1 中可以看出：3 点算法和 5 点算法比 FFT 算法的精度高；5 点算法又比 3 点算法精度高。表 1 不同算法的检测结果算法幅值Am/pu频率f / Hz初相角q /()幅值Am/pu频率f / Hz初相角q /()理论值2.53.3/T504.59.7/T20FFT 算法2.47733.2993/T53.11284.5517 9.7326/T17.52243 点算法2.50103.3014/T49.63814.4998 9.6991

17、/T20.11245 点算法2.49983.2997/T50.07144.5000 9.7002/T19.97436 6 结论结论 本文提出的改进傅立叶算法，通过对 FFT 算法的简单变换，可以有效地减小 FFT 算法的频谱泄漏误差，减少非整数次谐波在频谱上相互的干扰，从而实现谐波频率、幅值和相角的高精度检测。本文通过仿真验证了该算法的正确性。该改进算法具有实现方便，分析简单，精度高的特点，是一种精确、实用的谐波分析算法，为电力系统中的谐波检测和分析提供了一种有效的方法。参考文献参考文献1 Nguyen T TParametric harmonic analysis of power syst

18、emsCGeneration，Transmission and Distribution，IEE Proceedings，1997，144(1)：21-252 YacaminiRPower system harmonicsIVinterharmonicsJPower Engineering Journal，1996，10(4)：185-1933 DavisEJ，EmanuelA EHarmonicpollution metering：theoretical considerationsJIEEE Transactions on Power Delivery，2000，15(1)：19-234

19、Heydt G T，Jewell W TPitfalls of electric power quality indicesJIEEE Transactions on Power Delivery，1998，13(2)：570-5785 Oppenheim A V，Schafer R WDiscrete-time signal processing MNJ：Prentice-Hall，19896 Grandke TInterpolating algorithms for discrete Fourier transforms of weighted signalsJ IEEE TransIM，1983，13(2)：350-3557 Crinon R JSinusoid