数的创生之方程的解

1、.数的创生之方程的解人们最初产生了自然数1,2,3,.的概念，后来产生了0和负数的概念。这些概念虽然已经成为最简单的常识，但它们实际上是非常抽象的概念。人类可能已经进化出了理解这一类抽象概念的基因，这才使得学习数字“成为很简单的事情。这种把详细而复杂的事物抽象为简单概念的过程，就是数学“这门学科的开展过程。而到了21世纪，人们已经开场反思，这个过程是否过多地隐藏了世界呈现给我们的重要信息？我们也许应该从抽象的数学对象和它们之间简单的互相关系返回到它们所代表的、更为复杂丰富的事物及其互相关系。这就是本世纪数学界所谓“范畴化浪潮。这是一点题外话，可能是另一篇帖子的主题。如今我们开场谈谈“数。引进0

2、和负数自然有很多历史的理由，但从抽象的观点来说，可以理解成是为了使“减法对任意选取的两个自然数有意义。同理，引进“分数是为了使“除法对任意选取的两个自然数有意义。负数概念和分数概念使我们有了最“自然的所谓“数系，所有“有理数。在这个数系里，可以几乎自由地做“加、减、乘、除运算。古希腊的毕达哥拉斯学派曾经认为有理数就是所有的宇宙奥秘。从数学的角度来说，这几乎是对的。其它一切“数，进而大多数数学对象，都可以认为是从有理数系里面衍生出来的，而且是纯粹思维的产物。只有有理数是现实中可见“的，或者说，可操作“的。发现无理数的过程大家可能都听说过，最初认识到有理数之外的数可能存在的人遭到了毕达哥拉斯学派卫

3、道士“们的血腥屠杀。但是历史的洪流是任何力量阻挡不了的，无理数还是迅速在人类的思维中占有了一席之地。从有理数系到实数系的扩展已经是更抽象的数学过程，大学里只有两三个非常依赖数学的专业才要求掌握其严格表述。直观上看，从有理数到实数可以看作一个从有限到无限的扩展。我们小学就已经学到了循环小数“和无限不循环小数“。有限长度的小数和循环小数都可以看作某种程度上有限的东西至少可以用有限的表达式表示，而无限不循环小数是真正无限的东西，本质上是不可操作的、纯思维的对象。所有的小数构成了实数系。通常大家认为，复数是比实数更复杂的东西。但事实并非如此。有些复数比有些实数要简单得多。比方，虚数单位i就比圆周率要简

4、单得多。i就是二次方程x2+1=0的一个解。而这个方程的系数特别简单。圆周率是某个系数为有理数的多项式方程的解吗？不是。但要证明这一点却不容易。可以看到，像虚数单位i这种数可以从整数出发经过有限的、可操作的步骤扩展出来列出一个方程，然后定义新的数“为此方程的解，即，这个方程就是这个新定义的数满足的全部关系，从而可以作为这个数“的定义。比方，我们所要知道的关于虚数单位i的全部信息就是i2+1=0,有了这个关系，我们就可以自由地使用它了。显然，被称为平方根“、立方根“的那些数都是如此定义的。就像2这个符号，它只是个抽象的符号而已，其实我们只知道并且只需要知道它的平方等于2.我们如今看到一种可操作的

5、产生新数的方法，它不同于以往产生新数的方法，以往是为了让旧有的数之间直接的运算“减法、除法总是有意义而产生的新数，而如今这种方法是为了我们总能解出以旧有的数为系数的多项式方程“而产生的新数。以有理数为系数的多项式方程的解称为代数数“。虚数单位就是一个代数数“，整数的平方根也是代数数“。代数数之间同样可以自由进展加减乘除运算，同时，还可以自由进展开方、解代数方程的操作。这种产生新数的方法一旦建立，其威力无穷。古希腊尺规作图三大难题马上就有了结论。尺规作图，咱们中国古人从来不计较什么规矩。这里规矩应该加引号，因为规矩本来就是指圆规和两把互相垂直钉在一起的尺一把叫勾，一把叫股。所以按照原意，咱们中国

6、古人作图还是有“规矩的。咱们的“规矩上面画满了刻度，作起图来好用得很。当时的西方人，古希腊人，贫富两极分化太厉害，所以有一部分富人开场瞎想。这又跟如今中国两极分化的情况不同，如今好似是穷人才爱瞎想。再说古希腊人，他们喜欢没有刻度的尺没有他们这类怪癖就没有现代科学，古希腊人希望用没有刻度的直尺和圆规做以下这三件事：1.倍方：给定一个立方体，存在一个大立方体，体积是原来那个的两倍。用尺规作出大立方体的边长。2.化圆为方：给定一个圆，存在一个正方形，面积等于这个圆的面积。用尺规作出这个正方形的边长。3.三等分角：任给一个角，用尺规把它三等分。这几个问题合称“古希腊三大难题。其实比这几个更难的作图题还

7、有很多，因为这几个看上去特别简单，所以有名。之后大约两千年都没有人能作出来。到了19世纪，终于有个人可以证明三等分角问题是不可解的。值得注意的是,这个问题不可解,是指不存在一个作图程序来三等分"任意"的角.有些特殊的角是可以用尺规三等分的,比方直角.后来不久，经过两个英年早逝的天才Abel和Galois的工作，人们理解到这三个问题有共同的背景-数域的扩张。“域，简单的说就是一些可以做加减乘除的东西放在一起组成的集合，条件是，四那么运算的结果必须还在这个集合里。全体自然数不是一个域，因为两个自然数的差就不一定是自然数了；全体整数也不是一个域，因为除法的结果不一定是整数。全体有

8、理数组成一个域Q,全体实数组成一个域R,全体复数组成一个域C.还能有些什么域？比方所有这种数：a+b3其中a,b是有理数，就组成一个域，因为这些数加减乘除以后还是这种形式。这个域比有理数域大.大多少？可以用“次数来衡量-每个这种数需要两个有理数来表示，所以扩张次数是2。这是域扩张的最简单的例子。望文生义，域扩张就是把一个域扩大到更大的一个域。再看这个扩张：要找一个域，包含有理数以及1的某个立方根w.如今所有a+bw就不够了。要对乘法封闭，必须包含w2.所以这个域的每个数都写成a+bw+cw2,其中a,b,c是有理数.这个在有理数域上的扩张的次数是3次。如今来看尺规作图与域的扩张之间的关系。用尺

9、规可以做两条互相垂直的直线，然后可以把两条直线标上刻度用圆规，然后把这个刻度拓展到全平面得到方格点。把这些格点看成坐标是整数的点。然后所能做的事情是，连接两个格点得到一条直线，或者以某个格点为中心，以到另一格点的间隔 为半径画圆。这些直线和圆的方程的系数都是整数至少是有理数.它们之间的交点由解方程组得到。初中数学告诉我们，这些交点的坐标要么是有理数，要么是一些二次方根和有理数做四那么运算的结果因为圆方程是二次的。比方直线x=y和圆x2+y2=1的交点就是2/2，2/2.在这些交点的根底上再用尺规作图，交点的坐标应该是一些二次方根里面套二次方根的数，比方_3+57.这个事实在代数上的意义就是，尺

10、规作图所得交点的坐标，处在有理数域的某种扩张之中。这种扩张的性质是由圆方程的二次性质决定的，即，除去四那么运算以外只有累次开平方运算。更准确的说法是，这些交点的坐标,作为一个数,满足很多系数是有理数的方程，这些方程中次数最低的那个,其次数一定是2的乘方，1,2,4,8,16,.。比方这个数_3+57.满足的有理系数代数方程中次数最低的一个是x2-32=572=175.其次数为4.如今很快就能解释倍方问题为什么不可解：倍方问题相当于要作出2的"立方根"32，它满足的次数最低的有理系数方程是3次的x3=2.根据上面的分析，尺规作图不可能做出这样的数。三等分角问题还要费一番周折。

11、作出一个角，等价于作出这个角的某个三角函数，比方余弦。一个角的余弦和它的三等分角/3的余弦之间的关系是一个三次关系cos=4cos3/3-3cos/3.等式左边是的，所以这个关系是关于三等分角余弦的一个3次有理系数方程。这里可能需要一点小技巧来证明对于一般的角这个方程就是要求用尺规作出来的那个数满足的次数最低的有理系数方程。这样，根据以前的分析，这个cos/3不可能用尺规做出来。在一些特殊情形,比方=90度,cos=0,两边消去cos/3,可知如今cos/3满足一个二次方程。之前的分析并不能排除用尺规作出这个角30度的可能。实际上，直角确实可以用尺规三等分。唐宋或更早之前，针对“经学“律学“算

12、学和“书学各科目，其相应传授者称为“博士，这与当今“博士含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事或讲解“经籍者，又称“讲师。“教授和“助教均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学“律学“医学“武学等科目的讲授者；而后者那么于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十清楚晰。唐代国子学、太学等所设之“助教一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监国子学一科的“助教，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士“讲师，还是“教授“助教，其今日老师应具有的根本概念都具有了。化圆为方问题就更复杂，涉及到圆周率这个数到底满足一个什么

13、样的有理系数方程。可以证明其实不满足任何有理系数方程。这种数有个名字，超越数。尺规是作不出超越数来的，所以化圆为方是不可能的。“教书先生恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生概念并非源于教书，最初出现的“先生一词也并非有传授知识那般的含义。?孟子?中的“先生何为出此言也？；?论语?中的“有酒食，先生馔；?国策?中的“先生坐，何至于此？等等，均指“先生为父兄或有学问、有德行的长辈。其实?国策?中本身就有“先生长者，有德之称的说法。可见“先生之原意非真正的“老师之意，倒是与当今“先生的称呼更接近。看来，“先生之根源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师为“先生的记载，首见于?礼记?曲礼?，有“从于先生，不越礼而与人言，其中之“先生意为“年长、资深之传授知识者，与老师、老师之意根本一致。总结：有理数系在“域的扩张这种有限的代数操作下产生新的数，包括一些有理数构成的根式。它们放在一起组成一个新的数系而且是一个“数域，即可以进展加减乘除运算，称为“代数数。有理数域和代数数域之间存在很多中间域，比方所有尺规作图能作出来的数组成的域。单靠“死记还不行,还得“活用,姑且称之为“先死后活吧。让学生把一周看