2014年全国高考文科数学试题及答案-福建卷

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文史类）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的.1 .若集合P=x|2Wx<4,Q=x|x占3,则PPlQ=等于（）A.x13<x<4B.x13<x<4C.x|2<x<3D.x|2<x<32 .复数（3+2i）i等于（）C.2-3iD.2+3iA. -23iB. 2+3iD.xy+3=03.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于A.2nB.nC,2D.14 .阅读

2、右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出n的值是()A.1B.2C.3D.435 .命题“Vxw0,f),x3+x之0”的否定是()3一.3一A.Vxu(-°0,0),x+x<0B.Vx=(-°°,0),x+x之0_3_3_C.二XoW0,+R),Xo+XoM0D.二XoW0,+8),Xo+x0之06 .已知直线l过圆x2+（y3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直,则直线l的方程是（）A.x+y2=0B.xy+2=0C.x+y3=07 .将函数y=sinx的图像左移三个单位，得到函数y=f（x）的图像，则下列说法正确的是（）2A.y=f(x)是奇函数

3、8 .y=f（x）的周期是冗9 .y=f（x）的图像关于直线x=（对称D.y=f（x）的图像关于直线（1,0）对称8.若函数y=logax（a>0,a#1）的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（）9.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）B. 120元C. 160元D. 240元10.设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点,OA+OB+OC+OD等于()TTTA.OMB.2OMC.3OMD.4OM2一一211.已知圆C:(x-a)+(y-b)

4、=1,平面区域Oxy-7-0<xy+320,若圆心Cw夏，且圆C与x心轴相切，则a2+b2的最大值为（）B. 29C. 37D.4912.平面直角坐标系中，两点（。丫。，P2（x2,y2）间的“L距离”定义为|P1P2|=|x1-x2|+|y1V2|,则平面内与x轴上两个不同的定点Fi,F2的“L距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（CAD第II卷(非选择题共90分)注意事项:用0、5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上13 .如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有1

5、80粒落到阴影部分，据此估计，阴影部分的面积是14 .在MBC中，/A=60°,AC=2,BC=V3,则AB等于22一一函数f(X)=«15.x-2,x<0的零点个数是2x-6lnx,x016 .已知集合a,b,c=0,1,2,且下列三个关系式：(1)a=2;(2)b=2;(3)c00有且只有一个正确,则等于100a+10b+c等于.解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤17 .(本小题满分12分)已知等比数列an中，a2=3,a5=81.(I)求数列an的通项公式；(II)若数列bn=log3%,求数列bn的前n项和Sn.18 .(

6、本小题满分12分)已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx).5二、(I)求f()的值；4(ID求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.19.(本小题满分12分)如图，三棱锥中A-BCD中，AB_L平面BCD,CD-LBD.(I)求证：CD_L平面ABD；(II)若AB=BD=CD=1,M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积.20.(本小题满分12分)根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为10354085美元为中等偏下收入国家；人均GDP低于408512616美元为中等偏上收入国家；人士GGDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区

7、，各区人口占该城市人口比例及人士匀GDP如下表行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位：美兀)A25%8000B30%4000C15%6000D10%3000E20%10000(I)试判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；(II)现从该城市的5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家的标准的概率.21.(本小题满分12分)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2(I)求曲线的方程；(II)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N,以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线，切点为B，试探究

8、：当点P在曲线r上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论.22.(本小题满分14分)已知函数f(x)=exax(a为常数)的图像与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点处的切线斜率为-1.(I)求a的值及函数f(x)的极值；(II)证明：当x>0时，x2<ex;(III)证明：对任意Z定的正数c,总存在x0,使得当xw00,+)时，恒有x<cex.参考答案、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题满分60分.1、A2、B3、A4、B5、C6、D7、D8、B9、C10、D11、C12、A二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题满分16分.1

9、3、0、1814、115、16、201、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17、本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想满分12分.解：（I）设an的公比为q,依题意得aq3a1q4=81解得a1=1q=3因此an=3n(n)因为bn=log3an=n1,所以数列2n(bibn)n-nbn的刖n项和Sn=18、本小题主要考查诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的图像与性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.满分12分.cV5二5二5二斛法一：(I)f()=2cos(sin444冗-2

10、cos(-sin-cos)444二2(n)因为f(x)=2sinxcosx2cos2x=sin2xcos2x1=2sin(2x)142-所以T=2_=2由2k:-_2x一一2k二一，kZ2423二得k-：x三k二,kZ88所以f(x)的单调递增区间为3二|k二一，k二，k三Z一8,8,解法二：f(x)=2sinxcosx2cos2x=sin2xcos2x1、.2sin(2x-)14.5，111二f()=、2sin144=x2sin14=2_2二T=2,_n一一冗一一冗由2k二一一三2x一一2k-:-一,kZ242/口3二二_得k-x£k二，kZ88所以f(x)的单调递增区间为3二，7

11、.I,k一,kZ8819、本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想.满分12分.fl解法一：(I)因为AB_L平面BCD,CD匚平面BCD,所以AB_CD又因为CD_BD,AB-BD=BAB二平面ABD,BD二平面ABD所以CD，平面ABD(n)由AB_L平面BCD，得AB_LBD:，AB=BD=1,.Sabd;M是AD的中点,_1S-ABM=3SABD=4由（I）知,CD_L平面二三棱锥CABM的高h=CD=1因此三棱锥A-MBC的体积_1VAJMBC=VCUBM=SABMh311

12、2解法二：（I）同解法（n）由AB_L平面BCD知，平面ABD_L平面BCD又平面ABD平面BCD=BD如图，过点M做MN_LBD交BD于点N,则MN1_L平面BCD,且MN=AB212,又CD_BD,BD=CD=1ifS.BCD，三棱锥A-MBC的体积VAJMBC=VA_BCD-VM-BCD1一1.c=一ABSBCD-MNSBCD3311220、本小题主要考查概率与统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想.满分12分.解：（i）设该城市人口总数为a,则该城市人均gdp为80000.25a40000.30a60000.15a30000.10a100000.2

13、0a-6400因为64004085,12616所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.(II)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：A,B,A,C,A,D,A,E,B,C,B,D,B,E,C,D,C,E,D,E,共10个.设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M,则事件M包含的基本事件是：A,C,A,E,C,E,共3个，一，一、,3所以所求概率为P(M)=31021、本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、化归与转化思想满分12分.解法

14、一：(I)设S(x,y)为曲线r上任意一点,依题意，点S至F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等，所以曲线是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线的方程为x2=4y(n)当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下:由(I)知抛物线的方程为y=lx2,412设P(Xo,y°)(x0#0),则y0=一%,4.1由y=-x,得切线l的斜率2.1k=y|x玉=2x。，1所以切线l的方程为y-y0=x0(x-x0),2日口112y=-x0x-x024112，-1a得A(-Xo,0)216，得M(Xo,3)2Xoy=XoX-Xo24y=0112y=-xox-

15、Xo24y=313又N(o,3),所以圆心C(1Xo+,3),4Xo113半径r=一|MN|=|-xo+|,24Xo|AB|，|AC|2_r2=,：Xo.(：Xo3)232一(：3)2=6；24Xo4Xo所以点p在曲线r上运动时，线段ab的长度不变.解法二：(I)设S(X,y)为曲线r上任意一点，贝U|y-(-3)|-7(x-o)2+(y-1)2=2,依题意，点S(x,y)只能在直线y=3的上方，所以y>-3,所以J(x-o)2+(y-1)2=y+1,化简得，曲线F的方程为x2=4y(n)同解法一22、本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全程量词与存在量词等基础知识

16、，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想.满分14分.解法一：(I)由f(x)=eX-ax,得f(x)=eX-a又f'(0)=1-a=-1,得a=2所以f(x)=eX2x,f'(x)=eX2令f'(x)=0,得x=ln2,当xcln2时，f'(x)父0,f(x)单调递减；当x>ln2时，f'(x)>0,f(x)单调递增；所以当x=ln2时，f(x)有极小值，且极小值为f(ln2)=eln2-2ln2=2In4,f(x)无极大值.(n)令g(x)=exx2

17、,则g'(x)=ex2x由(I)得，g'(x)=f(x)之f(ln2)=2ln4>0,即g'(x)>0所以g(x)在R上单调递增，又g(0)=1>0,所以当x>0时，g(x)>g(0)>0,即x2<ex1(in)对任息给7E的正数c,取x0=,c由(n)知，当x>0时，x2<ex2 21所以当x>x0时，e>x>-x,即x<cec因此，对任意给定的正数c,总存在x0,当xw(x0,+瓷)时，恒有x<cex解法二：(I)同解法一；(n)同解法一；.1(出)令k=-(k>0),要使不等

18、式x<ce成立，只要e>kx成立c而要使ex>kx成立，则只需要x>ln(kx),即xAlnx+lnk成立.若0<kW1,则lnkW0,易知当x>0时，xalnx之lnx+lnk成立，即对任意cw1,+*),取x0=0,当cw(x0,+&)时，恒有x<cex1x-1若k>1,令h(x)=xlnxlnk,则h(x)=1=,xx所以当x>1时，h'(x)A0在(1,y)内单调递增，取x0=4k,h(x0)=4k-ln(4k)-lnk=2(k-lnk)+2(k-ln2),易知k>lnk,k>ln2,所以h(xo)>047因此对任思cw(0,1),取x0=，当xw(x0,+=c)时，恒有x<cec综上，对任意给定的正数c,总存在x0,当x三(x0,十比)时，恒有x<cex解法三：(I)同解法一；(n)同解法一；(出)若c之1,取x0=0,由(n)的证明过程知，ex>2x,所以当xw(x0,+=c)时，有cex>ex>2x