2020-2021初三数学直角三角形的边角关系的专项培优练习题附详细答案

1、2020-2021初三数学直角三角形的边角关系的专项培优练习题附详细答案一、直角三角形的边角关系1 .图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC=OD=10分米，展开角ZCOD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6分米，且HO=FO=4分米.当/AOC=90°时，点A离地面的距离AM为分米；当OB从水平状态旋转到OB（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB上的点E处，则B'E2BE为分米.*月【答案】55,34【解析】【分析】如图，作OP，CD于P,OQ±AM于Q,FK，OB于K,FJ

2、LOC于J,解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B'即可.【详解】解：如图，作OPXCDTP,OQ±AM于Q,FK±OB于K,FJLOC于J. .AMXCD,/QMP=/MPO=ZOQM=90°,四边形OQMP是矩形，.QM=OP, .OC=OD=10,/COD=60°,.COD是等边三角形， .OPXCD,1/COP=-/COD=30,.qM=OP=OC?cos30=573（分米）, /AOC=/QOP=90°,/AOQ=ZCOP=30;-1一 .AQ=-OA=5（分米），2 .AM=AQ+MQ=5+573. .O

3、B/CD,/BOD=/ODC=60°在RtOFK中，KO=OF?cos60=2（分米），FK=OF?sin60=2百（分米）,在RpKE中，EK=JeF2FK2=2娓（分米）， .BE=10-2-26Q=（8-276）（分米），在RtOFJ中，OJ=OF?cos60=2（分米）,FJ=2J3（分米），在RtFJE中,ETjd（2向2=2J6, .B'=E10-（25y6-2）=12-2娓,.B'E'=4E故答案为：5+5J3,4.期C圄2D水平地面【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.2.

4、如图，AB是。的直径，弦CD，AB于H,过CD延长线上一点E作。的切线交AB的延长线于切点为G,连接AG交CD于K.（1）求证：KE=GE（2）若K=KD?GE试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；3（3）在（2）的条件下，若sinE=,AKp、/5,求FG的长.25口【答案】（1）证明见解析；（2）AC/EF,证明见解析；（3）FG=8.【解析】试题分析：（1）如图1,连接OG.根据切线性质及CD，AB,可以推出/KGE=ZAKH=ZGKE,根据等角对等边得至UKE=GE（2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD,由/KGE=ZGKE及K=KD?GE利用两边对应成比例且夹角相等的两

5、三角形相似可得出GKDAEKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到ZC=ZAGD,可推知ZE=ZC,从而得到AC/EF；(3)如图3所示，连接OG,0C,先求出KE=GB再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在RtOGF中，解直角三角形即可求得FG的长度.ZKGE吆OGA=90,.CDXAB,ZAKH+ZOAG=90；又OA=OG,ZOGA=ZOAG,ZKGE之AKH=ZGKE,KE=GEKGKD,GE=KG ,，又丁ZKGEhGKE.GKDAEGK,ZE=ZAGD,又ZC=ZAGD,ZE=ZC, .AC/EF;(3)连接OG,OC,如图3所示, /KGE吆OGA=90; .CD

6、XAB, /AKH+ZOAG=90;又.OA=OG,/OGA=ZOAG, /KGE4AKH=ZGK匕KE=GEsinE=sinZACH=,设AH=3t,则AC=5t,CH=4t,KE=GEAC/EF, .CK=AC=5tHK=CK-CH=t在RtAHK中，根据勾股定理得AH2+hK?=AK2,即（3t）2+t2=（2%再）2,解得t=?.设。O半径为r,在RtOCH中，OC=r,OH=r-3t,CH=4t,由勾股定理得：OH2+CH2=Od,12525即（r-3t）2+（4t）2=r2,解得r="t="'. EF为切线, .OGF为直角三角形，25CII4在RtOG

7、F中，OG=r=6',tanZOFG=tanZCAH="一OGlanzOJ-G,，FG=256,2543【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键.3.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，直线ykx4交x轴、y轴分别于点A、点B,且ABO的面积为8.(1)求k的值；PO,将线段OP绕点O顺时针(2)如图，点P是第一象限直线AB上的一个动点，连接旋转90。至线段OC,设点P的横坐标为t,点C的横坐标为m,求m与t之间的函数关系式(不要求写出自变

8、量t的取值范围)；(3)在(2)的条件下，过点B作直线BMOP,交x轴于点M,垂足为点N,点K在线段MB的延长线上，连接PK,且PKKB0P,PMB2KPB，连接MC,求四边形BOCM的面积.【答案】(1)k1;(2)mt4;(3)Sybocm32.【解析】【分析】(1)先求出A的坐标，然后利用待定系数法求出k的值；(2)过点P作PDx轴，垂足为D,过点C作CEx轴，垂足为E,证PODOCE可彳导OEPD,进一步得出m与t的函数关系式；(3)过点O作直线OTAB,交直线BM于点Q,垂足为点T,连接QP,先证出QTBPTO再过点P作PD列式可求得t=4；再证出KPBBPN；设KPBx,通过计算证

9、出POPM；x轴，垂足为点D,根据tanOPDtanBMO得到OD-BO,PDMO所以OM=8进一步得出四边形BOCM是平行四边形，最后可得其面积为32.【详解】解：(1)把x0代入ykx4,y4,BO4,1-AOBO4,AO4,2 A(4,0),把x4,y0代入ykx4,得04k4,解得k1.故答案为1；(2)解：把xt代入yx4,yt4,P(t,t4)如图，过点P作PDx轴，垂足为D,过点C作CEx轴，垂足为E,线段OP绕点O顺时针旋转90至线段OC,POC90,OPOC,PODEOC90,OPDEOC,PODOCE,OEPD,mt4.故答案为mt4.(3)解：如图，过点O作直线OTAB,

10、交直线BM于点Q,垂足为点T,连接QP,由（1）知，AOBO4,BOA90ABO为等腰直角三角形，ABOBAO45,BOT90ABO45ABO,BTTO,BTO90,TPOTOP90, POBM,BNO90,BQTTPO, .QTBPTO,QTTP,POBQ,PQTQPT,POPKKB,QBPKKB,QKKP,KQPKPQ,PQTKQPQPTKPQ,TQBTPK,KPBBPN,设KPBx,BPNx,PMB2KPB,PMB2x,POMPAOAPO45x,NMO90POM45x, PMOPMBNMO45xPOM, POPM,过点P作PDx轴，垂足为点D, OM2OD2t,OPD90POD45xBM

11、O,tanOPDtanBMO,ODBOt4,，PDMOt42tti4,t22（舍）OM8,由（2）知，mt48OM, .CMPy轴，PNMPOC90,BMPOC,，四边形BOCM是平行四边形,SYBOCMBOOM4832.故答案为32.【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键.4.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,0)、B(4,0)、C(0,3)三点.图图(1)试求抛物线的解析式；(2)点P是y轴上的一个动点，连接PA,试求5PA+4PC的最小值；(3)如图，若直线l经过点T(-4,0),Q为直线l

12、上的动点，当以A、B、Q为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l的解析式.3 23【答案】(1)y-x-x3;(2)5PA+4PC的最小值为18;(3)直线l的解析式84,33人为yx3或y-x3.4 4【解析】【分析】(1)设出交点式，代入C点计算即可(2)连接AC、BC,过点A作AE，BC于点E,过PCPD4点P作PD)±BC于点D,易证CD/COB,得到比例式，得到PD=-PC,所BCOB5以5PA+4PC=5(PA+4PC)=5(PA+PD,当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC=55(PA+PD=5AE最小，利用等面积法求出AE=18,即最小值为18(3)取A

13、B中点F,5以F为圆心、FA的长为半径画圆，当/BAQ=90°或/ABQ=90°时，即AQ或BQ垂直x轴，所以只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使/BAQ=90。或/ABQ=90°,即/AQB=90时，只有一个满足条件的点Q,直线l与。F相切于点Q时，满足/AQB=90°的点Q只有一个；此时，连接FQ,过点Q作QGi±x轴于点G,利用cos/QFT求出QG,分出情况Q在x轴上方和x轴下方时，分别代入直接l得到解析式即可【详解】解：(1)二.抛物线与x轴交点为A(-2,0)、B(4,0).y=a(x+2)(x4)把点C(0,3)代入得：

14、-8a=33.a=8抛物线解析式为y=-(x+2)(x-4)=-x2+x+3884(2)连接ACBC,过点A作AE，BC于点E,过点P作PD±BC于点D/CDP=/COB=90°/DCP=/OCB.,.CDFACOBPCPDBCOB-B(4,0),C(0,3).OB=4,OC=3,BC=OB2OC2=5一4一 .PD=-PC5,-.5PA+4PC=5(PA+4PC)=5(PA+PD5 当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC=5(PA+PD=5AE最小.A(2,0),OCXAB,AE±BC Saabc=1AB?OC=1BC?AE22ABnOC6318AEBC5

15、5 -5AE=18 5PA+4PC的最/J、值为18.(3)取AB中点F,以F为圆心、FA的长为半径画圆当/BAQ=90°或/ABQ=90°时，即AQ或BQ垂直x轴，只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使/BAQ=90或/ABQ=90/AQB=90时，只有一个满足条件的点Q 当Q在。F上运动时(不与A、B重合)，/AQB=90° 直线l与。F相切于点Q时，满足/AQB=90的点Q只有一个此时，连接FQ,过点Q作QG,x轴于点G /FQ仁90° .F为A(2,0)、B(4,0)的中点 .F(1,0),FQ=FA=3.T(-4,0)FQ3 .TF=5

16、,cosZQFT=-TF5.RtFGQ中，cos/QFT=FQ5FG3一3一 FG=-FQ=512-54-512若点Q在x轴上方，则Q（设直线l解析式为：y=kx+b4kb0 412解得:-kb553，直线l：y-X34若点Q在x轴下方，则Q（一，一）553八，直线l：y-x3433综上所述，直线l的解析式为y3x3或y3x344【点睛】本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论5.在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE,将4AB

17、E沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到ADCF,过点E作EG，AC于点G,连接DG,FG.Ar.DBEC（1）如图，依题意补全图；判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6,当/AGD=60°时，求BE的长.【答案】（1）见解析，FG=DG,FG，DG,见解析；（2）BE2J3.【解析】【分析】（1）补全图形即可，连接BG,由SAS证明BE84GCF得出BG=GF,由正方形的对称性质得出BG=DG,得出FG=DG,在证出ZDGF=90°,得出FG±DG即可，（2）过点D作DHLAC,交AC于点H.由等腰直角三角形的性质得出DH

18、=AH=3j2,由直角三角形的性质得出FG=DG=2GH=2及,得出DF=72DG=4J3,在RtDCF中，由勾股定理得出CF=2J3,即可得出结果.【详解】解：（1）补全图形如图1所示，FG=DG,FG±DG,理由如下，连接BG,如图2所示，四边形ABCD是正方形，/ACB=45；-.EG±AC,/EGC=90；CEG是等腰直角三角形，EG=GC,/ GEC=ZGCE=45；/ BEG=/GCF=135；由平移的性质得：BE=CF,BECF在ABEG和GCF中，BEGGCF,EGCG.,.BEGAGCF(SAS,BG=GF.G在正方形ABCD对角线上,BG=DG, .FG

19、=DG, /CGF=/BGE,/BGE+/AGB=90； /CGF吆AGB=90; /AGD+ZCGF=90°,/DGF=90；(2)过点D作DHAC,交AC于点H.如图3所示,在RtAADG中,/DAC=45;.DH=AH=3拒,在RtADHG中，ZAGD=60°,°DH32-GH=j6v6.DG=2GH=276,.DF=拒DG=473,在RtDCF中，CF=4/3262=26,本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键.6.如图，在正方形A

20、BCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CFAE,连接DE,DF,EEFH平分EFB交BD于点H.(1)求证：DEDF;(2)求证：DHDF:(3)过点H作HM±EF于点M,用等式表示线段AB,HM与EF之间的数量关系，并证明.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)EF2AB2HM,证明详见解析【解析】(1)根据正方形性质，CFAE得到DEDF.(2)由zAEDACFD,得DEDF.由ABC90,BD平分ABC,BFH.由于得DBF45.因为FH平分EFB,所以EFHDHFDBF所以DHDF.(3)过点H作HNBFH45BFH,DFHDFEBC于点N,由正方

21、形ABCD性质，得EFH45EFH,BD>/AB2AD2历B.由FH平分EFB，HMHMHN.因为HBN45,HNB90,所以BHHNsin45由EFDFcos45V2DFV2DH,得EF2AB2HM(1)证明：二四边形ABCD是正方形，ADCD,EADBCDADC90EADFCD90.CFAE。AAEDACFD.ADECDF.90EDFEDCCDFEDCADEADCDEDF.(2)证明：.AAEDACFD,DEDF.EDF90,DEFDFE45.ABC90,BD平分ABC,DBF45.FH平分EFB,EFHBFH.DHFDBFBFH45BFH,DFHDFEEFH45EFH,DHFDFH

22、.DHDF.(3) EF2AB2HM.证明：过点H作HNBC于点N,如图，.正方形ABCD中，ABAD,BAD90,BD、,AB2AD2.2AB.FH平分EFB,HMEF,HNBC,HMHN.HBN45,HNB90,.Bhhn2HN.2HM.sin45DHBDBH、2aB2HM.cos45EFDF&DFV2DH,EF2AB2HM.【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数7.已知：如图，直线y=x+12分别交x轴、y轴于A、B点，将4AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为

23、DE.求AE的长及sin/BEC的值;(2)求4CDE的面积.375【答案】(1)5亚,sin/BEC-；(2)54【解析】【分析】(1)如图，作CF，BE于F点，由函数解析式可得点B,点A坐标，继而可得ZA=ZB=45；再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得OC=BC=6CF=BF=3,2,设AE=CE=x贝UEF=AB-BF-AE=12/2-3j2-x=9j2-x,在RtCEF中，利用勾股定理求出x的值即可求得答案；(2)如图，过点E作EMLOA于点M,根据三角形面积公式则可得Sacde=Saaed=ADXAE设AD=y,则CD=y,OD=12-y,在RtOCD中，利用勾股定理求出y

24、,继而可求得答案.【详解】(1)如图，作CF±BE于F点,由函数解析式可得点B(0,12),点A(12,0),/A=/B=45°,又点C是OB中点,.OC=BC=GCF=BF=3/2,设AE=CE=x则EF=AB-BF-AE=122-32-x=9.2-x,在RtCEF中，CEcP+e巴即x2=(9j2-x)2+(3J2)2,解得：x=5j2，CF3故可得sin/BEC=AE=5J2;CE5(2)如图，过点E作EMOA于点M,二ADXAE4设AD=y,贝UCD=y,OD=12-y,在RtOCD中,OC2+OD2=cD2,即62+(12-y)2=y2,解得：y=15,即AD=1

25、5,275故S»acde=Saed=ADXAE=.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了勾股定理、折叠的性质、三角形面积、一次函数的性质等知识，综合性较强，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键8.如图，某次中俄海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°.位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.（结果保留整数.参考数据：sin68°=0.9cos68°=0.4tan68°2）.5V3=1.7【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米【解

26、析】试题分析：过点C作CD>±AB,交BA的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜深度，用锐角三角函数分别在RtACD中表示出CD和在RtBCD中表示出BD,利用BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解.试题解析：过点C作CD，AB,交BA的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：/ACD=30°,/BCD=68°,设AD=x,贝UBD=BA+AD=1000+x,在RtACD中，CD=一AD=一J=0xtanACDtan30在RtBCD中，BD=CD?tan68°,.325+x=Jix?tan68°解得：x=10稣，点睛：本

27、题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解.h视频D9.如图所示，一堤坝的坡角ABC更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面,62,坡面长度AB25米（图为横截面），为了使堤坝使得坡面的坡角ADB50,则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin62=0.88,cos62=0.47,试题分析：过A点作AELCD于E.在RHABE中，根据三角函数可得AE,BE,在RtAADE中，根据三角函数可得DE,再根据DB=DE-BE即可求解.试题解析：过A点作AELCD于E.在RtABE中，/ABE=62:AE=AB?sin62

28、=25X球§8=22BE=AB?cos62=25X0.47=1傲5在RtAADE中,1山/ADB=50,DE=1/米,tan50"S.DB=DE-BE=6.58.故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米.考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.10.已知：在4ABC中，ZACB=90°,CD±AB于D,BE:AB=3:5,若CE=&,cos/ACD=4,求tan/AEC的值及CD的长.5一.一一12【答案】tanZAEC=3,CD=-疝5【解析】解：在RTAACD与RTAABC中。，_，_，,_4/ABC+/CAD=90,/ACD+ZCAD=90/A

29、BC=ZACD,cos/ABC=cosZACD-5BC4在RTAABC中，令BC=4k,AB=5k则AC=3kAB5由BE3,BE=3k贝UCE=k且CE=J2贝Uk=后，AC=372AB5.RTAACE中，tanZAEC=C-=3EC,CD4-121.RTAACD中cosZACD=一，CD=412.AC5511.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(0,1),点C(1,0),正方形AOCD的两条对角线的交点为B,延长BD至点G,使DG=BD,延长BC至点E,使CE=BC以BG,BE为邻边作正方形BEFG.一AB.(I)如图，求OD的长及一的值；BG(n)如图，正方形AOCD固定，将正方形BEFG绕点B逆时针旋转，得正方形BE'F；G旋转角为“(0°<8<360°),连接AG'.在旋转过程中，当/BAG=90寸，求a的大小；在旋转过程中，求AF的长取最大彳1时，点F的坐标及此时a的大小(直接写出结果即可).1【答案】(I)(H)a=30或150时，/BAG=90劭a=315时，A、B、F在一条2直线上时，AF'的长最大，最大值为+2,此时a=315,°F'(1+J2,；-丘)【解析】【分析】(1)根据正方形的性质以及勾股定理即可解决问题，(