最新实数知识点及易错题型

1、精品文档实数复习与回顾一、知识梳理1 .平方根(1)算术平方根的定义：一个正数 x的平方等于a,即,那么这 个正数x就叫做a的.0的算术平方根是 。(2)平方根的定义：如果一个数 x的平方等于a ,即,那么这 个数x就叫做a的。(3)平方根的性质：一个正数有 个平方根，它们 ; 0 只有 个平方根，它是 ;负数 平方根。(4)开平方：求一个数 a的 的运算，叫做开平方。2 .立方根(1)立方根的定义：如果一个数 x的 等于a ,即,那么这个数x就叫做a的立方根。(2)立方根的性质：每个数 a都只有 个立方根。正数的立方根是; 0的立方根是 ; 负数的立方根是 。(3)开立方：求一个数 a的 的

2、运算叫做开立方。3 .实数(1)无理数的定义：无限不循环小数叫做 。(2)实数的定义： 和 统称实数。(3)实数的分类：按定义分： ;按 性质分：。(4)实数与数轴上的点的对应关系： 与数轴上的点是 对应的。(5)有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义。4 .实数的运算：(1)实数的加、减、乘、除、乘方运算和 一样，而且有理数 的运算律对 仍然适用。(2)两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根，算术平方根的商等于这两个数商的算术平方根，用式子表示为二、考点例析考点1平方根、立方根的定义与性质例1 (1)下列各数是否有平方根？若有，求出其平方根；若没

3、有， 说明理由。625 (-2) 2 (1) 3(2)下列各数是否有立方根？若有，求出其立方根。343 -2227分析：(1)要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转化，直到能看出它的符号，然后依据平方根的性质进行判断。(2)因为正数、0、负数均有立方根，所以所给各数都有立方 根。解：(1)因为625>0,故其平方根有两个，即 ±<625 =±25;因 为(一2)2=4>0,故其平方根有两个，即 ±/(-2)=上； 因为(1) 3=-1<0,故其不存在平方根。(2)由立方根的性质可知，所给各数均有立方根。i 11 3，i=; V 3

4、43 = 7 ; 273一22的立方根3二4。说明：只有非负数才有平方根，这一点同学们一定要牢固掌握。考点2实数的分类与性质例2下列各数中：1，77 , 3.14159,兀10, V4 ,0,0.3,3/8716,2.121122111222其中有理数有;无理数有。分析：对于3/8、06等应先化简再判断。解：有理数：一-,3.14159,0,0.3,3/8 JT64fl-无理数有：77 ,- 10 ,- V4 ,2.12112111222 说明：本题考查有理数和无理数的概念，要正确判断一个数属于哪一类，理解各数的意义是关键。例3 <2 -1的相反数是 ; 71的绝对值是 ;J-81的倒数

5、是。,121分析：如果a表示一个正实数，那么a就表示一个负实数，a与a互为相反数；0的相反数依然是0。一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 1非零实数a的倒数是-。a精品文档9 一-,所以一11福1的倒数是一*81,121解：22 -1的相反数是1 J2 ; -41的绝对值是 "11 ;说明：解决此问题要牢记实数的性质，实数范围内一个数的相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的意义是一样的。考点3实数的运算例4(1)计算:(2)化简 88-22(22 +2)得()(A) - 2(B) <2 -2(C) 2(D) 4v22分析：有理数的

6、运算法则、性质、运算律等在实数范围内仍然适用，本例根据运算顺序直接计算即可。5一 1、1511(1) =0.2 X 7225。()=1M15M (5) 一 + 75 = 751 ；455444(2) v;8-12(72 +2) =-2-242 =2姓-2-2/=-2。故选(A)。说明：在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，运算顺序依然是从高级到低级。值得注意的是，在进行开方运算时，正实数和零可以开任何次方， 负实数能开奇次方，但不能开偶次方。考点4非负数例5 已知x, y为实数，且 JX二1 + 3(y2)2=0,则xy的值为().(A) 3(B) 3(C) 1(D) -1分析：本题

7、主要考查非负数的性质及其应用，非负数，即不是负数，也即正数和零，常见的非负数主要有三种：实数的绝对值、实数的算术平方根、实数的偶次方。它有一个非常重要的性质：若干个非负数的和为 0,这几个非负数均为零。利用这个性质可解本题，解：由题意，得x1=0, y2 = 0,即x = 1 , y = 2,所以x - y = -1。故选(D)。说明：非负数是中考常考的知识点，同学们应从其意义入手，理解并掌握它。考点5数形结合题例6 已知实数a、b在数轴上的位置如图所示：试化简：| a- b |一 | a+ b |a b I I a+ b I ,需根据数轴上 a、b的位置判断a1_ib0 ab<0,且

8、I a I < I b I ,所以 a b>0, a+b<0,(a b) + (a+b) =a b+a+b=2a分析：要化简Ib和a+b的符号。解：因为a>0,所以原式=说明：数形结合是解决数学问题常用的思想方法，解题时必须通过所 给图形抓住相关数的信息。考点6探究题例7阅读下列解题过程:15 ；41.5-45 七 5 , 4 J。5 - 416 一、：. 51 、. 6 一 J5、, 6 - - 51娓 十后*娓屈、(V6)-(752=、.6 - _； 5(1)观察上面的解题过程，请直接写出式子：请回答下列问题:n-2(2)、利用上面所提供的解法，请化简：1111 l

9、(J 1,2 132,4,3、5 /"，10 -19分析：通过阅读解题过程不难发现，每个式子的结果都等于分母中两个式子的差。解：(1) -j=-1 j= Yn +1 - Vn on in 1二衣一1 73-匹 +V4 网+疾一弋4 + +V10 -V9 = 710 -1 o说明：这类题目需要我们细心观察及思考，探究其中的规律，寻找解决问题的途径。三、易错点例析1、对平方根、算术平方根、立方根的概念与性质理解不透理解不透平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，往往出现以下错误：求一个正数的平方根时， 漏掉其中一个，而求立方根时，又多写一个；求算术平方根时前面加上鱼”成了平方根等等。一

10、，1 ,例1 (1)求6的平万根(2)求寸81的算术平万根4错解：（1） 6： =25 =5 ； （2）/81的算术平方根是9错解分析：错解（1）中混淆了平方根和算术平方根；错解（2）中88= =9 , 881的算术平方根其实是 9的算术平方根，而 9的算术 平方根是3。正确解法：（1） ±,6= =土等=±5 ； （2） J81的算术平方根O例2求64与27的立方根。错解：64的立方根是±4, 27没有立方根。错解分析：64的立方根是4,只有一个，认为64的立方根有两个且互为相反数，是与正数的平方根相混淆；-27的立方根是-3,错误地认为-27没有立方根是与负数

11、没有平方根相混淆。正确解法：因为43=64,所以64的立方根是4。因为（一3） 3=-27, 所以一27的立方根是一3。2、忽略平方根成立的条件只有非负数才能开平方，这一条件解题时往往被我们忽略。例3当m取何值时，V-m2有意义？错解：不论m取何值时，m2都无意义。错解分析：考虑不全，漏掉了 m=0时的情况。正确解法：当 m=0时，-m2=0,此时V- m2有意义。3、实数分类时只看表面形式对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断。例 4 下列各数2、3.14159、屈、H5、（ J7） 2、1 V8中无理数有.错解：无理数有£、一 J9、匚、（6之所。 3错解分析：这种错误认为带根号的数都是无理数。其实能化简的应先化简，99 = 3,（币）2=7, 3/8=2,所以它们是有 理数。正确解法：无理数有 土、匚。34、运算错误在进行实数的运算时要注意运算法则与公式的正确应用，千万不要忽略公式的应用条件。例 5 化简（1） 5 4a -%'9a （2）（-9） （-25）错解：（1） 5 dW J9a =5"'a一37a =2；(2) (-9) X(-25) = V(-9) X <(-25) = (3) x(5) =15错解分析：(1)中合并同类二次根式时丢掉了W