中考数学圆与相似综合题含详细答案

1、中考数学圆与相似综合题含详细答案一、相似1.如图，正方形ABCD等腰RtBPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合），QP与BC交于E,QP延长线与AD交于点F,连接CQ.DC(1)求证：AP=CQ求证：PA2=AF?AD;(2)若AP：PC=1:3,求tan/CBQ.【答案】（1）证明：二.四边形ABCD是正方形，AB=CB,ZABC=90,/ABP+/PBC=90,.BPQ是等腰直角三角形，BP=BQ,/PBQ=90；./PBC+/CBQ=90，/ABP=/CBQ,AABPACBQ,.AP=CQ;二.四边形ABCD是正方形，ZDAC=ZBAC=ZACB=45, /PQB=45；CCE

2、P4QEB,/CBQ土CPQ由得ABPCBQ,/ABP=/CBQ/CPQ=ZAPF,/APF=ZABP,APMABP,(本题也可以连接PD,证APFsADP)(2)证明：由得4AB国ACRQ,，/BCQ=/BAC=45, /ACB=45,./PCQ=45+45=90臼 tanZCPQ=疗,由得AP=CQ,CQAPJ二二t又AP:PC=1:3,tan/CPQ=CPJ,由得/CBQ=/CPQ tanZCBQ=tanZCPQ=3.【解析】【分析】(1)利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证ABPACBQ,可得AP=CQ;利用正方形的性质可证得/CBQ=/CPQ,再由ABPCBQ可证得/APF=Z

3、ABP,从而证出APM4ABP,由相似三角形的性质得证；(2)由ABP4CBQ可得/BCQ=ZBAC=45,可得ZPCQ=45+45=90,再由三角函数可CC11得tanZCPQ=乙由AP:PC=1:3,AP=CQ可得tanZCPQ=,再由/CBQ=/CPQ可求出答案.y-#bx/2.如图，抛物线3过点J0),B2).M0)为线段OA上一个动点(点M与点A不重合)，过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N.(1)求直线AB的解析式和抛物线的解析式；(2)如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；(3)如果以B,巳N为顶点的三角形与力吆相似，求点M的坐标.【答案】(1)解：设

4、直线.协的解析式为y心唉b.书为，旧很刃2/二*h=6i3bJ解得b-2，直线/姑的解析式为V-JT+加T嗔C(;抛物线？经过点“优，76力二Tf3解得4,102，丁.小A而.一加;二*+2)P缸-ft2)解：.加上、轴，他/则33,JI4J2产二-y#拗圈二一y,，.山点是招的中点.NP解得“工,9J（不合题意，舍去）解：.A（3fo）,脸,，昭丁,.当/8口与/4外相似时，存在以下两种情况:BPPhPNPA旧2Imif*2*血xT3dm-33解得8J/f-7,0)to,轴交于点.在线段组上有一动点石仙。（不与a乂重合），过点上作工轴的垂线交/比于点I,交抛物线于点旧，过点/作用/上历于点的

5、.（i）求直线Lm的函数解析式;（2）求证：s八烟；并求出当出为何值时，|仃刈和1,出I的相似比为39.手JIT+J6【答案】（1）解：令：F-心，则/,解得:（舍）.A（&0）令才4,得.13,p（or刃设直线/岳：bh,九把|/，他3）分别代入上式得：5k-1b-3t4必+匕-&解之得：4一33一”3（2）证明：./惴=上心=90又.ZPNM-M3逑1S人在N叫叫脸A血一小”【解析】【分析】（1）设直线:上1小，求出A、B点坐标，代入求出k,b即可.（2）AN、PN的长，再根利用两组对应角相等证明三角形相似，结合函数解析式，分别表示出据相似比列式计算即可.8.如图，在RtABC中，/ACB

6、=90,AC=6cm,BC=8cm.动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速10度向点B运动，运动时间为t秒3；T丁,连接MN.(1)若4BMN与4ABC相似，求t的值;(2)连接AN,CM,若ANXCM,求t的值.【答案】(1)解：/ACB=90,AC=6cm,BC=8cm,BA=*=10(cm).由题意得BM=3tcm,CN=2tcm,BN=(8-2t)cm.当BMNsBAC时,当BMNsBCA时,Jr=现3f=BA,.8=心-威-82Ct=H；,解得10,解得t=23.2632综上所述，ABMN与ABC相似时，t的值为门

7、或(2)解：如图，过点M作MDLCB于点D,/BDM=ZACB=90,又/B=/B,BDMsBCA,.AC=BIcBA.AC=6cm,BC=8cm,BA=10cm,BM=3tcm,.DM=$tcm,BD=5tcm,，CD=12(8t)5cm.ANXCM,/ACB=90；./CAN+/ACM=90；ZMCD+ZACM=90,ZCAN=ZMCD.-.MDXCB,./MDC=/ACB=90；.CAIDCM,128t9t5解得t=根据路程条度X时间可将【解析】【分析】(1)在直角三角形ABC中，由已知条件用勾股定理可求得AB的长，再BM、CN用含t的代数式表示出来，则BN=BC-CN也可用含t的代数式

8、表示出来，因为BMN与4ABC相似，由题意可分两种情况，当BMNsbac时，由相似三角形的性质可得比例式：BAa，将已知的线段代入计算BMB即可求解；当BMNsbca时，由相似三角形的性质可得比例式：BC助，将已知的线段代入计算即可求解；(2)过点M作MDXCB于点D,根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得DMBD助BDMsbca,于是可得比例式AC-BC一出t,将已知的线段代入计算即可用含t的代数式表示DM、BD的长，则CD=CB-BD也可用含t的代数式表示出来，同理易证ACCANADCM,可得比例式CD见将已表示的线段代入计算即可求得t的值。二、圆的综合uuu,9.如图，4ABC是。的内

9、接二角形，点D在BC上，点E在弦AB上(E不与A重合)，且四边形BDCE为菱形.(1)求证：AC=CE(2)求证：BG-AC2=AB?AC;(3)已知OO的半径为3.AB5.若=-,求BC的长;AC3AB.当为何值时，AB?AC的值最大?AC【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析;一一一33)BC=4折；一2【解析】分析：(1)由菱形知/D=/BEC,由/A+/D=/BEC+ZAEC=180可得/A=/AEC,据此得证；(2)以点C为圆心，CE长为半径作OC,与BC交于点F,于BC延长线交于点G,则_.BEBGndCF=CG=AC=CE=CDffiBEMBGA得,即BF?BG=BE?AB将

10、BF=BC-CF=BC-BFBAAGBG=BC+CG=BC+A伏入可得；(3)设AB=5k、AC=3k,由BG-AC2=AB?AC知BC=2s/6k,连接ED交BC于点M,1RtADMC中由DC=AC=3kMC=-BC=76k求得DM=CD2CM2=、3k，可知OM=OD-DM=3-J3k,在RtCOM中，由OM2+MC2=OC2可得答案.设OM=d,则MD=3-d,MC2=O(?-OM2=9-d2,继而知BC2=(2MC)2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=(3-d)2+9-d2,由(2)得AB?AC=BC-AC2,据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案.详解：(

11、1).四边形EBDC为菱形，/D=ZBEC四边形ABDC是圆的内接四边形，/A+ZD=180；又/BEC吆AEC=180,/A=/AEC,.AC=CE(2)以点C为圆心，CE长为半径作OC,与BC交于点F,于BC延长线交于点G,则CF=CGA由(1)知AC=CE=CD.CF=CG=AC四边形AEFG是。C的内接四边形,/G+ZAEF=180,又/AEF+/BEF=180,/G=ZBEF,/EBF=ZGBA,.BEFBGA,BEBFBG_-,即BF?BG=BE?ABBA BF=BC-CF=BOACBG=BC+CG=BC+ACBE=CE=AC (BC-AC)(BC+AQ=AB?AC,即BC2-AC

12、2=AB?AC;(3)设AB=5k、AC=3k, BC2-AC2=AB?AC,BC=26k,连接ED交BC于点M, 四边形BDCE是菱形， DE垂直平分BC,则点E、O、M、D共线,在RtADMC中，DC=AC=3kMC=1BC=76k,dm=Jcd2cm26q.OM=OD-DM=3-近k,在RtACOM中，由OM2+MC2=OC2得(34k)2+(&k)2=32,解得：k=2也或k=0(舍)，3BC=2,6k=42；设OM=d,则MD=3-d,MC2=OC?-OM2=9-d2,BC2=(2MC)2=364d2,AC2=DC2=DM2+CM2=(3-d)2+9-d2,由(2)得AB?AC=BC

13、AC2=-4d2+6d+182812+,4-3、=-4(d)43一当d=一,即481一,43一OM=_时，AB?AC最大，最大值为4227DC2=,236.AC=DC=36,2，AB=子此时工点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点.10.（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切.以此类推，如图1,各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形（性质探究）如图1,试探究圆外切四边形的ABCD两

14、组又边AB,CD与BC,AD之间的数量关系猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（利用图1,写出已知、求证、证明）（性质应用）初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（填序号）A:平行四边形：B:菱形：C:矩形；D:正方形如图2,圆外切四边形ABCD,且AB=12,CD=8,则四边形的周长是圆外切四边形的周长为48cm,相邻的三条边的比为5:4:7,求四边形各边的长.【解析】【分析】(1)根据切线长定理即可得出结论；(2)圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论.【详解

15、】性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：如图1,已知：四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA都于。相切于G,F,E,H.求证：AD+BCAB+CD.证明：AB,AD和。相切，AG=AH,同理：BG=BF,CE=CF,DE=DH,.AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD,即：圆外切四边形的对边和相等.故答案为：圆外切四边形的对边和相等；性质应用：根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等.平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等.故答案为：B,D；二.圆外切四边形ABCD,AB+CD=AD+BC.AB=12

16、,CD=8,AD+BC=12+8=20,，四边形的周长是AB+CD+AD+BC=20+20=40.故答案为：40;相邻的三条边的比为5：4：7,设此三边为5x,4x,7x,根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x+7x-4x=8x.;圆外切四边形的周长为48cm,.-.4x+5x+7x+8x=24x=48,.x=2,，此四边形的四边为4x=8cm,5x=10cm,7x=14cm,8x=16cm.C/【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关键.11.如图.在4ABC中，/C=

17、90,AC=BC,AB=30cm,点P在AB上,AP=10cm,点E从点P出发沿线段PA以2cm/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以1cm/s的速度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH使它与4ABC在线段AB的同侧，设点EF运动的时间为t(s)(0vtv20).(1)当点H落在AC边上时，求t的值；(2)设正方形EFGH与4ABC重叠部分的面积为S.试求S关于t的函数表达式；以点C为圆心，1t为半径作0C,当。C与GH所在的直线相切时，求此时S的值.29t2?(0t2)7.2【答案】(1)t=2s或10s；

18、(2)S=-t50t50(2t10);100cm2.2t240t400?(10t20)【解析】试题分析：(1)如图1中，当0vtW5时，由题意AE=EH=EF,即10-2t=3t,t=2;如图2中，当5vtv20时，AE=HE,2t-10=10-(2t10)+t,t=10;(2)分四种切线讨论a、如图3中，当0vtW2时，重叠部分是正方形EFGHS=(3t)2=9t2.b、如图4中，当2vtW5时，重叠部分是五边形EFGMN.c、如图5中，当5t10时，重叠部分是五边形EFGMN.d、如图6中，当10vtv20时，重叠部分是正方形EFGH分别计算即可；分两种情形分别列出方程即可解决问题.试题解

19、析：解：(1)如图1中，当0vtW5时，由题意得：AE=EH=EF,即10-2t=3t,t=2(2)如图3中，当0VtW2时，重叠部分是正方形EFGH,S=(3t)2=9t2如图2中，当5vtv20时，AE=HE,2t-10=10-(2t10)+t,t=10.综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上.如图4中，当2vtW5时，重叠部分是五边形EFGMN,S=(3t)2-(5t-10)2=-27t2+50t-50.2S=(20-t)21c(30-3t)2=-27t2+50t-50.2EFGHS=(20-t)2=t2-40t+400.29t2?(0t2)72综上所述：S=-1250t50(2

20、t10)t240t400?(10t20)30t=，7此时S=100cm2,当5vtv20时,1如图7中，当0vtW5时，-t+3t=15,解得:21_,_-t+20-t=15,解得：t=10,此时S=100.2AePFNB图7综上所述：当OC与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题.12.如图，AD是4ABC的角平分线，以AD为弦的。交AB、AC于E、F,已知EF/BC.(1)求证：BC是。的切线；(2)若已知

21、AE=9,CF=4,求DE长；(3)在(2)的条件下，若/BAC=60,求tan/AFE的值及GD长.BDC18.36/55【答案】(1)证明见解析(2)DE=6(3)【解析】试题分析：(1)连接od,由角平分线的定义得到/1=/2,得到dedf,根据垂径定理得到ODLEF,根据平行线的性质得到ODLBC,于是得到结论；(2)连接DE,由DEDF,得到DE=DF,根据平行线的性质得到/3=/4,等量代换得到/1=/4,根据相似三角形的性质即可得到结论；(3)过F作FHIBC于H,由已知条件得到/1=/2=/3=/4=30,解直角三角形得到11FH=DF=X6=3DH=3石,CH=VcF2HF2

22、J7，根据二角函数的7E义得到tan/AFE=tanZC=HF37;根据相似三角形到现在即可得到结论.CH7试题解析：(1)连接OD,AD是ABC的角平分线，/1=72,DeDf, ODXEF, EF/BC, ODXBC, .BC是。O的切线；(2)连接DEDeDf,.DE=DF EF/BC,/3=/4, -/1=/3,/1=/4, /DFC玄AED, .AEDADFC,AEDE9DE，即，DFCFDE4 .DE2=36, .DE=6；(3)过F作FHIBC于H, /BAC=60；.1./1=/2=Z3=Z4=30；FH=-DF=-6=3,DH=3石，22，ch=，CF2HF2.7， EF/B

23、C,/C=ZAFE,HF3、7tanZAFE=tanZC=;CH7/4=/2./C=/C,.ADCADFC,ADCDDFCF/5=/5,/3=/2,.ADQDG,ADDFdFDG，.CDDF即3、.3.76CFDG4DG18.36.7DG=5点睛：本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键13.如图，已知AB为。的直径，AB=8,点C和点D是。O上关于直线AB对称的两个点，连接OCAC,且/BOC90,直线BC和直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且/GAF=/GCE(1)

24、求证：直线CG为。的切线；(2)若点H为线段OB上一点，连接CH,满足CB=CH,CBHkOBC求OH+HC的最大值【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；5.【解析】分析：(1)由题意可知：/CAB=/GAF,由圆的性质可知：/CAB=/OCA,所以/OCA=/GCE，从而可证明直线CG是。O的切线；(2)由于CB=CH所以/CBH=/CHB,易证/CBH=/OCB,从而可证明CBHAOBC；BCHB一BC2OCBC由CBHOBC可知：=，所以HB=B,由于BC=HC所以BC2OH+HC=4-+BC,利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值.详解：（1）由题意可知：/CAB=/GAF

25、,.AB是。的直径，/ACB=90,.OA=OC,ZCAB=ZOCA, /OCA+ZOCB=90； /GAF=ZGCE /GCE吆OCB=ZOCA+ZOCB=90； OC是。的半径， 直线CG是。的切线；(2)CB=CFi/CBH=ZCHB, .OB=OC,/CBH=/OCB, .CBHAOBC由CBHMOBC可知:BC_HBOCBC .AB=8,BC2=HB?OC=4HBBC2.HB=,4BC2.OH=OB-HB=4-4.CB=CHBC2.OH+HC=4-p+BC,当/BOC=90,此时BC=4.、2 /BOC90； .0BCv4乏,令BC=x贝UCH=x,2BH=4OHHC当x=2时，.O

26、H+HC可取得最大值,最大值为点睛：本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识.14.如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的。与AD、AC分别交于点E、F,且/ACB=/DCE(1)判断直线CE与。O的位置关系，并说明理由；(2)若AB=短,BC=2,求。O的半径.DC【答案】(1)直线CE与。O相切，理由见解析；(2)。的半径为Y64【解析】【分析】(1)首先连接OE,由OE=OA与四边形ABCD是矩形，易求得/DEC吆OEA=90,即OEEC即可证得直线CE与。O的位置关系是相切；(2)首

27、先易证得CD4CBA,然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长，又由勾股定理即可求得AC的长，然后设OA为x,即可得方程(73)2x2(J6x)2,解此方程即可求得。的半径.【详解】解：(1)直线CE与。O相切.理由：连接OE, 四边形ABCD是矩形，ZB=ZD=ZBAD=90,BC/AD,CD=AB, /DCEf/DEC=90,/ACB=/DAC,又/DCE=/ACB, /DEG/DAC=90; .OE=OA,/OEA=/DAC, /DEG/OEA=90,/OEC=90；.-.OEEC, .OE为圆O半径， 直线CE与。O相切；(2),./B=/D,/DCE=/ACR.CDECBA

28、,BCABDCDE又CAAB=点，BCU2,，DE=1根据勾股定理得EC=/3,又acJab2bc2B设oa为x,则（J3）2x2（J6x）2,解得x-6,4【点睛】此题考查了切线的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法.15.如图，AB是eO的直径，弦CDAB于点E,过点C的切线交AB的延长线于点F,连接DF.(1)求证：DF是eO的切线；(2)连接BC,若BCF30,BF2,求CD的长.【答案】(1)见解析；(2)2J3【解析】【分析】(1)连接OD,由垂径定理证OF为CD的垂直平分线，得CF=DF/CDF=/DCF,由/CDO=/OCD,再证ZCDO+/CDB=ZOCD+/DCF=90,可得ODDF,结论成立.(2)由/OCF=90,/BCF=30,得/OCB=60,再证AOC的等边三角形，得ZCOB=60,可得/CFO=30,所以FO=2OC=2OBFB=OB=OC=2在直角三角形OCE中，解直角三角形可得CE再推出CD=2CE.【详解】(1)证明：连接OD.CF是。O的切线/O