中考数学第二轮专题突破能力提升专题集训10等腰三角形探究试题

1、专题集训10等腰三角形探究、选择题1 .如图，点A的坐标为（0,1）,点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角ABC使/BAG=90°,设点B的横坐标为x,点C的纵坐标为y,能表示y与x的函数关系的图象大致是（A）【解析】如图，作AD/x轴，作CDLAD于点D,由已知可得，OB=x,OA=1,/AOB=90°,ZBAC=90°,AB=AC点C的纵坐标是y,.AD/x轴，DAQ-/AO9180°,./DAO=90°,./OABH/BAD=/BADFZDAC=90°,OAB=/DAC可证OAB2DACAAS),，OB=CD=点C到

2、x轴的距离为y,点D到x轴的距离等于点A到x的距离1,y=x+1(x>0).故选A.2 .如图，/AO比120,。冲分/AOB且O由2.若点MN分别在OAOB±,且PMN为等边三角形，则满足上述条件的PMNT（D）A.1个B.2个C.3个D.3个以上如图，在OAOB上截取OE=OF=OP作/MPNh60.OP平分/AOB，/EOP=/POF=60,.OP=OE=OF.OPEOPF>等边三角形，EP=OP/EPO=ZOEP=ZPON=/MPNh60°,./EPIM=/OPN可证4PE阵PO(ASA),.PM=PN:/MPNk60,.POM1等边三角形，只要/MPN

3、h60°,PMNt是等边三角形，故这样的三角形有无数个.、填空题3.正方形ABCD勺边长是4,点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点，若PBE是等腰三角形，则腰长为2/M5度隼.【解析】如图，取E为C,则PB=PO245;在AB上取E使PE=ER如图，设AE2235=x,(4x)=x+4,解得x=2,使P&2；在BP上取中点M如图，作MHPB交DC于E设EC=x,由PE=BE知42+x2=22+(4x)2,解得x=；,，PE=22+(4J2=254.如图，在菱形ABC计，/ABC=60。若以点P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,离为_2j32_.【葡析】如图，连结ACB

4、D交于点Q,AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点,则P,RP,D两点不重合以B为圆心BC为半径画圆交)两点间的最短距BDTP.此时PBC是等腰三角形，线段PD最短，:四边形ABCD1菱形，/ABC=60°,，AB=BC=CD=AD/ABC=ZADC=60,.ABCADC是等边三角形，B0=DO=乎*2=3,.BD=2B0=2遮PD/Nt=BD-BP=2/3-2.三、解答题5.如图，已知点A(1,2)是反比例函数y=k图象上的一点，连结A0并延长交双曲线的x另一分支于点B,点P是x轴上一动点；若PA配等腰三角形，求点P的坐标.k解：:反比例函数y=,图象关于原点对称，.A,B两点关

5、于O对称，O为AB的中点，x且R1,2),，当4PAB为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB设P点坐标为(x,0),A(1,2),B(-1,2),.AB=.1(1)2+2(2)2=2邓,PA=q(x1)2+22,PB-#(x+1)2+(2)2,当PA=AB时，则有寸(x1)2+22=245解得x=3或5,此时P点坐标为(3,0)或(5,0);当PB=AB时，则有?(x+1)2+(2)2=2后解得x=3或一5,此日P点坐标为(3,0)或(一5,0).综上可知P点的坐标为(一3,0)或(5,0)或(3,0)或(5,0)6.如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0),R3,0)两

6、点，与y轴交于点C(0,3),顶点为D.(1)求此抛物线的解析式；(2)探究对称轴上是否存在一点若存在，请求出所有符合条件的P,使得以点P,D,A为顶点的三角形是等腰三角形?P点的坐标，若不存在，请说明理由.解：(1)二.抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0),R3,0)两点，与y轴-2ax(-1)+bx(-1)+c=0,a=1,交于点C(0,-3),aX32+3b+c=0,解得彳b=2,即此抛物线的解c=-3,、c=-3,析式是y=x2-2x-3;(2)存在一点P,使得以点P,D,A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为(1,y),当PA=PD时，(-1-1)2+(0-

7、y)2=2233q(1-1)2+(-4-y),解得y=2,即点P的坐标为(1,一万)；当DA=DP时，«(-1-1)2+0-(-4)2=7(11)2+(4y)2,解得y=4±2，5,即点P的坐标为(1,4275)或(1,4+25);当AD=AP时，7(TT)2+0(4)2=M(-1-1)2+(0-y)2,解得y=±4,即点P的坐标是(1,4)或(1,4),当点P为(1,4)时与点D重合，故不符合题意，由上可得，以点P,D,A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为(1,3)或(1,4245)或(1,4+2，5)或(1,4)7.在等腰直角三角形ABC,/BAC=9

8、0°,AB=AC直线MN±点A且MIN/BC过点B为一锐角顶点作RtABDIEZBDE=90°,且点D在直线MN±(不与点A重合)，如图1,DE与AC交于点P,易证：BD=DP(无需写证明过程)(1)在图2中，DE与CA的延长线交于点P,BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；(2)在图3中，DE与AC的延长线交于点P,BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明.DA图I(这是边文，请据需要手工删加解：MD图2(1)BD=DP成立，证明：如图2,过点D作DF±MN交AB的延长线与点F,则4ADF为等腰直角三角形，

9、DA=DF/.Z1+ZADB=90°,ZADBbZ2=90,，/1=/2.在4BDF与PDA中，fZ1=Z2,DF=DADFB=/DAP=45BDgPDAASA,bBD=DP(2)BD=DP.证明：如图3,过点D作DFLMN交BA的延长线于点F,则4ADF为等腰/F=ZPAD=45°,直角三角形，DA=DF.在4BDF与4PDA中，$DF=DALBDF=/PDABD=DP(这是边文，请据需要手工删加)O是原点，矩形OABC勺顶点A在x轴的正半轴上,8.如图，在平面直角坐标系中，点顶点C在y的正半轴上，点B(5,3),抛物线y=mx2+bx+c经过A,C两点，与x轴的另5个交

10、点是点D,连结BD(1)求抛物线的解析式;(2)点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D-B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BZD匀速运动，当点P到达点B时，P,Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D,P,Q为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有符合条件t的值.A(5,0),C(0,3).点A(5,0),C(0,3)在抛物解：(1)丁矩形ABCDR5,3),线y=|x2+bx+c上，5$5解得b=三,c=3,抛物线的解析式为y=-x2x+3(2)555!.c=3,一43.、在Rf的中，AB=3,AA4,则BD=5,.sinZABD=5,血/阳及5.以

11、D,P，Q为顶点的三角形是等腰三角形，则：若PD=PQ如答图1,此时有PD=PQ=BQ=t,过点Q作QELBD于点E,贝UBE=PEBE=BQ-cosB=3t,QE=BQ-sinB=|t,.DE=t+(t=|t,由勾股定理得DQ=DE+QLAD+AQ，即和2+康)2=42+(3-t)2,整理得11t2+30t-125一一.2525=0,斛得t=11或t=5(舍去)，.t=11；BB若PD=DQ如答图2,此时PD=t,DQ=AB+AD-t=7-t,t=7t,t=：;若PQ=DQ如答图3,.PD=t,.BP=5t;/DQ=7t,：PQ=7t,AQ=4-(7-t)44=t3,过点P作PF,AB于点F,则PF=PB-sinB=(5t)X二=4二t,BF=PB-cosB=55，3(5-t)X5333=35-=AB-BF=3(3g)/.过点P作PE±AD于点E,则四边形PEAF为矩形，P