中考数学圆的综合的综合专项训练及详细答案

1、中考数学圆的综合的综合专项训练及详细答案一、圆的综合1.如图，。是4ABC的外接圆，点E为4ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F,交。O于点D;连接BD,过点D作直线DM,使/BDM=/DAC.(1)求证：直线DM是。O的切线；【答案】(1)证明见解析(2)2J3【解析】【分析】(1)根据垂径定理的推论即可得到ODLBC,再根据/BDM=/DBC,即可判定BC/DM,进而彳#到ODLDM,据此可得直线DM是。的切线；(2)根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到/BED=/EBD,即可得出DB=DE,再判定DBQ4DAB,即可得到DB2=DF?DA,据此解答即可.【详解】(1)如图

2、所示，连接OD.点E是4ABC的内心,ZBAD=ZCAD,BdCd,OD±BC.又./BDM=/DAC,/DAC=/DBC,./BDM=/DBC,.BC/DM,.1.ODXDM.又OD为。O半径，.直线DM是。的切线.(2)连接BE.E为内心，/ABE=/CBE/BAD=ZCAD,/DBC=ZCAD,./BAD=ZDBC,./BAE+ZABE=ZCBEZDBC,即ZBED=ZDBE,.BD=DE.又/BDF=/ADB（公共角），.DBFsDAB,.正里即DB2=DF?DADBDA'.DF=2,AF=4,DA=DF+AF=6,.DB2=DF?DA=12,.DB=DE=2J3.【

3、点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.2.如图，点A、B、C分别是。上的点，CD是。的直径，P是CD延长线上的一点,AP=AC(1)若/B=60°,求证：AP是。的切线；(2)若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E,CD=4,求BEAB的值.【答案】(1)证明见解析；(2)8.【解析】(1)求出/ADC的度数，求出/P、/ACQ/OAC度数，求出/OAP=90,根据切线判定推出即可；(2)求出BD

4、长，求出4DBE和4ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案.CD是直径,/DAC=90；/ACO=180-90-6030； .AP=AC,OA=OC/OAC=ZACD=30；/P=ZACD=30,°/OAP=180-30-30-3090；即OALAP, .OA为半径， .AP是。切线.(2)连接AD,BD,.CD是直径,/DBC=90；.CD=4,B为弧CD中点,一人"BD=BC=e,/BDC=ZBCD=45,°/DAB=ZDCB=45；即/BDE=/DAB,/DBE=ZDBA,.,.DBEAABD,BDAB.至工前.,.BE?AB=BD?BD=V2X2G=8考

5、点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定与性质.3.如图1,直角梯形OABC中，BC/OA,OA=6,BC=2,/BAO=45°.(2)D是OA上一点，以BD为直径作OM,OM交AB于点Q.当OM与y轴相切时，sin/BOQ=;(3)如图2,动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B-C-。向点O运动.当点P到达点A时，两点同时停止运动.过点P作直线PE/OC,与折线O-B-A交于点E.设点P运动的时间为t(秒).求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标.【答案】(1)4;(2);(3)点E的坐标为(1,2)、(,

6、)>(4,2).533分析：(1)过点B作BHOA于H,如图1(1),易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH,只需在4AHB中运用三角函数求出BH即可.(2)过点B作BHLOA于H,过点G作GF,OA于F,过点B作BR±OG于R,连接MN、DG,如图1(2),则有OH=2,BH=4,MNLOC.设圆的半径为r,则MN=MB=MD=r.在BHD中运用勾股定理可求出r=2,从而得到点D与点H重合.易证AFGAADB,从而可求出AF、GF、OF、OSOB、AB>BG.设OR=x,利用BR2=OB2-OR2=BG2-RG2可求出x,进而可求出BR在RORB中运用三角函数就可解

7、决问题.(3)由于4BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况(ZBDE=90°,ZBED=90°,ZDBE=90°)讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题.详解：(1)过点B作BHLOA于H,如图1(1),则有/BHA=90°=/COA,OC/BH. BC/OA,.四边形OCBH是矩形，.OOBH,BC=OH. OA=6,BC=2,AH=0A-OH=OA-BC=6-2=4. ZBHA=90°,ZBAO=45°,tan/BAH=BH-=1,BH=HA=4,OC=BH=4.HA故答案为4.(2)

8、过点B作BHOA于H,过点G作GF±OA于F,过点B作BR±OG于R,连接MN、DG,如图1(2).由(1)得：OH=2,BH=4.OC与。M相切于N,MN±OC.设圆的半径为r,则MN=MB=MD=r.BC±OC,OA±OC,BC/MN/OA.一一一一1, BM=DM,CN=ON,，MN=(BGOD),.OD=2r-2,2.DH=ODOH在RtABHD中,=2r4.解得：r=2,DH=0,BD是。M的直径，GF±OA,BDXOA,AFGFAG1AD-BD"AB"2ZBHD=90°,BD2=BH2+DH2

9、,(2r)2=42+(2r-4)2.即点D与点H重合，BDX0A,BD=AD./BGD=90°,即DGXAB,BG=AG.GF/BD,AAFGAADB,AF=1AD=2,GF=1BD=2,，OF=4,22-og=Jof2_gf2=V42?=2而.一一1一同理可得：OB=2而，AB=472，-BG=-AB=272-2设OR=x,则RG=2J5x.BR±OG,ZBRO=ZBRG=90°,BR2=OB2-OR2=BG2-RG2,(2而)2-x2=(272)2-(2石x)2.解得：x=M,，BF2=OB2-OR2=（2Q）2-（逃）2=36,，BR=_6/5.5555在R

10、tAORB中,BRsin/BOR=2；5OB3故答案为一.5（3）当/BDE=90°时，点D在直线PE上，如图2.此时DP=OC=4,BD+OP=BD+CD=BC=2,BD=t,0PM.则有2t=2.解得：t=1.则OP=CD=DB=1.DE/OC,ABDEABCO,/.DE=-BD=1,.DE=2,.EP=2,OCBC2点E的坐标为（1,2）.当/BED=90°时，如图3./DBE=OBC,ZDEB=ZBCO=90°,DBEAOBC,BEDBBEt、5=,=-产，-BE=1.BCOB22.55PE/OC,ZOEP=ZBOC.ZOPE=ZBCO=90°,

11、AOPEABCO,OEOPOEt八=，=，,OE=v5t.OBBC2.52OE+BE=OB=2、5,5解得：t=5,.OP=5,t+争=2芯.OE=竽，喑丘2op2=£，,_一510、.点E的坐标为（一，）4.33当/DBE=90°时，如图此时PE=PA=6t,OD=OC+BC-t=6-t.贝U有OD=PE,EA=7pE1_PA2-=V2（6t）=6我一72>,.BE=BA-EA=472-（65/2-72t）=t-272-PE/OD,OD=PE,ZDOP=90°,，四边形ODEP是矩形，.DE=OP=t,DE/OP,/BED=ZBAO=45:，BE2在RtA

12、DBE中，cosZBED=-=-,-DE=J2BE,t=历质t-2折）=2t-4.解得：t=4,.0P=4,PE=6-4=2,，点E的坐标为（4,2）.综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为（1,2）、(4,2)点睛：本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定®1(2)义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，有一定的综合性.4.如图，在锐角4ABC中，AC是最短边.以AC为直径的。O,交BC于D,过O作OE/BC,交OD于E,连接ADAE、CE(1)求证：/ACE玄DCE；(2)若/B

13、=45,/BAE=15,求/EAO的度数；【答案】(1)证明见解析,【解析】2)60。；(3)433【分析】(1)易证/OEG/OCE/OEG/ECD从而可知ZOCE=ZECD,即/ACE=/DCE;(2)延长AE交BC于点G,易证ZAGC=ZB+ZBAG=60°,由于OE/BC,所以/AEO=/AGC=60；所以/EAO=/AEO=60-SVCOE1,一SVCDF2.、，SVCDF1(3)易证VC°-由于资D工所以三空=，由圆周角定理可知SVCAE2SVCOE3SVCAE3/AEO/FDO90；从而可证明CDQ4CEA利用三角形相似的性质即可求出答案.【详解】(1) OC

14、=OE,ZOEC=ZOCE1.OE/BC,./OEG/ECD/OCE=/ECD即/ACE=/DCE(2)延长AE交BC于点G./AGC是ABG的外角，ZAGC=ZB+ZBAG=60:1. OE/BC,/AEO=ZAGC=60:.OA=OE,/EAO=ZAEO=60:(3):。是AC中点，SVC沮SVCAE2SVCDFQSVCOESVCDF1=SVCAE3.AC是直径，/AEO/FDO90:/ACE=/FCD,ACDFACEA，碧=3'-CF=CA=43【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学

15、生灵活运用所学知识.5.已知AB,CD都是eO的直径，连接DB,过点C的切线交DB的延长线于点E.1如图1,求证：AOD2E1800；2如图2,过点A作AFEC交EC的延长线于点F,过点D作DGAB,垂足为点G,求证：DGCF;DG3八3如图3,在2的条件下，当一时，在eO外取一点H,连接CH、DH分别交CE4eO于点M、N,且HDEHCE，点P在HD的延长线上，连接PO并延长交CM于点Q,若PD11,DN14,MQOB,求线段HM的长.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)8J37【解析】【分析】(1)由/D+/E=90°,可得2/D+2/E=180°,只要证明/

16、AOD=2/D即可；(2)如图2中，作OR，AF于R.只要证明4AO宅ODG即可；(3)如图3中，连接BGOM、ON、CN,彳BTLCL于T,作NK±CH于K,设CH交DE于W.解直角三角形分别求出KM,KH即可；【详解】1证明：如图1中，QeO与CE相切于点C,OCCE,OCE900,DE900,2D2E180°,QAODCOB,BOC2D,AOD2D,AOD2E18002证明：如图2中，作ORAF于R.QOCFFORF90°,四边形OCFR是矩形，AF/CD,CFOR,AAOD,在VAOR和VODG中，QAAOD,AROOGD90°，0ADO，VAO

17、RVODG,ORDG,DGCF,3解：如图3中，连接BCOM、ON、CN,彳BTCL于T,作NKCH于K,设CH交DE于W.设DG3m,则CF3m,CE4m,QOCFFBTE900,AF/OC/BT,QOAOB,CTCF3m,ETm,QCD为直径，CBDCND900CBE，E90°EBTCBT,tanEtanCBT,BTCT,ETBTBT3m，mBTBTJ3m（负根已经舍弃），tan，3mmE60°，QCWDHDEH,HDEHCE,HE60°，MON2HCN600,QOMON,VOMN是等边三角形,MNON,QQMOBOM,MOQMQO,QMOQPON180oMO

18、N120°,MQOP180oH1200,PONP,ONNP141125,CD2ON50,MNON25,在RtVCDN中，CNJCD2DN2痴214248，在RtVCHN中，tanH空出-73,HNHNHN16百，1&在RtVKNH中，KH-HN8<3,NKHN24,22在RtVNMK中，mKJMN2NK2,2522427,HMHKMK8后7.本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题的关键.6.如图1,将长为10的线段OA绕点O旋转90得到OB,点A的运动轨

19、迹为AB，P是半径ob上一动点，q是Ab上的一动点，连接pq.发现：ZPOQ=时，PQ有最大值，最大值为;思考：(1)如图2,若P是OB中点，且QPLOB于点P,求？Q的长；(2)如图3,将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B'恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积；探究：如图4,将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB恰好与半径OA相切，切点为C,若OP=6,求点O到折痕PQ的距离.【答案】发现：90°,10J2；思考：(1)-；(2)25兀-100/2+100；(3)点O到折痕PQ的距离为J30.【解析】分析：发现：先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B

20、重合，即可得出结论；思考：(1)先判断出/POQ=60,最后用弧长用弧长公式即可得出结论；(2)先在RtAB'OP中，OP2+(10J2-10)2=(10-OP)2,解得OP=10j2-10,最后用面积的和差即可得出结论.探究：先找点。关于PQ的对称点O',连接OO'、O'BO'CO'R证明四边形OCOB是矩形，由勾股定理求O'H从而求出OO的长，则OM=OC(/3q.2详解：发现：:p是半径ob上一动点，q是ab上的一动点,当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，此时，/POQ=90,PQ=7OA2OB2=1072；思考：(1)

21、如图，连接OQ,()点P是OB的中点，1 1.OP=-OB=-OQ.,.QPXOB,/ OPQ=90°OP1在RtAOPQ中cos/QOP=一OQ2/ QOP=60；601010/ bq=-;(2)由折叠的性质可得，BP=BP,在RtB'OP中，OP2+(10亚-10)2=解得OP=10j2-10,1803AB=AB=1072,-29010S阴影=S扇形aob-2Saaop=360(10-OP)21 10(10210)2 =25兀-100J2+100；探究：如图2,找点O关于PQ的对称点O',连接OO、O'RO'CO'R则OM=OM,OOPQ,

22、O'P=OP=3点O'是?Q所在圆的圆心,图1圄？ ,.O'C=OB=10;折叠后的弧QB'恰好与半径OA相切于C点, .O'dAO, O'(/OB, 四边形OCO'庭矩形，在RtO'BPKO'B=62422V5，在.OBOK,OO=102(275)2=2而，1 1一.OM=OOX273q=J30,22即O到折痕PQ的距离为闻.点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式nR180(n为圆心角度数,R为圆半径)，明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分.

23、7.在。中，点C是AB上的一个动点(不与点A,B重合)，/ACB=120,点I是/ABC的内心，CI的延长线交。于点D,连结AD,BD.D(1)求证：AD=BD.(2)猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由.(3)若。的半径为2,点E,5是AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I随之运动形成的路径长.【答案】(1)证明见解析;2)AB=DI,理由见解析(【解析】分析：(1)根据内心的定义可得CI平分/ACB,可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；(2)根据/ACB=120,/ACD=/BCD,可求出/BAD的度数，再根据AD=BD,可证得ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三

24、角形的外角性质，证明/BID=/IBD,得出ID=BD,再本艮据AB=BD,即可证得结论；(3)连接DO,延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DIi为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E,F是弧AB?的三等分点，4ABD是等边三角形，可证得ZDAIi=ZAIiD,然后利用弧长的公式可求出点I随之运动形成的路径长.详解：(1)证明：二.点I是/ABC的内心.CI平分/ACB/ACD=ZBCD,弧AD=MBD.AD=BD(2)AB=DI理由：./ACB=120,/ACD=/BCD/BCDX120=60°弧BD=MBD/DAB=ZBC

25、D=60°.AD=BD.ABD是等边三角形，.AB=BD,/ABD=/C.I是4ABC的内心BI平分/ABC/CBI=ZABIZBID=ZC+ZCBI,/IBD=/ABI+/ABD/BID=ZIBD.ID=BD.AB=BD.AB=DI(3)解：如图，连接DO,延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆 ./ACB=120,°弧AD=MBD /AED/ACB=rX120=60°:圆的半径为2,DE是直径.DE=4,/EAD=90°，AD=sin/AEDXDE=X4=2 点E,F是弧AB?的三等分点，ABD是等边三角形，/ADB=60°

26、弧AB的度数为120； 弧AM、弧BF的度数都为为40°/ADM=20=/FAB /DAIi=ZFAB+ZDAB=80° /AIiD=180°-ZADM-/DAIi=180-20-80=80° /DAIi=ZAIiD.AD=IiD=2 弧I1I2的长为：2g邛_1瓦130一9点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透.8.某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径.如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16

27、cm,水最深的地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.【答案】10cm【解析】分析：先过圆心O作半径COLAB,交AB于点D设半彳仝为r,得出AD、OD的长，在RtAAOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径.详解：解：过点。作OC，AB于D,交。于C,连接OB,.OCXAB.BD=-AB=-X16=8cm22由题意可知，CD=4cm二设半径为xcm,则OD=(x-4)cm在RtABOD中,由勾股定理得：OD2+BD2=OB2(x4)2+82=x2解得：x=10.答：这个圆形截面的半径为10cm.C点睛：此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解.9.如图

28、，4ABC是。的内接三角形，点D,E在。上，连接AE,DE,CD,BE,CE,/EAC+CBAE=180,°知CD-(1)判断BE与CE之间的数量关系，并说明理由；(2)求证：ABEDCE;(3)若/EAC=60,BC=8,求。的半径.【答案】（1）BE=CE理由见解析；（2）证明见解析；（3）晅.3【解析】分析：（1）由A、B、C、E四点共圆的性质得：ZBCE-+ZBAE=180,贝U/BCE玄EAC,所以？E=CE，则弦相等；（2）根据SSS证明AB®4DCE；（3）作BC和BE两弦的弦心距，证明RtAGB8RtAHBO（HL）,则/OBH=30,设OH=x,则OB=2

29、x,根据勾股定理列方程求出x的值，可得半径的长.本题解析：（1）解：BE=CE理由：ZEAC-17BAE=180,/BCE47BAE=180,3 /BCE玄EAC,l?E=Ce,.BE=CE（2）证明：,%bCd，AB=CD:？e=Ce,AeEd，-ae=ed由（1）得：BE=CE在ABE和ADCE中，AEDE.ABCD,BECE4 .ABEADCE(SSS；(3)解：如图，二.过。作OGLBE于G,OHXBCH,BH=1BC=1X8=4BG=1BE,2225 BE=CE/EBC=ZEAC=60,°BEC是等边三角形,BE=BCBH=BG,6 .OB=OB,RtAGBORtAHBO(

30、HL),“1,/OBH=ZGBO=-/EBC=30,2设OH=x,贝UOB=2x,由勾股定理得：（2x）2=/+42,x=4叵，3.OB=2x=83,3。的半径为8.33点睛：本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、直角三角形30。的性质，难度适中，第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的结论；第三问作辅助线，利用勾股定理列方程是关键10.已知：BD为。的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作。的切线交DA的延长线于点F,点C为。上一点，且AB=AC,连接BC交AD于点E,连接AC.(1)如图1,求证：/ABF=/ABC;(2)如图2,点H为。内部一点，连

31、接OH,CH若/OHC=/HCA=90°时，求证：CH=1DA;2在(2)的条件下，若OH=6,。的半径为10,求CE的长.21见解析；(2)见解析；(3)一51由BD为eO的直径，得到DABD90°,根据切线的性质得到CABC,等量代换即可得到ACOCOH,根据等腰三角形ACBOCB,根据相似三角形FBAABD90°,根据等腰三角形的性质得到结论；2如图2,连接OC,根据平行线的判定和性质得到的性质得到OBCOCB,ABCCBO的性质即可得到结论；3根据相似三角形的性质得到妲里2,根据勾股定理得到OHOCADJBD2AB216,根据全等三角形的性质得到BFBE,

32、AFAE,根据射影122-定理得到AF-9,根据相交弦定理即可得到结论.16【详解】1QBD为eO的直径,BAD900,DABD900,QFB是eO的切线,FBD90°,FBAABD900,FBAQABABFABC;2如图2,连接OC,QOHCHCA90°,AC/OH,ACOCOHQOBOCOBCABC即ABDOCB,CBOACBOCB,ACO,ABCVABDCOH,BAD900,VHOC,ADCHBD一2,OCCH1-DA；23由2知，VABCsVHOC,ABBD八2,OHOCQOH6,eO的半径为10,AB2OH12,BD20,ADJBD2AB216,在VABF与VAB

33、E中，ABFABEABABBAFBAE90oVABFVABE,BFBE,AFAE,QFBDBAD900,AB2AFAD，AF1221615,AEAF9,DE7,beJab2AE2QAD,BC交于E,AEDEBECE,“AEDE9721CE-BE155本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，射影定理，相交弦定理，正确的识别图形是解题的关键.11.定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为智慧三角形”.理解：如图1,已知式3是。上两点，请在圆上找出满足条件的点C,使工州C为智

34、慧三角形”（画出点1c的位置，保留作图痕迹）；，-一、,-t-一一-1”，如图2,在正方形ASCD中，石是，C的中点，F是CD上一点，且CF=-CD，试判断Q4EF是否为智慧三角形”，并说明理由；运用：如图3,在平面直角坐标系戈6中，O0的半径为1,点2是直线y=3上的一点，若在。上存在一点P,使得3。尸。为智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点F的坐标.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）P的坐标（彦，1），（2匹，333【解析】试题分析：（1）连结AO并且延长交圆于C1,连结BO并且延长交圆于C2,即可求解；（2）设正方形的边长为4a,表示出DF=CF以及EGBE的长

35、，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2,再根据勾股定理逆定理判定AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得4AEF为智慧三角形”；（3）根据智慧三角形”的定义可得4OPQ为直角三角形,根据题意可得一条直角边为1,当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3,根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解.试题解析：（1）如图1所示：er图1(2) AAEF是否为智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a, .E是DC的中点， .DE=CE=2a,.BC:FC=4:1, .FC=

36、a,BF=4a-a=3a,在RtADE中，AE2=(4a)2+(2a)2=20a2,在RtECF中,E卢=(2a)2+a2=5a2,在RtMBF中,AF2=(4a)2+(3a)2=25a2,.ae2+ef2=af2, .AEF是直角三角形， 斜边AF上的中线等于AF的一半， .AEF为智慧三角形”；(3)如图3所示：由智慧三角形”的定义可得4OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1,当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值,由垂线段最短可得斜边最短为3,由勾股定理可得pq=JH=2点,PM=1X2+3=,3由勾股定理可求得OM=(纪/=；,故点P的坐标(-土，工)，(士,-).3

37、333考点：圆的综合题.12.如图，线段BC所在的直线是以AB为直径的圆的切线，点D为圆上一点，满足BD=BC,且点C、D位于直径AB的两侧，连接CD交圆于点E点F是BD上一点，连接EF,分别交AB、BD于点G、H,且EF=BD.求证：EF/BC；(2)若EH=4,HF=2,求？E的长.2-【答案】(1)见解析；(2)23【解析】【分析】(1)根据EF=BD可得Ef=?d,进而得到BE=DF,根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.(2)连接DF,根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”及平行线求出相等的角，利

38、用锐角三角函数求出ZBHG,进而求出/BDE的度数，确定BE所对的圆心角的度数，根据/DFH=90°确定DE为直径，代入弧长公式即可求解.【详解】;EF=BD,Ef=?DBe=Df/D=/DEF又BD=BC,/D=/C,/DEF=ZCEF/BC(2) .AB是直径，BC为切线，ABXBC又EF/BC,ABLEF,弧BF=<BE,一_1一一GF=GE=5(HF+EH)=3,HG=1DB平分/EDF,又BF/CD,/FBD=/FDB=/BDE=/BFH.-.HB=HF=2HG1.cos/BHG=,/BHG=60.HB2/FDB=/BDE=30°，/DFH=90；DE为直径

39、，DE=4石，且弧BE所对圆心角=60°.1 2，弧BE=-X4>/3=y363【点睛】本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键13.如图，等边4ABC内接于。O,P是弧AB上任一点(点P不与A、B重合)，连AP,BP,过C作CM/BP交PA的延长线于点M,(1)求证：4PCM为等边三角形；(2)若PA=1,PB=2,求梯形PBCM的面积.【答案】(1)见解析；(2)15S4【解析】【分析】(1)利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定4PCM为等边三角形；(2)利用上题

40、中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用PCM为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可.【详解】(1)证明：作PH，CM于H,.ABC是等边三角形，/APC=ZABC=60,°/BAC=ZBPC=60,°.CM/BP, /BPC玄PCM=60； .PCM为等边三角形；(2)解：4ABC是等边三角形，4PCM为等边三角形, /PCA+/ACM=ZBCP+/PCA, /BCP玄ACM,在BCPAACM中，BCACBCPACM,CPCM.,.BCFAACM(SAS),.PB=AM,CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+

41、2=3在RtAPMH中,/MPH=30,PH=,3,二.S梯形pbcmf(PB+CM)XPH=1x(2+3)4=1552224【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题.14.已知四边形ABCD是。的内接四边形，/DAB=120°,BC=CD,AD=4,AC=7,求AB的长度.【分析】CCD，进而得到,_、.一,一ULU作DELAC,BFLAC,根据弦、弧、圆周角、圆心角的关系，求得BC/DAC=/CAB=60；在RtAADE中，根据60锐角三角函数值，可求得DE=2J§,AE=2,再由RtADEC中，根据

42、勾股定理求出DC的长，在4BFC和4ABF中，利用60。角的锐角三角函数值及勾股定理求出AF的长，然后根据求出的两个结果，由AB=2AF,分类讨论求出AB的长即可.【详解】作DELAC,BF±AC, BC=CD,ULUUUUBCCD， /CAB-/DAC, /DAB=120；/DAC=/CAB=60°1 .DEXAC,/DEA=/DEC=90°,2 .sin60=DE,cos60°=4.DE=2.3,AE=2,-AC=7,.CE=5,37，DC=.2x3252BC=-37,.BFXAC,/BF七/BFC=90°,BFtan60=,BF+cF=BC,.BF=,3AF,V327af2V372,_八_3.AF=2或AF=，2oAFcos60=,AB.AB=2AF,当AF=2时，AB=2AF=4,.AB=AD, .DC=BC,AC=AC, .ADCAABC(SSS,/ADC=/ABC, .ABCD是圆内接四边形， /ADC+ZABC=180； /ADC-/ABO9