【步步高-通用(理)】2022届高三数学二轮专题突破-专题六-第2讲概率、随机变量及其分布

1、第2讲概率、随机变量及其分布【高考考情解读】1.该局部常考内容有几何概型、古典概型、条件概率，而几何概型常与平面几何、定积分交汇命题，古典概型常与排列、组合交汇命题；常考内容还有离散型随机变量分布列、均值、方差，常与相互独立事件的概率、n次独立重复试验交汇考查.2.从考查形式上来看，三种题型都有可能出现，选择题、填空题突出考查根底知识、根本技能，有时会在知识交汇点处命题；解答题那么着重考查知识的综合运用，考查统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量分布列等，都属于中、低档题1 随机事件的概率(1)随机事件的概率范围：0P(A)1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0.(2)古典概型的概率

2、P(A).(3)几何概型的概率P(A).2 条件概率在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A).3 相互独立事件同时发生的概率P(AB)P(A)P(B)4 独立重复试验如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.5 超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，那么P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.此时称随机变量X服从超几何分布超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.6 离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量可能取

3、的值为x1，x2，xi，取每一个值xi的概率为P(xi)pi，那么称下表：x1x2x3xiPp1p2p3pi为离散型随机变量的分布列(2)离散型随机变量的分布列具有两个性质：pi0，p1p2pi1(i1,2,3，)(3)E()x1p1x2p2xnpn为的数学期望，简称期望D()(x1E()2·p1(x2E()2·p2(xnE()2·pn叫做随机变量的方差(4)性质E(ab)aE()，D(ab)a2D()；XB(n，p)，那么E(X)np，D(X)np(1p)；X两点分布，那么E(X)p，D(X)p(1p)7 正态分布：假设XN(，2)，那么正态总体在三个特殊区间内

4、取值的概率P(<X)0.682 6；P(2<X2)0.954 4；P(3<X3)0.997 4.考点一古典概型与几何概型例1(1)(2022·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球工程的比赛假设每人都选择其中两个工程，那么有且仅有两人选择的工程完全相同的概率是_(结果用最简分数表示)(2)(2022·福建)如下图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，那么点P恰好取自阴影局部的概率为()A. B.C. D.答案(1)(2)C解析(1)利用古典概型的概率公式求解三位同学每人选择三项中的两项有CCC3×3×327(种)选法，其中有且仅有两人所

5、选工程完全相同的有CCC3×3×218(种)选法所求概率为P.(2)利用积分求出阴影局部的面积，应用几何概型的概率计算公式求解S阴影(x)dx，又S正方形OABC1，由几何概型知，P恰好取自阴影局部的概率为. (1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出根本领件总数和所求事件包含的根本领件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识(2)在求根本领件的个数时，要准确理解根本领件的构成，这样才能保证所求事件所包含的根本领件数的求法与根本领件总数的求法的一致性(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解 (1)(2022·江

6、苏)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，那么m，n都取到奇数的概率为_(2)(2022·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A. B. C. D.答案(1)(2)C解析(1)P.(2)设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为X、Y，X、Y相互独立，由题意可知，如下图两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|XY|2).考点二相互独立事件和独立重

7、复试验例2甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两局部，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6、0.5、0.4，能通过面试的概率分别是0.6、0.6、0.75.(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；(2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率 此题主要考查相互独立事件的概率求法，(1)的关键是利用转化与化归思想，把欲求概率的事件分解为3个互斥事件进行计算；(2)的关键是合理运用对立事件的概率公式计算求解解(1)分

8、别记“甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件A1、A2、A3；E表示事件“恰有一人通过笔试，那么P(E)P(A123)P(1A23)P(12A3)0.6×0.5×0.60.4×0.5×0.60.4×0.5×0.40.38.即恰有一人通过笔试的概率是0.38.(2)分别记“甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件A、B、C，那么P(A)0.6×0.60.36，P(B)0.5×0.60.3，P(C)0.4×0.750.3.事件F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取那么为：甲、乙、丙三人均没有被该高校预录

9、取，即 ，于是P(F)1P()1P()P()P()10.64×0.7×0.70.686 4.即经过两次考试后，至少有一人被预录取的概率是0.686 4. 求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解(2)一个复杂事件假设正面情况比拟多，反面情况较少，那么一般利用对立事件进行求解对于“至少“至多等问题往往也用这种方法求解(3)注意区分独立重复试验的根本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件

10、发生的概率相同 (1)某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，开关第一次闭合后出现红灯的概率是，两次闭合都出现红灯的概率为.那么在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率是_答案解析“第一次闭合后出现红灯记为事件A，“第二次闭合后出现红灯记为事件B，那么P(A)，P(AB).P(B|A).(2)将一枚均匀的硬币抛掷6次，那么正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_答案解析正面出现的次数比反面出现的次数多，那么正面可以出现4次，5次或6次，故所求的概率PC6C6C6.(3)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目

11、标，相互之间也没有影响求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；假设某人连续2次未击中目标，那么停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？设甲连续射击3次，用表示甲击中目标时射击的次数，求的数学期望E()解记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)1P()1()3.记“乙恰好射击4次后，被中止射击为事件A2，由于各事件相互独立，故P(A2)××××××.根据题意服从二项分布，E()3×2.考点三随机变量的分布列、均值与方差例3(2022·重庆

12、)某商场举行的“三色球购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)解设Ai(i0,1,2,3)表示摸到i个红球，Bj(j0,1)表示摸到j个蓝球，那么Ai与Bj独立(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1).(2)X的所有可能

13、值为：0,10,50,200，且P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)·，P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)·，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)·，P(X0)1.综上可知，获奖金额X的分布列为X01050200P从而有E(X)0×10×50×200×4(元) 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：(1)明确随机变量可能取哪些值(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值(3)根据分布列和期望、方差公式求解 (1)(2022·湖北)如图，将一个各面都涂了油

14、漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，那么X的均值E(X)等于()A. B.C. D.答案B解析125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值E(X)×1×2×3.(2)设15 000件产品中有1 000件废品，从中抽取150件进行检查，查得废品的均值为()A20 B10 C5 D15答案B解析抽一件产品为废品的概率为，抽取150件，即进行150次试验，因为产品数目较大，故可看成是独立重复试验，故查得废品数XB，所以E(X)150

15、×10.(3)(2022·浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的时机均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；从该袋子中任取(每球取到的时机均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数假设E()，D()，求abc.解由题意得2,3,4,5,6.故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列为23456P由题意知的分布列为123P所以E()，D()2·2·2·.化简得解得a3c，

16、b2c，故abc321.概率模型的应用，需熟练掌握以下常考的五种模型：(1)根本领件的发生具有等可能性，一般可以抽象转化为古典概型问题，解决古典概型问题的关键是分清根本领件个数n与事件A中包含的根本领件个数m；(2)与图形的长度、面积或体积有关的概率应用问题，一般可以应用几何概型求解，即随机事件A的概率可用“事件A包含的根本领件所占图形的度量(长度、面积或体积)与“试验的根本领件所占图形的度量(长度、面积或体积)之比表示；(3)两个事件或几个事件不能同时发生的应用问题，可转化为互斥事件来解决，解决这类问题的关键是分清事件是否互斥；(4)事件是否发生相互不影响的实际应用问题，可转化为独立事件的概

17、率问题，其中在相同条件下独立重复屡次的可转化为二项分布问题，应用独立事件同时发生的概率和二项分布公式求解；(5)有关平均值和稳定性的实际应用问题，一般可抽象为随机变量的期望与方差问题，先求出事件在各种情况下发生的概率，再应用公式求随机变量的期望和方差1 如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，那么系统正常工作的概率为()A0.960 B0.864 C0.720 D0.576答案B解析方法一由题意知K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)0.9，P(A1)0.8，P(A

18、2)0.8，K，A1，A2相互独立，A1，A2至少有一个正常工作的概率为P(A2)P(A12)P(A1A2)(10.8)×0.80.8×(10.8)0.8×0.80.96.系统正常工作的概率为P(K)P(A2)P(A12)P(A1A2)0.9×0.960.864.方法二A1，A2至少有一个正常工作的概率为1P(1 2)1(10.8)(10.8)0.96，系统正常工作的概率为P(K)1P(1 2)0.9×0.960.864.2 某保险公司新开设了一项保险业务，假设在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值

19、等于a的百分之十，公司应要求顾客交保险金为_元答案(0.1p)a解析设保险公司要求顾客交x元保险金，假设以表示公司每年的收益额，那么是一个随机变量，其分布列为：xxaP1pp因此，公司每年收益的期望值为E()x(1p)(xa)pxap.为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需E()0.1a，即xap0.1a，解得x(0.1p)a.即顾客的保险金为(0.1p)a时，可使公司期望获益10%a.3 甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即假设有一队先胜四场，那么此队为总冠军，比赛结束因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门

20、票收入比上一场增加10万元(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；(2)设总决赛中获得的门票总收入为X，求X的均值E(X)解(1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列设此数列为an，那么易知a140，an10n30，Sn300.解得n12(舍去)或n5，所以总决赛共比赛了5场那么前4场比赛的比分必为13，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为C()4.(2)随机变量X可取的值为S4，S5，S6，S7，即220,300,390,490.又P(X220)2·()4，P(X300)C()4，P(X390)C()5，P(X490)C()6.所以，X

21、的分布列为X220300390490P所以X的均值为E(X)220×300×390×490×377.5(万元)(推荐时间：60分钟)一、选择题1 (2022·课标全国)从1,2,3,4中任取2个不同的数，那么取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A. B. C. D.答案B解析根本领件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的根本领件的个数为2.所以，所求概率P，应选B.2 (2022·陕西)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内

22、无其他信号来源，基站工作正常)假设在该矩形区域内随机地选一地点，那么该地点无信号的概率是()A1 B.1C2 D.答案A解析由题意得无信号的区域面积为2×12××122，由几何概型的概率公式，得无信号的概率为P1.3 盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，那么在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率是()A. B. C. D.答案D解析设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡，那么P(A)，P(AB)×.那么所

23、求概率为P(B|A).4 甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，那么其中至少有一人被录取的概率为()A0.12 B0.42 C0.46 D0.88答案D解析由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(10.6)(10.7)0.12. 至少有一人被录取的概率为10.120.88.5 随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2X4)0.682 6，那么P(X>4)等于()A0.158 8 B0.158 7 C0.158 6 D0.158 5答案B解析由于X服从正态分布N(3,1)，故正态分布曲线的对称轴为x3.所以P(X>4)P

24、(X<2)，故P(X>4)0.158 7.6 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，那么X的数学期望为()A100 B200 C300 D400答案B解析种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为，那么B(1 000，0.1)，E()1 000×0.1100，故需补种的期望为2·E()200.二、填空题7 花园小区内有一块三边长分别是5 m，5 m，6 m的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，假设不考虑猫的大小，那么在任意指定的某时刻，小

25、花猫与三角形三个顶点的距离均超过2 m的概率是_答案1解析如下图，当小花猫与三角形ABC的三个顶点的距离均超过2 m时，小花猫要在图中的空白区域内由于三角形为等腰三角形，底边BC上的高AD4 m，所以ABC的面积是12 m2，因为三角形的内角和等于，那么图中的三个扇形的面积之和等于半径为2的圆面积的一半，即3个扇形的面积之和等于2，所以空白区域的面积为122，故所求的概率P1.8 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，在它们点数不同的条件下，至少有一枚是6点的概率是_答案解析设事件A“至少有一枚是6点，事件B“两枚骰子点数不同，先后投掷两枚骰子共有36种不同情况，且是等可能的，那么事件B共有6×

26、;530种不同情况，事件AB共有10种不同情况，即P(B)，P(AB)，那么P(A|B).9连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1,2,3,4,5,6)，现定义数列anSn是其前n项和，那么S53的概率是_答案解析该试验可看作一个独立重复试验，结果为1发生的概率为，结果为1发生的概率为，S53即5次试验中1发生一次，1发生四次，故其概率为C·()1()4.三、解答题10在中华老字号(上海著名品牌)“来伊份准备上市融资之际，2012年4月24日央视?消费主张?曝出长期以来“来伊份提供的蜜饯产品中添加剂严重超标，引起社会的强烈反响，上市之路也因此终止公司在整改的同时，也加强了自查的

27、力度，对每批出厂的蜜饯产品添加剂的含量进行抽检在自查一批蜜饯产品中，有放回地随机逐个抽取两次，从中取出的2件产品中至少有1件不是优质品的概率为0.19.(1)求从该批蜜饯产品中任取1件是优质品的概率；(2)假设该批蜜饯产品共50件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中优质品的件数，求的分布列解(1)设从该批蜜饯产品中任取1件是优质品的概率为p.记A表示事件“取出的2件产品中至少有1件不是优质品，A0表示事件“取出的2件产品中有1件是优质品，A1表示事件“取出的2件产品中都不是优质品，那么A0，A1为互斥事件，且AA0A1，故P(A)P(A0A1)P(A0)P(A1)Cp(1p)(1p)21p2，于是1p20.19，解得p0.9.(2)的所有可能的取值为0,1,2.由(1)，知优质品有50×0.945(件)，不是优质品的有5件P(0)，P(1)，P(2).所以的分布列为012P11.(2022·山东)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立(1)分别求甲队