11高数期中试题ckjd

1、:号学:名姓中国矿业大学(北京)2022级?高等数学期中试题?题号-一-二二三四五六七总分得分阅卷人填空题(每空3分，共30分)1.设y ex(ci sinx C2 cosx)为某个二阶常系数齐次线性微分方程的通解,那么该方程为y 2y' 2y 0。2.y1x, y2x ex,y3 1 x ex是二阶非齐次线性微分方程方程_xy p(x)y q(x) y f (x)的三个解，那么该方程的通解y GeC2x。3.设三向量a,b,c两两垂直,且1,詁丨迁，|C|1，那么 |a b c|=2。9.线有 2 条1 1 20dy ySinx dx(1 COS1)。210.设空间区域为：x2y2z

2、2R2，那么.x2y2z2dvR4、(10分)求微分方程y 6y 9y 9 e3x的通解解：该方程所对应的齐次方程的特征方程为齐次方程的通解为Y GC2x)e3x由于r 0不是特征根，而rr2 6r 9 0 ,解得 *3是二重根，故原方程的一个特解为力 A,y；Bx2e3x，于是 A 佃 £所以通解为y (g C2x)e3x 1 - x2e3x2三、(10分)求直线丿三在平面1 1 1:x y 2z 10上的投影直4.设一平面过原点及点(6, -3，2)，且与平面4x2z 8垂直，那么此平线L绕y轴旋转一周所形成的曲面的方程:级年业专5.6.面方程为 2x 2y 3z 0。函数f(x

3、,y)设方程F(x:院学x v 10解:直线L的一般式为:y z 10故过直线L的平面束方程可设为疋的连续区域02y4x乙y z) 0确定了隐函数z z(x, y)，其中F具有连续偏导数，贝 U 二二二 1。x y7. 函数u ln(x , y2 z2)在点A(1,0,1)处沿A指向点B(3, 2,2)方向的方向导数为12。8. 在曲线x t,yt2,z t3的所有切线中，与平面x 2y z 4平行的切x y 1 (y z 1)0,整理后得 x (1)y z 10.同时满足条件11 20,解得 2 ,所求投影直线L的一般式方程为x 3y 2z 1 0,直线的方向向量为(4,2, 1),且过点(

4、0,0,)x y 2z 1021z _将其化为标准式可得-2421x 4t参数式为y 2t ,那么L绕y轴旋转一周所形成的曲面的方程为1x 、：16t2(1 t)2 cosy 2tz、：16t2 (丄 t)2 sin 2四、(10分)设zf(ex,y)， 其中f具有二阶连续偏导数，求x2dz 与一z。x y解： dz fdxydx xdy2 2x(e f12x1f2 )dxf2dyx由此得由二阶偏导数连续，得-(丄 f2)x x212 2 2xyz2.求原点到椭圆144x y z 1解：目标函数为d(x, y,z)1的最远与最近距离x2y2z2 ,拉格朗日函数可设为2 22 2 2 z 2 y

5、 zF(x, y,z) x y z (x1)44Fx2x2 xoFy2yyo2xFz2zzo,解方程组可得y1222z«2yz1x1 o44xyz 1o7 一 9 8 一 9 8 一 9X2Y2Z2者1 o O(x y z 1),并令五、解以下各题(18分) 2 2 21.求曲面x3 yp z" 4上任意点处的切平面在三个坐标轴上截距的平方和.2 1 2 1 2 1解：曲面上切点(Xo,yo,Zo)处的法向量为(-xo 3, yo 3,- zo 3),故过点333经验证这两个点一个是极大值点，一个是极小值点，由题目本身可知，一定存在最大和最小值，所以最近距离为：d! 1,最

6、远距离为：d29六、(18分)计算以下各题1.求由曲线r 2cos所围均匀薄片对极点的转动惯量。(xo, yo ,zo)的切平面方程为：3x0 3(X X。)|yo(Y yo) |z°3(Z3332由于点(Xo,yo,Zo)在曲面上,所以X03Zo)2 - 3z0o.代入(1)式后化简可得：2丄 212283Xxo3 3Yyo3 3Zzo3 3截距式为：11Z1 14xo3 4y°?4zo322 2截距平方和为:16(xo3zo?) 64.(1)解：不妨设薄片密度为4 2 cos4 d"22. z . x2 y2dv ,其中z轴旋转一周而成的区域.1,那么I8 o

7、2 cosDE是yoz面上的曲线y2)dxdy"22cos解:曲线z y2绕z轴旋转一周而成的旋转曲面的方程为or2dr所围平面图形绕z x2y2，用柱面坐标计算三重积分可得：七、(10分)附加题设二元函数f(x,y)1r2dr012 zdzr1r2(1 r4)dr 0 2 2 21 'iyarcta n=22Jxy(x, y)(0,0)(x,y)(0,0)讨论f(x,y)在(0,0)的连续性、可偏导性与可微性。解：1连续性，只需证明爲)f(x,y)f(0,°)0即可。由于limyarcta n(x,y) (0,0)丿f(0,0)，因此 f(x, y)在(0,0)处连续。2> 由于 f (x,0)0，所以fx(0,0)0又 f(0,y)0,1y arctan |y|(x,y) (0,0)(x, y) (0,0)y arcta n 丄 lim山 y 02，因此 fy(0,0)-3)只需证明z是否等于fx(0,0)fy (0,0) y o()(其中=xy2)zQ lim0fx(0,0) xfy