11第3、4课时极限运算法则复习

1、总课题第一章函数、极限与连续总课时第21、22课时分课题1.6极限运算习题课分课时第3、4课时教学目标知识目标：1. 熟练掌握几种极限的计算方法；2. 掌握无穷大与无穷小的定义，并能够熟练进行无穷小的阶的 比拟并利用等价无穷小解决一些极限问题；3. 熟练掌握两个重要极限的理解及其应用技能目标：1. 等价量代换法的初步认知，为后续学习洛必达法那么以及无穷 级数打下根底；2. 培养学生学会观察问题、分析问题、解决问题的能力，要学 会自己总结的能力情感目标：经过这一个阶段的学习，相信学生对“ 5+2 专转本考试内容 中的极限局部应该有了初步的认识和掌握， 在本课教学过程中着重 针对考试常见的题型进行

2、专项训练，尤其是对两个重要极限和无穷 大与无穷小问题进行分析，使得学生能够深刻体会和理解极限的本 质，虽然极限的数学严格定义并没有进行复习，但是相信学生应该 比初学时能够有更为深刻的认识.重点难点1. 两个重要极限、迫敛定理以及洛必达法那么的重要应用；2. 函数极限反问题的解决方法习题式教学法学生活动教学方法要求学生能够在熟练掌握极限运算法那么的根底上，充分结合两个重要极限以及无穷小与无穷大的关系能够熟练掌握极限的各种计算方法例题练习二、用两个重要公式例1 .求limxsin xx1 tanx 1 sinxx 1 cosx解一：原式tan x 1 sin x 1lim0:x 0 x 1 cos

3、x 1 tanx 、1 sinx1tan x 1 cosx1 tan xlimlim2x 0 x 1 cosx2 x 0 x1、本课是在上一次课 的根底上对求极限问 题进行有针对性的训 练，主要涉及两个重要 极限、迫敛定理的应 用、洛必达法那么的应用 以及无穷小的等价代 换等，要求学生能够结 合具体的例子进行逐 层分析并予以解决；解二：原式V1 tan x 1<1 sin x 1limx 0x 1 cosxbim2 xtanx sinx0 x 1 cosx1 tan x lim2 x 0 x例3 .求limnxxcos 一 cos一24x cos2n例4 .求以下极限x 10学生活动(1

4、)limx(2)xm0(3)limx(4)limx2x2x求以下极限(1)lim 1xcotxtan x4(2) lim xx 1x 1(3)lim cosxx 0cot2 x(4) lim cosxx 02csc 3x2、两个重要极限的应 用是专转本考试考察 极限局部内容的重点, 要求学生能够判断出 是否属于两个重要极 限的类型，并试着说一 说解决的方法，并予以 解决；三、用迫敛定理求极限1 3 5例1 .求limn 2 4 62n2n3、迫敛定理中的例1 较为复杂，关键在于学 生不容易想到，要求学 生先试着说一说该数 列的极限是否存在，并 且变化趋势如何以上解：令Xn2n 1，yn2n2n

5、2n 1yn ,Xnyn由迫敛定理可知limn12n 12Xn 0，于是原极限为0 。例2 .求以下极限nlim n k 1 n2 k四、用洛必达法那么求极限1“ 0 型和“ 一 01sinn.3 1例1 .求lim nsin -n解：离散型不能直接用洛必达法那么，故考虑x sin x 等价无穷小代换limx 0lim 3 x 0 sin xx sin x1 cos x limx 0原式3x21limxsin x 10 6x 6e2 .求 肌；10学生活动型和0型。1.求X叫12 cos x2 .求 lim -99.2 2sin x x23 .求 lim sin x In xx 01 1例 4

6、 .设 a 0, b 0 常数，求 lim x a； b，x4、洛必达法那么也是在 极限局部内容的重点 考察对象之一，要求学 生能够掌握几种常见 的不定式类型，并能够 针对每一种不同的类 型找出适当的解决方 法.3. “1 型，“ 00 型和“ 0 型这类都是lim f x 形式，可化为elim g x ln f x，而lim g x ln f x都是0 型，按2的情形处理.2例 1 .求 lim xsin xx 0例2 .求limx 0cot2 xcosx前面已用重要公式的方法解：令ycot2 xcosxln y cot2 xln cosxlim In y lim cot2 xln cosx

7、x 0x 0In cosx In cosx2 lim2tan x x 0 x“-型= lim tanx10x 0 2x2100y e 2例3 .求limx.1sinx1cos-五、用无穷小重要性质和等价无穷小代换例1 .求limnF n S n,2 13n 1解:limnvn2 n 13n 1limn|F1 1123n n3 -n学生活动sin n21根据有界变量乘无穷小仍是无穷小,可知原式cos2x arctan3x1 ln 1 2x sin 5x例3 .求limx 03sin x x2 cos x1 cosx ln 1 x解：这个极限虽是“-型，但分子，分母分别求导数后的极限不存在，因0此

8、不能用洛必达法那么。5、无穷小的代换不要 求学生掌握，原因如 下：1°、什么时候能够 进行代换学生不容易 把握；2°、实际上，现 阶段学生能够运用无 穷小代换进行解决的 问题根本上都可以通 过洛必达法那么予以解 决，因此这一局部的题 目考虑让学生通过洛 必达法那么予以解决，关 键在于在运用洛必达 法那么的过程中，提醒学 生为了简便计算，要求 学生进行适当的无穷 小代换学生要掌握一 些常见的等价无穷 小；原式lim -X 0 11COSXcSi nx13 x cos-xxIn 1 x例4 .设n为正整数，求lim亡X 01 COSX六、求分段函数的极限例1 .求以下函数在分段点处的极限(2) g XJX2 X1cosx2 X1XJ1sin2x(1) f X1X12 Xx 0解：1lim0因为g 1limX七、求极限的反问题xlin01 COSXlimX 1sin 2xlim0!in02X1 2X2sin 2x2 2lim x 1X 12x故lm g x不存在。1ex si nx-4ex2例 1 .设 lim 2x 1 sin x 1aX b 3求a和b学生活动6、分段函数的极限问 题通常与后续内容：函 数的连续性、可导性进 行综合考察，因此，判 断函数趋向于分