点差法的应用讲义及练习

1、点差法的应用-教师版一.综述(一)圆锥曲线问题中，与弦中点有关的问题 可以考虑用点差法.即：设弦的端点坐标，并代入圆锥曲 线的方程，并作差.利用中点坐标公式与斜率公式得到一个等式，进而处理问题.利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好(二)注意：点差法在求出直线方程以后，必须将直线方程和圆锥曲线方程联立得到一个关于x(或y)的一元二次方程，判断该方程的A和0的关系.只有A >0,直线才是存在的.(三)点差法常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线、定值问 题二.例题精讲破解规律x2 y21例1.已知椭圆C:-2十%=1 (a>b

2、>0)的离心率e = ,且过点 J3, .ab212 ,(1)求椭圆C的方程；(2)设过点P(1,1)的直线与椭圆C交于A, B两点，当P是AB中点时，求直线 AB方程.规律总结：与弦中点有关的问题可以考虑用点差法.即：设弦的端点坐标，并代入圆锥曲线的方程，并作差.利用中点坐标公式与斜率公式得到一个等式，进而处理问题2练习1：直线x+4y + m = 0交椭圆上 + y2 =1于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为1,则m =()16A -2 B -1C. 1D 222例2.已知椭圆C : "十4=1(a >b>0)的离心率为 二，点(2, J2城C上 a2 b22

3、(1)求C的方程(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点 A, B,线段AB的中点为M .证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.规律总结：若线段 AB是椭圆(或双曲线)的弦，AB中点为 M,则koM kAB=e21，其中e为离心率,且 kOM , kAB均存在.22练习2:已知双曲线 上匕=1上有不共线的三点 A B、C,且AB、BC、AC的中点分别为 D、E、F ,841 11若OD、OE、OF的斜率之和为-2,则，+，+，=()kAB kBC kACA -4B -25/3C 4D. 62 2_1例3：已知椭圆C ： + =1(a >b >0)经过点(0

4、, J3),且离心率为 一.a b2(I)求椭圆C的方程；(II )若一组斜率为2的平行线，当它们与椭圆 C相交时，证明：这组平彳亍线被椭圆 C截得的线段的中点 在同一条直线上.规律总结：牵涉到弦中点轨迹方程，垂直平分线问题可以考虑使用点差结合中点坐标公式来处理练习3:已知椭圆 与+4=1但>b >0)的一个顶点为B(0,4 ),离心率e =，5 ,直线l交椭圆于M , N两a b5'点，如果ABMN的重心恰好为椭圆的右焦点F ,直线l方程为.第2页共5页三.课堂练习强化技巧1 .椭圆的以为中点的弦所在直线的方程是()AB.CD.2 .过点作斜率为一的直线与椭圆：相交于，两

5、点，若是线段 的中点，则椭圆 的离心率为.3 .过点(0,2 )的直线l与中心在原点，焦点在 x轴上且离心率为 2的椭圆C相交于A、B两点，直线y=1x过线段AB的中点，同时椭圆 C上存在一点与右焦点关于直线l对称.2(1)求直线l的方程；(2)求椭圆C的方程.四.课后作业1.若双曲线的中心为原点，F(0,-2)是双曲线的焦点，过 F的直线l与双曲线相交于 M, N两点,且MN的中点为P(3,1)则双曲线的方程为()22A X 22 xA y =1 By =1332y 2.C -x =132.已知双曲线中心在原点且一个焦点为2坐标为-2,则此双曲线的方程是32 222A 匚。1 B 二-。13

6、 44322C. ±-工=152y=x-1与其相交于 M N两点，M时点的横),223.已知椭圆 J +=1( a>b>0)的右焦点为a2b2且直线AB的倾斜角为45。，则椭圆方程为(2222xyxyA + - =1B. + - = 1 C9594F,过点F的直线与椭圆交于点 A B,若AB中点为(1，)2,2222x4yx2y“+= 1 D += 19999MA - MB =2«,4.已知A(2,0 , B(2,0 ),若在斜率为k的直线l上存在不同的两点 M,N ,满足:第3页共5页NA NB =2j3且线段MN的中点为（6,1）,则k的值为（）1 - 1A

7、 -2B._!C，D.22 25 .已知中心在原点的椭圆 C的右焦点为（1,0）, 一个顶点为一，若在此椭圆上存在不同两点关于直线对称，则的取值范围是A （二二） B （二二）C. （ - -）D.（二二）6 .设A、B是椭圆3x2+y2 =九上的两点，点N（1,3）是线段AB的中点，线段 AB的垂直平分线与椭圆相 交于C D两点.确定儿的取值范围，并求直线 AB的方程.227.已知双曲线C:xy %=1何A0,bA0）的渐近线方程为：y=±J3x,右顶点为（1,0）. a b（I）求双曲线C的方程；（n）已知直线y=x+m与双曲线C交于不同的两点 A,B,且线段AB的中点为M（x0,y0）,当x0 0 0228 .椭圆Q:x2+，=1 （a>b>0）的右焦点为F（c,0）,过点F的一动直线 m绕点F转动，并且交椭 a b'圆于A、B两点，P为线段AB的中点.求点P的轨迹H的方程；2+ y2 = 1有两个不同的交点 P和9 .在直角坐标系xOy中，经过点(0, J2)且斜率为k的直线l与椭圆之Q (1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为 A B,是否存在常数k,使得向量OP + OQ与AB 共线？如果存在，求 k的取值范围；如果不存在，请说明理由第6页共5页210 .椭圆C的中心在原点，并以双曲线y-