信号与系统37傅里叶变换的性质

1、§3.7 傅里叶变换的北京邮电大学电子2003.1主要内容2对称性质奇偶虚实性时移特性微分性质线性性质尺度变换性质频移特性时域性质意义 X第页意义3傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在讨论傅里叶变换的性质，目的在于： 了解特性的内在 用性质求F()； 了解在通信系统领域中的应用（第五章）。 X第页一对称性质1性质4若f (t ) « F (则F t « 2 f-)若f (t )为偶函数则F (t ) « 2 f (w )f (t )e-jw t d t = F f (t )¥òw ) =F

2、 (傅里叶正变换-¥ 1 2pdw = F -1F (w )¥F (w )e jòf (t ) =t傅里叶逆变换-¥2意义若F (t )形状与F (w )相同，(w ® t )t 形状相同， t ®则F (t )的频谱函数形状与 f幅度差2 。例题,3 X第页例3-7-1d (t ) « 1 ,例3-7-25F (t ) = 1 « 2 d (w )2jw已知F sgn(t ) =,则 2«2 sgn(-w )t相移全通网络1- j sgn(即«)t X第页例3-7-366P124 , 图3-3

3、0设E=1f (t ) = E éæ t + t ö -æ t - t öù « F (æ wt ö) = Eêuç÷2uç÷ú2Saç÷2èøèøûèøë«w®tfw c , twcwcæ wcE éöùæuwö-æwt ö=1(w =)(t )w

4、E Saç+2-2÷ú«ç÷uç÷Fêcèøèøû2è2øëwwæt ö宽度为2w 0的方波理想低通滤波器=Saç÷ccE22èø熟练掌握p= 2若则有Sa(0t ) « wG2w()Bw= w0的问题c000利用了对称性，克服了Sa(t)从定义求时 X第页二1性质性性7若f1(t ) « F1(w ) ,f2(t ) « F2(w )则

5、c1 f1 (t ) + c2 f2 (t ) « c1F1 (w ) + c2 F2 (w )2例3-7-3c1 , c2为常数u t = 1 + 1 sgn(t ) «F (1jw) = ()+22 X第页三奇偶虚实性在§3.4的“傅里叶变换的表示”中曾介绍过。8若f (t ) « F (w )，则f (-t ) « F (-w )¥ò证明： 由定义可以得到f (t )e-jw t d t = F (w )F f (t ) =-¥¥¥f (u)e-j(-w) u d u = F (-w )&

6、#242;òf (-t )e-jw t d t =F f (-t ) =-¥-¥)，则f (-t ) « F * (若f (t ) « F () X第页奇偶虚实性证明9设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）( )()f (t )sin(wt )d t¥¥¥òòòw )f (t )e-jwt d t =f t cos wt d t -=F (j-¥-¥-¥f (t )cos(wt )d t ü()¥òR w =

7、39;-¥显然ýX (w ) = ò¥¥f (t )sin(wt )d t ïþF (-w ) = F * (w )所以已知F f (- t ) = F (- w ) F éë f (-t )ùû = F * (w ) X第页关于w 的奇函数X (w ) = - X (- w )关于w 的偶函数R(w ) = R(- w )能量谱密度（ §6.7 ）¥10f 2 (t )dtòE =信号能量：帕塞瓦尔定理-¥éF (w )e jwtdw

8、 ùdt 1 f (¥t )¥¥òòêë 2púû-¥-¥ 1 2p 1 2p¥F (w )éf (-t )e- j w tdt ùdw¥òò=êëúû¥-¥-¥ 1 2pF ()F * ()d¥òò) 2 d=F (-¥-¥F ( f )2dfò=f 2 (t ) 和F ( f )2-&

9、#165;两者在时域和频域中所覆盖的面积相等。F (w )2称为能量密度谱，简称能谱。 F (w )2 w为偶函数 X第页四尺度变换性质11F æ w ö, a为非零函数1), 则f (at ) «若f (t ) « F (ç÷aè a øæö1(at ) =(t )÷的证明过程ç 仿ç÷aèø意义(1)(2)(3)0<a<1 时域扩展，频带压缩。a>1 时域压缩，频域扩展a倍。说明说明f (t ) ® f

10、(- t ),F (w ) ® F (- w )a = -1说明 X第页尺度变换性质证明12()¥f (at )e-jwtòF f at=因为d t-¥当a > 0，令x = at, t = x , d t = 1 d xa1aa xaæö1a( )F f (at )当a < 0，a = - a ,¥ò=d x =F ç÷fx eè a ø-¥x = - 1x, d t = - 1 d x令x = at = - a t,t =aaaæ w &#

11、246;- jw x1- jw x- 11F f (at )=f (x)ef (x)e-¥¥d x=òòF ç÷d x =aaaè a øaa+¥-¥F æ w ö1F f (at ) =综合上述两种情况ç÷aè a ø X第页意义13f (t )F (w )Ett2t2t-22(1)0<a<1 时域扩展，频带压缩。f æ t ö2F (2w )ç÷22Etèøot

12、o-脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。 X第页- ttEE14（2）a>1 时域压缩，频域扩展a倍。f (2t )æ w ö12F ç÷è 2 øEt2toot4t44t4t-持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为信号的传递，要将信号持续时间压缩，则第页要以展开频带为代价。 XE15f (t ) ®f (- t ),F () ® F (-)共轭) = F * ()(3)

13、a = -1当f (t )为实函数时, F (-) = F * (R(w )为偶函数, X (w )为奇函数F (-w ) = R(-w ) + j X (-w ) = R(w ) - j X (w ) = F * (w ) X第页五时移特性16若f (t ) « F (w ),则f (t - t0 ) « F (w )e- jwt0 ;) « F (w ) × ejj (w )-w t0 若F (w ) =F (w ) ejj (w )则f (t - t0幅度频谱无变化，只影响相位频谱：- wt0ì 右相移t0 í左wtî

14、0时移加尺度变换 X第页例3-7-4求图(a)所示函数的傅里叶变换。解:引入辅助信号 f1(t ), 如图(b).由对称关系求F1 (w )F1 (w ) = G2p (w )17f (t )1o1(a)f1 (t )1又因为f (t ) =f1(t - 1)ot- j- j) = F1() × e= G2p () × e得F (11(b)频谱图 X第页由对称关系求F (w )181f1 (t )F1 (w )f (t )112pf1 (- w )(b)F1 (t )f1 (t ) (2pf1 (- w )F1 (t )F1 (w )t ® -w )(w 

15、1; t )(t ¬ w )æ töf (t ) = Sa(pt )且由图(b)可得已知Gt (t ) « t Saçw ÷1è 2ø所以由对称性，t ® 2p2pf (w ) = 2p Sa(p w) ® G(t ) = F (t )2p1 F1(w ) = G2p (w )1第页X幅频、相频特性19幅频、相频特性分别如图（c)(d)所示。| F (w ) |f (w )1-0(c)(d)幅度频谱无变化，只影响相位频谱， X第页-0时移加尺度变换20ba1 F æö 

16、15; e则f (at + b) «j若f (t ) « F (w )ç÷a ¹ 0aè a øæö1ç 仿d (at ) =d (t )÷的证明过程ç÷aèø X第页时移加尺度变换证明21F (w ) =¥ò-¥f (at + b)e-jwt d t1xb , d t = 1 d x当a > 0时, 设at + b = x,则t =aa- jw xjwb a- jw x -be- jw t= e= e

17、5; eaa- jw xjw b= 1 F æ w ö × ejw b× 1 d xF (w ) = ò¥× ef ( x)eç÷aaaa1a-¥aèøx - b =x - b , d t = - 1 d x当a < 0时, a = - a , 设at + b = x,则t =aaa- jw xjw b- jw x1jw b¥1F (w ) =ò-¥d x =× eò¥f ( x)ed xaa× e&

18、#215;f ( x)eaaa1- a-¥- jw xæ w öjw bjw b11¥ò=d x =÷ × eF çef ( x)eaaaaaè a ø-¥ X第页例3-7-522æ wt ö已知f (t ) « F (w ) = Et Saçf (2t - 5)的频谱密度函数÷，求2èø方法一：先标度变换，再时延所以f (2t ) « 1 F æ w ö = Et Saç&#

19、230; wt ö因为a = 2,ç÷÷2è 2 ø24èøæ wt ö- j5w5E()因为b = -5，对t时移 （向右2t - 5«Saç÷e所以f222è4ø方法二：先时延再标度变换相同æ wt ö对t时移5（向右）：f (t - 5) « Et Saç÷e- jw 5è2øEt2æ wt ö- j5w()5 «Saç÷

20、e对所有压缩2：f 2t24èø X第页六频移特性1性质23f (t ) « F (w )若« F (w - w) üf (t )ej0t0w 为常数，注意± 号则ý« F (w + w)ï0f (t )e-jw0t0þ2证明F f (t )ef (t )ejw0t e-jw tdt¥òw t=j0-¥d t = F (w - w0 )¥f (t )e- j(w -w0 )tò=-¥ X第页3说明（实用意义）24F (w )F (w -

21、 w0 )F (w + w0 )w0OO- wO0时域f (t )乘ejw0t , 频域频谱搬移右移w00t , 频域频谱搬移时域f (t )乘e4应用左移0通信中调制与解调，频分复用。 X第页25F (w )F (w )F (w )abcww000G()- w- w- wwww0cbaabc X第页七微分性质时域微分性质f (t ) « F (w )，则f ¢(t ) « jwF (w )频域微分性质26则tf (t ) « jd F (w ) dw若f (t ) « F (w ),- jtf (t ) « d F (w )dwF

22、(w )dn(-)nf (t ) «jtdw n或f (t ) « (j)n F n (w )t n X第页1时域微分27f (t ) « F (w )，则f ¢(t ) « jwF (w )一般情况下f (n) (t ) « (jw )n F (w )F f n (t )若已知F f(t )()n，则F w =()nì幅度乘F f (t ) = jwF (¢w ) :物理意义：íî相位增加, j ® 90o注意 X第页时域微分性质证明28 1 2¥òF (w )e

23、jwt dwf (t ) =-¥ 1 2p( )¥ò¢F (w ) jwejdwft =t-¥f ¢(t ) « F (w ) jw = jwF (w )即F f ¢(t )=F () X第页从定义求两个区域分别，比较麻烦，容易出错。第页 X例3-7-729求三角函数的频谱密度函数f (t )EtF (w )高频幅值更小，2E低频幅值更大tott4po4p-22ttf (t )分析30Etotf ¢(t )- t三角形函数¾求¾¾导®方波2Ett2tot2-f &#

24、162; (t )方波 ¾求¾¾导®冲激函数æ 2E öæ 2E öç÷ç÷tèøttèøot2t2-æ 4E öç÷tèø X第页解ttéùæöæö2E4E2E( )¥( )ò¢dt +d t +dt -wt- jF ft=-ç÷2ç÷ú

25、231ed t-¥ êèøèøûë= 2E ejwt 2 - 4E + 2E e- jwt 2= (jw )2 F (w ) = -w 2F (w )é 2E ejwt 2- 4E + 2E e- jwt 2 ù1F (w ) =êëúû-212E éejwt 2- 2 + e- jwt 2 ù=êëúû-2= -2E éejwt 422= -2E æ 2 jsin w t &

26、#246;- e- jwt 4 ùç÷êëúûtw 2tw 2è4øæ w t ö 2ç÷22æsinöæö8E4Eèø=ç÷Saç÷tw 22424èøæ w t öèøç÷4èø X第页注意32如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里叶变换，余下部分再用微

27、分性质。ü直流 1 « u(t) « F ()()ïï2ï u(t) « 余下部分 f (t ) = u(t ) - 1 = 1 sgn(t ),1jw()+ýï222ïf (t )微分f ¢ (t ) = d (t) « 1,1f (t ) «jw ï222þdu(t )- f (t )1d t(1)u(t )f (t )tttooo X第页12112频域微分性质33d F (w )dw若f (t ) « F (w ),则tf (t

28、) «或- jtf (t ) « d F推广dwF (w )n(- jt )n f (t ) « ddw n或n F nf (t ) «t n X第页例3-7-8已知f (t ) « F (w )，求F (t - 2) f (t ) = ？解：34F (t - 2) f (t )= F tf (t ) - 2 f (t )= j d F (w ) - 2F (w )d(w ) X第页35例3-7-9求F t n 解：t n= t n ×11 « 2 d (w ) = F (w )d F (w )dt ×1 

29、1; jd F 2 (w )ùé()t × t × 1 «KK× êúdw 2ëdûd 2 d (w )()F wnn( )( )nnt× 1 « j= jndw ndw n X第页八时域性质36若f (t ) « F (w )，则时，f (t )dt « F (w )F (0) = 0tòjw-¥时，f (t )dt « F (0)d (w )+ F (w )F (0) ¹ 0tò¥f (t )

30、d t « F (w ) × é+ d (w )ù1tò可以记作：ê jwú-¥ëû X第页时域性质证明3737-¥ êëúû-¥变上限用带时移的()éu(-tet )- jw t d t ù¥¥òòttd后t，阶跃=f顺序先t交换ë-û-¥¥即先求时移的第页¥é1 ù信号的傅里叶变换= ò tf (d)êw ( ) +eú -wjtdt-¥ëjw ûæ1 ö ¥对变量t 而言w 为=çd w( ) +÷òft( e) t-wj td常数，移到外èø -