解分式方程的特殊方法与技巧

1、分式方程意义及解法一、内容综述：1 .解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整 式方程.即分式方程辛亍化整式方程2 .解分式方程的基本方法(1) 去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母， 使分式方程转化为整式方程.但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。产生增根的原因：当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或 除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解 )，这时得到的整式方程的解不一 定是原方程的解.

2、检验根的方法：(1) 将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。(2) 为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0, 就是原方程的根；如果使公分母等于 0,就是原方程的增根。必须舍去.注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为 0.用去分母法解分式方程的一般步骤：(i) 去分母，将分式方程转化为整式方程;(ii) 解所得的整式方程;(iii) 验根做答(2)换元法为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量， 从而把问题化繁为简, 化难为易，使未

3、知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程 的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程.用换元法解分式方程的一般步骤：(i) 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；(ii) 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；(iii) 把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；(iv) 检验做答.(1) 换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。(2) 分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不 能用换元法解的，再

4、用去分母法。(3) 无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。二、例题精析：x + 4_1_2 丄例1 .解分式方程：一；“ - 1.；二- 1。分析：解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。解：方程两边都乘以x(x+2)，约去分母，得x+4-x=2(x+2)+x(x+2)2整理后，得x +4x=0解这个方程，得xi=O, x 2=-4,代入公分母检验：当 xi=0 时，x(x+2)=0 X (0+2)=0,二 x=0 是增根；当 X2=-4 时，x(x+2)=-4 X (-4+2)工 0,二 x=-4 是原方程的根。故原方程的根是x=-4。x-7x-4 z-6 + = , +

5、例 2 .解方程：二- ：-:. - ':： o分析：本题中各个分式的分子与分母是同次多项式，故从中析出一个整数来(用x-7_lx 2拆分分式的方法)，;考虑方程中有四个分式，可以移项后利用公式ba 1八-；把分式拆项，将方程化简。x- 9 + 2 x-5+ 2 x-6 + 2 z-8 + 2+=+解： 上-'-f- i“ 2 2 . 2 21 +1 += 1 +1 +即上一-1 ,1111 _移项，整理，得一一 -:,x-8-x+9 = i-5-x+6即1 = 1亦即去分母，得(x-6)(x-5)=(x-9)(x-8)，去括号，整理，得x=7.经检验，x=7是原方程的根。二原

6、方程的根是x=7。x+3 _ x + 4 = i + l _ x + 2例 3 .解方程二-.- /. - ?,去分母，得解法1:方程两边都乘以(x+4)(x+5)(x+2)(x+3) (x+3) 2(x+5)(x+2)-(x+4)2(x+2)(x+3)2=(x+1)(x+4)(x+5)(x+3)-(x+2)(x+4)(x+5)=_7即 4x+14=0,1 ,=_7经检验知.1是原方程的解。解法2:方程两边分别通分，得(j + 3)(x+5)-(x+4)2 _ (x + 5(i + 3)-(x+ 2)a (x + 5)(“4)(x + 2)(x + 3)-1 . -1即汁药7；/. (x+5)

7、(x+4)=(x+2)(x+3)_7解得.】。解法3:利用拆分分式的方法将原来的方程变形。 _ -1 + = 1 - -1+ -原方程可化为 二- 一【 /. - -.： + 11111即：二-上.二I _ ,两边分别通分，得=_7解之，得 -。- = -1、()- 5() + 6-0例4.解方程.-y =解：设则原方程变形为y2-5y+6=0,解得 yi=2, y 2=3,z由二- -=2,解得 xi=4;=3由二一，解得X2=3.经检验xi=4, x 2=3,都是原方程的根。2 疋2 + 4 ='例5 .用换元法解方程/ 52y-A=-解：设2x2+3x=y,于是原方程变为 + -

8、 = -l ,整理，得 y2-4y-5=0解得 yi=5, y 2=-1.当 y=5 时，即 2x2+3x=5,5解得 xi=1,12心八一当 y=-1 时，2x +3x=-1，解得 X3=-1,-,=1=_5经检验，都是原方程的根。.5.1X = 1,並二 一一，3 = -L X斗=-原方程的根为11。?-6Wi-30 r+=7例6.解方程-匚< -r'。分析：利用方程左边结构特点，构造一元二次方程来解。宀6解：设 二所以原方程变形为：y+=7,整理得：yi 当 y=-l 时，二 ,去分母整理，得x2+x+1=0解这个方程， <0,二方程无解。-7y+10=0解得 yi=

9、2, y 2=5,4 = 2当 yi=2 时，即-二 ,/. xi=0, x 2=2;、,匕5当 y2=5时，二-二 ,即x2-5x+9=0（ <0,此方程无实根）经检验，xi=0, x 2=2是原方程的解。例7 .解方程2(?+l)-3(x+-)=l分析：此方程初看起来容易把,q曲如y,而实际上所以就是说原方程可变形为1匚12("-尸-2-3(卄一)訂xx变形后才可用换元法解此方程。解：原方程可化为2(“与2七("1)=1xx2(x11-3(x + A)-5 = 0/.亠- 2设 二,则原方程可化为：2y2-3y-5=05解得 yi=-l, y 2=1,5 15丄一

10、2当y=时，上1,去分母整理，得2x-5x+2=01解得 xi=2,-,=1经检验，xi=2,'都是原方程的根。=1二原方程的根是xi=2,' 1。汪意：切勿把 广。卄、 旦+ _ + 2 = 0、例8.若分式方程有增根x=2,求a的值。 + + 2 = 0分析：将方程的两边同乘以最简公分母(x+2)(x-2),得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0 ，若分式方程有增根x=2,则x=2 一定是整式方程a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0的根，代入之即可求出 a。解：原分式方程去分母，得 a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0把x=2代入所得方程，得4a+1

11、+0=0, a=-,1当a=- 时,x=2是原分式方程的增根。测试选择题1 .方程x- - =2-的根的情况是()A、只有一解x=2B任意实数都是解3x x2-1 52. 用换元法解方程门_+ 一乞，下列变形正确的是（）农丄 5A、 设一一二y，原方程变形为y+ =去分母得2y2+5y+2=0315B、设-. =y，原方程变形为y+-1二-，去分母得2y-7y+2=0xa -1C、 设. =y，原方程变形为+ : =去分母得y2-5y+3=0X2 -13J 5 oD设 1 =y，原方程变形为+ -二-，去分母得y-5y+6=01 1 23. 如果设y= 、一 -5，则对于方程（' -5

12、）2+-13=0，下面变形正确的是（）22A、y -2y-8=0B、y +2y-3=022C、y +2y-13=0D、y -2y-23=0x + 2 + x + 3 _ m4. 若x=1是方程- - -的增根，贝S m的值为（c ）A、1 B、-1C、-3D、3x + 21 a+=5. 方程-会产生增根，则a的值为（c ）A、1B、-2C、1或-2D、以上都不对。（x + l）（x - 2）6 .方程 一=0的根是（）A、0B、0 或 2C、1A、-1B、2C -1 或 2D 1 或-2 .使分式方程2 - _1产生增根的k的值是（）8.用换元法解方程6(宀 g) + 5( J)-盖=0*x1

13、V = X + 设.,则方程变形为（22A、6y +5y-38=0B、6y +5y-40=022C、6y +5y-26=0D 6y +5y-50=0152(= +19 .方程、 的根为()D、x=-5,或 x=3A、x=2B、x二二C、x=310.某项工程，甲独做需a天，乙独做需b天，甲、乙合做完成任务需要的天数是（）。1 11abA、二 iB、C、a+bD -答案与解析答案：1、C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、B 7、A 8、D 9、D 10、D解析：1、答案：选Co移项，整理得x=2,但当x=2时，分母x-2=0 ,贝S x=2为增根，原方程无解。2、答案：2 .选Db3、答案：选

14、B。原方程二"：' ' 2设 匸 原方程变为：y+2y-3=04 .答案：选Co原方程两边乘以（x-1）（x-2）得：x2-4+x2+2x-3=m 即：2x2+2x-7-m=0则x=1是方程2x2+2x-7-m=0的根，代入x=1得：/. 2+2-7-m=0, m=-3.5. 答案：选C。工2-两边乘以 x(x-1) 得 x +2x-2-a=0,若原方程有增根，则有增根 x=1或x=0,而x=1或x=0是整式方程x2+2x-2-a=0的两根，将x=1或x=0代入整式方程 得a=1或a=-2，选G6. 答案：选B。G+l)A2)p由，去分母得(x+1)(x-2)=0得x

15、=-1或x=2,经检验，x=-1是增根,则原方程的根为x=2。7. 答案：选A。分式方程：的增根为x=2或x=-2 ,而x=2或x=-2，一定是去分母得到的整式方程的解。原方程两边乘以(x-2)(x+2)得 x2-2x-x 2+4=k2x+2k2整理得：(k2+2)x=4-2k2,4刃上“ - 1,贝则：解得：k=0.8. 答案：选D。分析：原方程变形为恥，止,:： 旳宀；，则原方程变形为6(y 2-2)+5y-38=0，整理得：6y2+5y-50=0.9 .答案：选Do方程两边乘以 x2-4 得 15=2x+4+£-4 即：x2+2x-15=0,解得：Xi=-5或X2=3,经检验，

16、x=-5或x=3都是原方程的根。10.答案：选D。1 1整个工程看成整体1,则甲，乙的工作效率分别为匚7 ,则合作工作效率为1 111 ab，则甲，乙合作用的时间为一：一了中考解析分式方程考点讲解1. 解分式方程的基本思想方法是：把分式方程通过去分母或换元转化成整式方 程，然后用解整式方程的方法去求解，但在转化过程中，可能会使分式方程增根，所 以最后一定要验根。2. 去分母法解分式方程的步骤：（1）去分母，即方程两边同乘以各分母的最简 公分母，约去分母，得到一个整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根。3. 用换元法解分式方程的步骤：（1）根据分式方程中的特点设某一分式为另一 未知字母；（2

17、）写出符合原方程式的用新字母表示的变形方程；（3）解换元所得新 方程，求得未知字母的值；（4）把新未知字母值代入第一步所设的分式，求得原方 程未知数的值；（5）验根。4. 分式方程验根的方法：（1）将解得整式方程的根代入原方程，使方程左右两 边相等的未知数的值是原方程的根，否则是增根；（2）将解得整式方程的根代入最 简公分母中，如果不使最简公分母等于 0,就是原方程的根，反之则为增根。考题评析1. （甘肃省）一组学生去春游，预计共需费用 120元，后来又有2人参加进来, 总费用不变，于是每人可少分摊 3元，原来这组学生的人数是（）(A) 8(B) 10(Q 12(D) 30考点：分式方程的应用

18、评析：该题是一列方程解的应用题，解决应用题的关键是找到等量关系，本题的 等量关系有两个：一个是人数变化，前后的总费用不变，二是增加2人后，每人少分摊3元。根据条件，依据第二个等量关系列方程比较容易解得此题，设原来这组学生120 120的人数x人，所以列方程为：，解得x=8,经检验x=8是原方程的根。答案：A说明：所列方程是一个分式方程，求出结果后必须检验。2丄 1.2. （杭州市）（本题8分）解方程：考点：分式方程的解法评析思路：此题可用去分母、化分式方程为整式方程的方法，来解此方程注一定 要检验。答案：x=2纟-丄=13. （重庆市）方程x x-1 的解是。考点：分式方程的解法评析：思路：本

19、题运用等式的性质两边乘以 x（x - 1）化分式方程为整式方程，然 后求解。说明：右边的1必须乘以x（x - 1）同时要进行验根。答案：x = 24. （吉林省）解方程：&rH去H考点：分式方程。评析思路，根据方程的形式可知用换元法解本方程，设1-,方程变为关于y的整式方程，然后求解说明：分式方程一定要检验3答案：x=2或x=5.（辽宁省）用换元法解方程x+1x + 1考点：分式方程的解法换元法=y评析思路：设,原方程可变为关于y的一元二次方程是y2-5y-6=0.该题用换元法变为整式方程将二-用y代替即可J _£答案：x=:或x= 7x +3 x2 -126x+36. （安

20、徽省）解方程匸"+匚二一时，设y=h,则原方程可化为：（）22A、5y +5y-26=0B、5y +y-26=022C、5y -y-26=0D、5y -26y+5=0考点：换元法解分式方程j + 3评析：原方程是一个分式方程，其中两个分式互为倒数，当设y二一-一时，原方程1 26变为y+二化简得5y2- 26y+5=0,所以正确选项是D分式方程（组）的特殊解法吴行民王爱灵同学们已经知道，把分式方程的两边同乘以各分母的最简公分母，化为整式方程，是解分式方程的基本思路。而对于一些特殊的分式方程（组），我们还可以根据它的特 征，采取灵活多变的方法求解。下面以课本习题、中考题和竞赛题为例，介绍解分式 方程（组）的若干特殊方法与技巧。、观察法例1、解关于x的方程：- :'精讲与解：由限制条件和方程两边 a, b及x的“对称”关系不难看出，当x=ab时等 式成立。而该方程是一个可化为一元一次方程的分式方程，最多只有一个解，故原方 程的解是 x=ab。二、拆项法x -81 呂例2、解方程：。精讲与解：先注意一，将左边第一个分式“一分为二”，就可以避开“去 分母”而另辟新路。1L + -L