数学必修4经验交流

1、数学（A版）必修4教学经验交流数学（A版）必修4教学经验交流浙江省台州市教育局教研室李昌官问题一：课改后教材发生了很大的变化，您觉得应该从哪些方面理解教材、把握教材？答：这个问题比较大我觉得应该从以下三方面理解教材、把握教材、吃透教材，进而超越教材一、把握好课标和教材要求的变化，领会其精神实质课标和教材要求明显降低的，如任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系、三角恒等变换等，教师要理解课标和教材“削枝强干，精简内容”的意图，教学时没有必要把教材中已经去掉的，如余切正割余割函数、已知三角函数值求角、精简掉的诱导公式等再捡回来半角公式、积化和差、和差化积公式，教材是以例题的形式，作为三角恒等变换

2、的典型素材出现的，目的是提高学生的三角变换能力和三角运算能力，教学时没有必要要求学生能够应用这些公式解决问题许多教师觉得三角函数和三角恒等变换教学课时不够，我看主要是拔高了教学要求造成的教学时要防止原来的教学习惯和粗制滥造的教学辅助用书对教学的不良影响，避免人为地增加学生的负担对课标和教材明确要求加强的，要切实落到实处如通过“讲背景、讲应用”强化数学与现实的了解，提升学生的数学应用能力；通过每章导语，阐明知识的来源与价值，明确学习的重点与问题，激发学生的学习兴趣；通过每章小结，突出了知识的本质、结构及其相互关系，强化学生的回顾与反思意识，帮助学生形成良好的知识结构另外，教材设置了大量的“思考”

3、与“探究”，是为了更好地引导学生思考，并达到“看过问题三百个，不会解题也会问”的目的教学时也要注意加强对学生问题意识和质疑意识的培养教材设置的“观察与猜想”“阅读与思考”“探究与发现”“信息技术应用”等栏目，表明了教材关注学生学习兴趣和数学素养的提高，注重为不同的学生提供不同的发展空间教师不仅要充分地认识到这一点，并且要使这些材料成为沟通数学课内与课外、教师教与学生学的桥梁二、搞清楚教材的知识结构，把握好教学的着重点1 把握知识形成与发展的思维主线和知识结构如第一章三角函数的知识形成与发展的主线为第二章平面向量的知识形成与发展的思维主线和知识结构为这其实是我们研究三角问题与向量问题的一个大“三

4、步曲”小而言之，它与用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”相一致；大而言之，它与我们学习和研究数学的整个“三步曲”相一致或者说，数学教学要关注两方面的问题：一是数学与现实的关系问题，即数学知识源于哪里、来自何处，又用于哪里、去向何处；二是数学内部的问题，即如何从数学内部建构相关知识，为解决现实问题提供足够的、有效的工具如从数学角度研究向量，需要解决下列问题：除了以章为单位的，我们也应该搞清楚以节为单位的知识形成与发展的思维主线如教材正弦函数、余弦函数的图象中明确指出：“遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质”这段话指明了研究函数的一

5、般思路与方法，也指明了知识发展的主线2准确地把握教学的着重点许多教师教学时把大量的时间花在一些细枝末节、一招一式的东西上，放在讲解例题和做习题上，给人以“轻重倒置”“本末倒置”之感就当前课堂教学而言，一要教学重心前移，如弧度制、任意角的三角函数、平面向量基本定理、两角和与差的三角公式等，要切实研究如何加强概念形成与定理发现过程的教学，因为数学概念和定理法则所蕴含的数学思想方法和思维方法更加丰富，是学生思维的“磨刀石”二要加强核心知识教学如第一章三角函数要突出如何用三角函数描述、刻画圆和现实生活中的周期变化；第二章平面向量的着重点要放在向量问题与几何问题如何相互转化和利用向量解决几何问题与物理问

6、题上；第三章三角恒等变换要突出变换的思想与方法，而切忌搞人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容3完整、准确、深刻地理解知识，把握知识的本质(1)完整地理解知识如要把零角、零向量、零向量与任一向量平行、分别看作任意角、向量、向量平行概念、向量加法运算法则的有机组成部分来处理这样会既有助于学生全面、深刻地理解数学知识，也可以有效地避免学生解题时出现思维漏洞(2)准确地理解知识如许多教师对为什么用单位圆上点的坐标来定义三角函数很困惑，其实这是由三角函数的本质、单位圆的功能决定的首先，三角函数是刻画周期现象的数学模型，而“周期现象”最典型、最简单的实例就是匀速圆周运动；其次，这种定义方式使正余弦函数

7、从自变量(角的弧度数)到函数值(单位圆上点的横、纵坐标)之间的对应关系更加简单、明了，而且反映本质；第三，高中角的概念与初中不同，它不仅是转出来的，并且是用单位圆的半径来度量的；第四，单位圆定义使数与形内在的统一性、和谐性体现得更加明显、更加充分单位圆上点的纵坐标、横坐标就是相应三角函数线的数量；第五，强化单位圆的工具价值，为后面研究同角三角函数的基本关系、诱导公式、三角函数的图象、两角差余弦公式等提供了方便当然，用单位定义三角函数也会有不足，如与学生的原有认知基础距离较大，有时使用不方便教学时可以同时向学生介绍坐标比值定义和单位圆定义这样，一方面使这两种定义优势互补，另一方面也有助于学生更好

8、地理解三角函数的概念(3)深刻地理解知识如平面向量基本定理，我们不仅要理解定理本身，而且要通过这个定理认识到事物由基本要素构成的；认识到分解与综合是解决问题的常用方法；认识到平面向量基本定理与平行向量之间的关系定理、空间向量基本定理在本质与思维方法都是一致的，是一维空间、二维空间、三维空间的维数在代数表达式中的体现要高度重视理解教材旁边的框图，并通过这些框图更好地理解知识如“你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗？”“单位圆中的三角函数线是数形结合的有效工具，借助它，不但可以画出准确的三角函数图象，还可以讨论三角函数的性质”“考察三角函数的性质，就是要研究这类函数具有的共同特点”“因为有了运算，

9、向量的力量无限，如果不能进行运算，向量只是示意方向的路标”“思维的有序性和表达的条理性是三角变换的基本要求”“倍是描述两个数量之间关系的，2是的二倍，4是2的二倍，的二倍，这里蕴含着换元思想”问题二：提升课堂教学的有效性是一个永恒的主题，在课改的背景下我们应该怎样评价和衡量课堂教学有效性的？答：我觉得应该从以下四个方面衡量课堂教学的有效性：第一，课堂教学对多少学生有效如果全班50个学生中，基础好的10个学生教师不教他就已经知道，基础差的10个学生教师教后他还不知道，那么这节课就只有对中间的60%的学生有效第二，课堂教学对学生的哪些方面有效我们要看到有相当多的课堂教学在知识与技能方面是有效的，在

10、过程与方法方面是低效的，在情感态度与价值观方面是负效的第三，课堂教学对学生多大程度上有效对每个学生个体来说，课堂45分钟他真正有效利用的时间有多少高效的课堂教学应关注和提高每个学生的有效学习时间第四，课堂教学对学生多长时间内有效我们应该有今天的课堂教学能为学生的明天和后天留下什么的意识因此，对课堂教学的有效性，我们不仅应该有全面衡量的意识，也应该有从定性与定量两方面衡量的意识就当前课堂教学而言，我们要特别关注数学教学品质问题我认为，数学教学的品质由低到高可分为如下四个层次：一是数学知识技能教学层次，重在解决是什么、怎样做的问题；二是数学思想方法教学层次，重在解决用怎样的思想与方法做的问题；三是

11、数学思维教学层次，重在解决怎样想到这样做、为什么要这样做的问题；四是数学精神与文化教学层次，重在促进学生心智、个性、观念、精神等和谐协调地发展正视数学教学的品质问题，对提高数学教学效益、推进数学学科素质教育大有裨益以平面向量基本定理为例，采用“一个定理+三项注意”的模式，重点放在学生接受平面向量的基本定理和例题、习题的模仿与训练上，是一个层次；告诉学生平面向量基本定理蕴含着分解、转化思想，重点放在定理的得出和证明的方法上是另一层次；理解平面向量基底的作用与意义，师生共同探讨为什么要研究这个问题，怎样研究这个问题，搞清楚其中思维的自然性与合理性则是更高的一个层次；如果学生能由平面向量基本定理体会

12、到“事物是相互了解、相互转化的”“事情是由一定的基本要素构成的，可以用构成它的基本要素来表示”“研究事物可转化为对它的基本要素的研究”，有助于养成理性地、有条理地思考和探究问题的习惯，那就更理想问题三：合理的教学设计是保证课堂教学效益的关键，请问您觉得教师在教学设计时要注意什么？答：我觉得当前教学设计要注意两个优化：一是教学目标的优化；二是教学设计思维方式的优化就教学目标而言，当前普遍存在照搬课标和教材目标的盲目性，只顾知识目标而忽视思维与情感目标的片面性，目标写在纸上而与具体教学设计相脱节的模糊性，忽视学生个体差异而全班甚至全校一刀切的单一性等问题相应地，我觉得制定教学目标需要大处着眼，小处

13、着手，在准确把握知识的本质和内在了解、准确把握学生原有认知结构的基础上，做到以下“五个性”：1全面性即数学教学要以学生知识、思维、情感等全面和谐发展为目标，不能只顾知识教学而忽视智慧教学、情感教学，数学教学一定要有让学生通过数学学习而变得更聪明、更理性、更乐于学习的意识2整体性正如空间一个点具有三维坐标一样，知识与技能、思维与方法、情感态度与价值观是数学教学不同的三个侧面，是一个统一的、“你中有我、我中有你”的整体，既要根据实际有所侧重，又要防止把知识、技能、思维、情感人为地割裂3明确性要切切实实明了这节课学生要掌握什么、掌握到什么程度，增强教学目标对教学设计的指导性，对学生达标与否的评判功能

14、4差异性教师心中不仅要有一般性、抽象的学生，也要有具体的、鲜活的个体学生，教学目标不可一刀切，而应因人而异前段时间看到一份材料，中国人在澳大利亚的一个只有20多个学生的班级里听课，教师为不同的学生准备了6份自觉提纲，由此可见他们是如何满足不同学生的不同需求5适切性课标和教材对教学具有很好的指导性，但全国统一的课程标准不可能为每个具体的学生“量身定做”，因此制定具体教学目标时，不仅要基于课标和教材，更要基于学生的实际 以两角差的余弦公式为例，“全面性”就是要求避免机械地呈现、讲解公式及其证明过程，而要高度关注其中所蕴含的思想方法和思维方法，帮助学生养成追根究底的习惯和意识；“整体性”就是要求在公

15、式发现过程和证明过程的探究中加深对公式的理解，同时发展思维，增强思考和探究的乐趣；“明确性”就是要求基础好的学生对公式的整个探索过程有一个比较透彻的理解，能利用公式熟练解决课后的相应练习和习题；“差异性”就是允许部分学生对公式发现和证明的思想方法理解不到位，甚至不理解；“适切性”就是根据不同学校学生的实际可以有不同的教学要求，学生基础差的学校可以简化公式的猜想与发现过程、证明思路的探究过程，而改为在特殊值验证的基础上直接呈现公式和公式的证明思路、方法，然后说明其合理性就教学设计的思维方式而言，我觉得突出以下三点：一要突出大背景、大问题，做到孙维刚先生所说的“见树木更见森林，见森林才见树木”教学

16、时首先要向学生介绍本章的全貌这方面教材的章头语为我们提供了很好的帮助如教材第二章平面向量的章头语指出：“向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具向量概念引入后，全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可以转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算(运算律)，从而把图形的性质转化为向量的运算体系”这段话阐明了向量的背景、地位、作用、作用的途径与方式，为本章学习指明了方向又如教材第三章三角恒等变换的章头语指出：“变换是数学的重要工具三角变换是只变其形不变其质的，它揭示了某些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在了解三角变换包括变换的对象，变换的目标，以

17、及变换的依据和方法等要素两角和与差的正弦、余弦和正切公式就是三角变换的基本依据通过这些公式的探求，以及利用这些公式进行三角变换，我们将在怎样预测变换的目标，怎样选择变换公式，怎样设计变换的途径等方面作出思考，这些都将帮助我们进一步提高推理能力和运算能力”这段话指明了三角变换的背景、性质、内涵、依据、思路与目的二要突出大思路、大框架，如任意角部分重在解决两方面的问题：一是怎样有效地刻画和研究日常生活和工作中存在的各种各样的角，把生活问题和现实问题数学化，包括引入正角、负角；二是怎样从数学内部深入地研究角及其它们之间的关系，包括引入零角、象限角、终边相同的角等概念又如研究函数图象，其大思路、大框架

18、是“化整为零，各个击破，再积零为整”，因为“天下难事作于易，天下大事作于细”事实上，每节课都应尽可能在搞清楚“需要研究什么问题和应该用怎样的方法研究这些问题”的基础上进行教学，这样对学生认识和把握教材的知识结构，优化学生的思维品质，提升他们的探索能力和自主建构知识的能力非常有好处，也是让课堂教学成为“教师指导下学生自主探究知识、建构知识”过程的有效途径三要做到“三个自然地合理地”，即要引导学生自然地合理地提出问题、自然地合理地解决问题、自然地合理地拓展问题要突出提出问题的自然性与合理性由于提出问题是解决问题的逻辑前提，并且提出问题对学生的思维品质和主动性有更高的要求，因此完整的数学学习应包括学

19、“问”与学“答”两方面教师应创设问题产生的情境，引导学生从解决现实问题和数学知识逻辑发展的需要中提出问题如对两角和与差的余弦公式，既可以由观察诱导公式提出，也可以由如何求sin75°=?cos15°=?等提出，也可以由函数的图象可以由函数的图象通过平移得到进而猜想它们的表达式也有内在的了解，也可以由现实中相应的问题提出要突出解决问题思维的自然性与合理性世界上不存在“没有为什么的事物”，我们要站在系统的、结构的高度，从事物的产生源头和构成要素出发，寻找解决问题的思路与方法如函数是三角函数的上位概念，而定义域、值域、对应关系是函数的三个要素，因此三角函数的概念从锐角推广到任意角

20、后，我们自然应考虑其定义域、值域、对应关系发生了怎样的变化三角函数表达式由函数名称、角及其结构三方面共同决定，因此三角恒等变换自然要从函数名称的变换、角的变换、结构特征的变换来寻找变换的思路与方法；向量具有数与形两方面的特征，我们自然应该从数与形两方面思考向量问题要突出拓展问题的必要性与必然性如建立任意角概念后，自然要研究角的“分类”和表示法；建立任意角的三角函数概念后，自然要研究三角函数的性质、图象及其应用；建立向量概念后，自然要研究向量相关概念、向量表示法、向量之间的关系、向量运算及其运算律等这里，我想和大家一起重温一下本套教材的主编寄语：“在这套教科书中出现的数学内容，是在人类长期的实践

21、中经过千锤百炼的数学精华和基础，其中的数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的了解，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味”这段话不仅阐明了数学是自然的，而且指导我们如何从它的背景、它的形成过程、它的应用、它与其他概念的了解等方面入手搞清楚为什么是自然的问题四：您多次说过，当前数学教学最欠缺的是能力与思维教学，但真正做到、做好这一点很难，请问您在这方面有什么建议？答：做到、做好这一点的确很难，这里既有教师的因素，也有学生的因素但我认为，只要我

22、们有能力教学和思维教学的意识，并持之以恒、不断地寻找能力和思维教学的途径与方式，那我们的学生一定会变得更加聪明、更加善于思考、更加喜欢数学学习为了有效地加强能力与思维教学，我觉得要做到以下三点：一、积极挖掘知识所蕴含的数学思想方法，切实加强数学方法论教学如三角函数章的数学辅助工具是直角坐标系、单位圆和三角函数线，主要思维方法是归纳、类比，主要数学思想方法是数形结合、分类讨论、函数思想、分解转化教学时要注意通过单位圆、三角函数线这两个数与形结合的典范，揭示形象、直观的几何与精确、抽象的代数之间的内在了解与统一，帮助学生形成“以数论形”与“以形论数”的思维习惯平面向量章最重要的思想方法，一是把现实

23、问题数学化，舍弃力、位移、速度、加速度等的物理背景，抽象出这些量的共同特征“既有大小又有方向”，进而建立向量的概念；二是数学问题现实化，向量加法运算、减法运算、数乘运算、数量积应遵循怎样的法则等问题，都应该从向量形成与产生的源头即相应的现实背景中寻找启发；三是牢牢把握向量所具有的数与形两方面的特征，善于从数与形两方面思考问题；四是突出类比与转化，包括向量及其运算与数及其运算的类比、向量之间的分解与转化、向量问题与几何问题和物理问题之间的转化二、积极挖掘知识发展所蕴含的思维方法，切实加强思维方法论教学数学探索应该在一定的数学思想方法和思维方法指导下进行，应该让学生在搞清楚探究和解决问题主导思想的

24、前提下再研究、解决细节问题，盲目地“摸着石头过河”“走一步算一步”，那是很危险的 要强化归纳、类比等思维方法如2.1.1节向量的物理背景与概念教材中明确指出：“回顾学习数的概念，我们可以从一枝笔、一棵树、一本书中抽象出只有大小的数量“1”类似地，我们可以对力、位移这些既有大小又有方向的量进行抽象形成一种新的量”这段话包含着两层意思：一是向量的概念是通过对现实问题的归纳、概括、抽象得到的二是向量具有数的特征，学习和研究向量应注意与学习数进行类比，从运算法则和运算律两方面进行研究要帮助学生养成良好的思维习惯和方法引导学生遇事多问几个“为什么”和“怎样想到”：如为什么要引入任意角、象限角的概念，为什

25、么先推导两角差的余弦公式而不是两角和的正弦公式；怎么想到利用单位圆来定义三角函数和引入向量的坐标运算要培养学生追根究底的意识和习惯现在学生的创新思维、创新意识不足的根源在于教学重接受与模仿我们一定要让学生认识到，数学学习就是一个不断提出问题、不断解决问题、不断拓展问题的过程；要时刻注意对所学的知识进行归纳、类比、特殊化、推广如由正弦、余弦函数的周期性，想到一般的周期函数；由的周期为，想到“如果函数的周期是T，那么函数的周期是”是否成立要善于从简单的事例中提取、发现深刻的思维方法：如通过研究、与的图象之间的关系来研究与的图象之间的关系，就蕴含着从特殊到一般、从简单到复杂、分类讨论、数形结合等思想

26、方法要引导学生从事物产生的“源头”、构成要素及其相互了解中寻找思维的切入点如向量形成与产生的“源头”是位移、力、速度等，那么研究向量加法及其运算律，就应该从位移、力、速度等合成中寻找启发和帮助教学时，应先提出研究向量加法的问题，再来看位移、力、速度是如何合成的，而不是反过来又如函数是由A、三个“要素”决定的，因此研究的图象自然地要研究A、发生变化时，、图象会发生怎样的变化 三、充分利用思维难点，而不是回避思维难点高品质的数学教学不但要引导学生提出接近研究水平的问题，而且还要启发学生用接近研究水平的方式解决问题由于思维难点往往与思维方式的突破紧密了解在一起，因此它是学生思维的“磨刀石”，是会生“

27、金蛋的母鸡”，教学时要在思维难点上多花时间，尽力突破如为什么要引入弧度制？如何引入弧度制？因为每种单位制都有其优点和缺点，不同的单位制能带来不同的方便角度制中，角的60进位制与其三角函数值的10进制存在着明显的不协调； sin30°=0.5中，左端的30°是用弧长来度量的，以1°为单位，而右端的0.5可以看作正弦线的长，它是以半径为单位的这正如如果有人给出一张桌子的尺寸：长是1.2米，宽是2.5英尺，我们会觉得不自然、不方便一样另外，把圆周分成360等份，具有偶然性和主观性这就促使我们思考，有没有更客观、更合理的度量角的方式，联想到，即无论圆周长是多少都只能分成2

28、个半径单位，因此以长度等于半径长的弧所对的圆心角规定为1(弧度)是科学的、合理的教学时，要牢牢抓住从角度制到弧度制的过渡与衔接的本质是如何更科学、更合理地等分圆周又如任意角三角函数概念的难点在于如何突破借助直角三角形定义三角函数的思维局限，由锐角三角函数概念中直角三角形边的比，转化平面直角坐标系中坐标的比考虑到任意角的三角函数是在锐角三角函数的基础上学习的，因此任意角三角函数的定义自然应在锐角三角函数定义中寻找启发仔细考察初中的锐角三角函数定义，不难发现：虽然锐角三角函数是借助直角三角形来定义的，它的函数值大小却是由角的大小确定的，即无论把锐角放在放到怎样的三角形中或不放在三角形中，都不改变其

29、函数值的大小这就启发我们，直角三角形只是定义锐角三角函数的载体与工具，而不是锐角三角函数所固有的本质属性既然如此，那完全可能用新的载体与工具来定义锐角三角函数由直角三角形联想到平面直角坐标系和上节课在直角坐标系中讨论角，可以比较自然地想到把锐角放到直角坐标系中这样就会发现：可以借助角终边上点的坐标来定义三角函数，并且这个新的定义与前面借助直角三角形的边来定义本质上是一样的只不过，当在直角坐标系中锐角的终边上任取一个点P(x，y)，再作出直角三角形时，x、y有双重含义即从几何角度看，它们表示直角三角形的边长；从代数角度看，它们表示点P的横坐标和纵坐标 四、基于感性，发展理性教学要从具体经验入手，

30、但不能止于具体经验，而要逐步向抽象和普遍发展教材中许多问题的处理，都是遵循从特殊到一般的原则进行，这既有利于降低思维的难度，也可以通过具体的例子为一般性的原理提供生动直观、有血有肉的事例但数学是严谨的、理性的，数学的价值在于发展学生的思维能力因此我们要在学生获得感性认识的基础上，帮助和促进他们形成理性认识如研究三角函数的性质，我们既要注意通过观察具体的、特殊的三角函数的图象得出，也要注意回归到三角函数定义和三角表达式这一源头来说明或论证三角函数的性质，把“以形论数”与“以数论形”有机地结合起来对函数图象与函数图象的关系问题，也要注意从代数表达式这一源头来说明问题，而不能止于观察、归纳，而应该有

31、理性的思考和更严谨的依据总之，数学思想方法、思维方法教学要重在与知识教学相结合，并且要引导学生善于及时归纳、体会、感悟知识探究与发展过程中所蕴含的数学思想方法与思维方法问题五：改进学生的学习方式是本次课程改革的重要内容，您能否结合实际谈谈如何改进学生的学习方式？ 答：当前学生学习存在的问题比教师教学存在的问题更多、更大，这也预示着学生的学习有着很大的改进和提高的空间就学生的数学课堂学习而言，我觉得要注意以下四点：1让学生带着问题主动思考，而不是被动地跟着教师走教材十分强调问题性，我理解包含着三层意思：一是要注意引导学生自然地提出问题，帮助学生养成“凡事问个为什么”的习惯；二是要用问题来引导和促

32、进学生学习，让学生的学习变得更主动、更生动、更富有探索性和趣味性；三是用问题来拓展学生的思维深度和广度，沟通知识间的内在了解2避免“听多思少”“做多悟少”现象，加强学生的学习感悟现在课堂教学还存在着十分明显的接受学习时间与发现学习时间比例失调的问题，学生听多悟少的问题，学生只会把书读厚而不会把书读薄的问题孔子曰：学而不思则罔学生只接受，而不消化、不整理，严重地影响和降低了学习的效益，因此课堂教学要为学生的独立思考和自我感悟留出时间和空间要鼓励和帮助学生及时梳理所学知识，理清知识形成与发展的思维主线，了解知识间的相互了解，努力形成良好的知识结构这方面，教材每章小结中的“本章知识结构”和“回顾与思考”都为我们提供了很好的素材我们要积极借助这些素材让学生把书读“薄”3帮助学生树立“能跑则跑，能飞则飞”意识，切实减少课堂上放慢学习、等待学习等现象，避免学生自己学习探索20分钟能解决的问题跟着教师学却用了45分钟如