利用导数求曲线的切线和公切线

1、令 f ' x=0 得，x=-1=- 1, t - yo=3 1 - x。，即卩传+t+3=0，设 g x=4x3 - 6x2+t+3 ,利用导数求曲线的切线和公切线一. 求切线万程【例 11 .曲线 f(x)=x 3-2x 2+1.(1)求在点P 1,0丨处的切线l 1的方程； 求过点Q 2,1与曲线f(x)相切的直线丨2的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二. 有关切线的条数【例 21. 2021?北京函数 fx=2x3- 3x.I求f x在区间-2, 1上的最大值；U假设过点P 1, t丨存在3条直线与曲线y=f X相切，求t的取值范 围；川问过点A- 1, 2，B2,

2、10，C0, 2分别存在几条直线与曲线那么“过点P 1, t丨存在3条直线与曲线y=fx相切"，等价于“ gx有 3 个不同的零点".I g' x=12x2- 12x=12xx 1， g 0=t+3是g x的极大值，g 1=t+1是g x的极小值. g 0 0 且 g 1v 0,即-3v t v- 1，当过点过点P 1, t丨存在3条直线与曲线y=fx相切时，t的取值范围是-3，- 1.川过点A - 1, 2存在3条直线与曲线y=fx相切；过点B2, 10存在2条直线与曲线y=fx相切；过点C0, 2存在1条直线与曲线y=fx相切.【例 3】.函数 fx=lnaxa

3、0, a R，呂玄二三L.KI当a=3时，解关于x的不等式：1+efx+g x> 0;U假设fx > gx x> 1恒成立，求实数a的取值范围；川当a=1时，记hx=fx- gx，过点1，- 1是否存在函数 y=hx图象的切线？假设存在，有多少条？假设不存在，说明理由.【解答】解：I当a=3时，原不等式可化为:1+eln3xU>0;故h x在x=1处取到最大值，故lna > h 1=0,可得 a=1，等价于l+3x+>03x>0，解得X丄，故解集为丄，Q令II-宜对x > 1恒成立，所以h< lnalhE十咲h(Q<OQ1), Is可

4、得hx在区间1，+x上单调递减,即 In* J，T xo， Lni，那么干二故a的取值范围为：1， +x川假设存在这样的切线，设切点牝T二切线方程：y+1 x-1吋即1口呵1=0,设 gx=1 丄-2，+x上是增函数，在区间1，2上是减函数，故 gx极大=g 1=1>0,故 gx极，小=g 2=ln2+丄 >0,.又 g寺=1 诗+12- 6- 1 = Tn4 - 3v 0,由g x在其定义域上的单调性知：g x=0仅在亍，1内有且仅有一根,方程有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条.【作业 1】.2021?莆田一模函数 fx=2x3-3x+1, gx=kx+1 - Inx .

5、1设函数； J 、，当kv 0时，讨论h x零点的个数；趙Gc),2假设过点P a,- 4恰有三条直线与曲线y=f x相切，求a的取值范 围.三. 切线与切线之间的关系【例4】.2021?绵阳模拟a, b, c R,且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数fx=ax+bcosx+csinx的图象都相切，那么a+.叮'c的取值范围是 .解： fx) -x- a= +令攀=#»那么旺+卩=切 屯+护=£fXx) = a+cos&由題爲 存在心巧eR使得fgf(号)=即S+cosq)S+cas朋一1,即关于口的二次方fta2 +(cos + cos)

6、a + coscos+1 = 0 (*)ff实根所以 A = (cosSl + cos)2-4cosQstf1-4sO(costfl-cos)2 24所闵cos优一co班恰2,又|cos-cos|<2-所叫co昭-co昭| = 2所Wcos=l,cos =-1此时方程广)变为/ =()a=0那么 a 2b3c2b 3c，v b2+c2=1, 设b sin ,a cos , . 2b 3c 5sin( ),故aS叭民 -后忑,令 t' X> 0 得 X> 1,令 t' XV 0 得 XV 1 ,所以，函数tX在0, 1上是减函数，在1, +X上是增函数,当1时，

7、tx在m, m+1 m 0上是增函数,当OvmV 1时，函数tx在m, 1上是减函数，在1 , m+1上是增函数, t Xmin=t 1=e.U设12的方程为y=k2X,切点为X2, y2，那么y-2,垃"二J 上-2££耳 2 X2=1, y2=e： k2=e.由题意知，切线1 1的斜率切线1 1的方程为1 e/ ：,设11与曲线y=fx的切点为X1, yd ,工11 1叶- e,- 疋1e又 y1=1 nx 1 - a X1 - 1，消去 y1, a 后整理得1 x | ee令卜仗二InxT，那么H 工二 ，x e* h工 mx在0, 1上单调递减，在1, +

8、x上单调递增，假设 X1 0, 11,： m丄二-2+巴丄0, m二丄WO ,衍 丄* 1,eee1 e而遵*,在右1单调递减,假设X1 m乂在1,+x上单调递增，且m e=0, X1=e综上，+x2a=0或旦ce【作业 2】.2021?黄山二模函数 fx= ax2+x- 1ex+f 0.1讨论函数fx的单调性；2假设 gx=e_xfx+lnx , hx=ex，过 O0, 0分别作曲线 y=gxI寸与y=hx的切线l i, 12,且l i与12关于x轴对称，求证：-+v av-. 2/ 2四. 求公切线的方程【例6】.2021?安阳一模函数-,gx=3elnx，其中e为c x自然对数的底数.I

9、讨论函数fX的单调性.2 e-33-er3 -e2 ，XexU试判断曲线y=fx与y=gx是否存在公共点并且在公共点处有公切 线.假设存在，求出公切线l的方程；假设不存在，请说明理由.【解答】解：I由:-，得e x令 f ' x=0，得-.当且 x 工 0 时，f' xv 0；当一-.-时，f 'X> 0.oo0上单调递减，在0,宁一上单调递减，在V4+8)单调递增；U假设曲线y=fx与y=gx存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为x°> 0,那么即f 2 e32yq + SelrLXj-i (1)x04xn e£ 厂些其中2式即

10、记 hx=4x3 3e2x - e3, x 0, +x，那么 h'x=32x+e2x - e， 得hx在一 一.上单调递减，在:上单调递增， 又 h0= -e3, h借二-gj，he=0,故方程hxo=0在0, +x上有唯一实数根xo=e,经验证也满足1式. 于是，f xo=gxo=3e, f'xo=g' xo=3,曲线y=g x与y=gx的公切线I的方程为y- 3e=3 x-e， 即 y=3x.【作业 3】.函数 f x=lnx , g x=2-工x > 0x1试判断当fx与g X的大小关系；2试判断曲线y=f x和y=gx是否存在公切线，假设存在，求出公切 线

11、方程，假设不存在，说明理由；3试比较 1+1X 2 1+2X 3 1+2021X 2021与 e 4021 的大小，并写 出判断过程.五. 与公切线有关的参数取值范围问题【例 7】.函数 fx=blnx , gx=ax2- xa R.I假设曲线fx与gx在公共点A 1, 0处有相同的切线，求实数 a、b的值；U当b=1时，假设曲线fx与gx在公共点P处有相同的切线，求证： 点P唯一；川假设a>0, b=1，且曲线fx与gx总存在公切线，求正实数 a的 最小值.【解答】解：If'x=二,g'x=2ax- 1.曲线fx与gx在公共点A 1, 0处有相同的切线，g p-口，解得

12、 a=b=1.b=2a-lU设P xo, yo，那么由题设有ln x o=axo2 - xo， 又在点P有共同的切线，.f'xo=g'xo，： J -：|-',X n0= 丄.12Txo,那么 h'xHx>0，那么 h'x>0,二a"_ ,代入得Inx 设 hx=Inx -*x, hx在0, +d 上单调递增，所以hx=0最多只有1个实根,从而,川结合1可知，满足题设的点P只能是P 1, 0.当 a> 0, b=1 时，f x=lnx , f' x丄,x -1，即卩 y=-t在点t , I nt处的切线方程为y - I

13、nt=x+l nx - 1.与 y=ax? - x，联立得 ax? - 1丄x - Int+1=0 .曲线f x与gx总存在公切线,即=4a 1 - IntInt - 1关于t t > 0的方程=0,*不成立，所以0 vt ve,假设t >e,那么1 - Int v0,而(1片)1 >0,显然2从而，方程*可化为4a=厶：t2 (1 lnt)令H t匚二二0vt v e，那么 Ht =-!-l-i-1 -丄t3 (1-lnt) 2当 Ovt v 1 时，h'tv 0；当 1 vt ve 时，h't> 0, 即ht在0, 1上单调递减，在1, e上单调递增

14、. ht在0, e上的最小值为h 1=4, 要使方程*丨有解，只须4a>4,即a> 1.正实数a的最小值为1.【例 8】.2021?韶关模拟.函数 fx=aexa 0，gx=x2I假设曲线C1： y=fx与曲线C2： y=gx存在公切线，求a最大值.U当 a=1 时，F x=fx- bgx 丨-cx - 1,且 F2=0,假设 F x 在0, 2内有零点，求实数 b的取值范围.【解答】解：I设公切线I与C1切于点* , a 1 :与C2切于点X2,j， f 'x=aex, g'x=2x,J二先b 2ae x s叫,由知X2工0,代入:即 X2=2xi 2,由知a,g

15、'X=X令 g'x=0,得 x=2；当 xv2 时 g'x 当 x>2 时，g'xv 0,> 0,g x递增. x=2 时，g xma=g 2UFx=fx bgg x =12cX递减. ama>=.-ccx 1=ex bx cx 1, F 2=0=F 0，又 Fx在0, 2内有零点, F :乂在0, 2至少有两个极值点，即F'x=ex 2bx c在0, 2内至少有两个零点.2 : Fx=ex 2b, F2=e2 4b 2c仁0, c=_ , 当 bw时，在0, 2上，ex>e°=1>2b, F x>0,2 F

16、x在0, 2上单调增，F'x没有两个零点.2 当 b?；时，在0, 2上，exve2w2b,： F xv 0, Fx在0, 2上单调减，F'x没有两个零点；1 e2 当丄vb时，令 Fx=0,得 x=ln2b ,因当 x>ln2b 时，F x>0, xv ln2b 时，Fxv 0, Fx在0, In2b递减，In2b , 2递增,2所以 x=ln2b 时， F' x最小=F' In2b=4b- 2bln2b 设 Gb=F' ln2b=4b-2bln2b 令 G'b=2 2ln2b=0 ,c得2b=e，即b,当 bvp时 G b>

17、0;当 b>时，G'L 1 2当 bW时，G b 最大 =Gv 0,自=e4 r Gb=f' In2bv 0恒成立，因F'x=ex- 2bx-c在0, 2内有两个零点，7-4b-l旷0二-一 >0尸 2_4k-i'52“二止-2Zii2b- ； V 0 ,解得： v bv二I ,R 422综上所述，b的取值范围二二， T【作业 4】.函数 fx=ax -丄blnxa, b R，gx=x2.1假设a=1，曲线y=fx在点1, f 1处的切线与y轴垂直，求b 的值；2假设b=2,试探究函数f x与gx在其公共点处是否有公切线，假设存在，研究a的个数；假设

18、不存在，请说明理由.六. 公切线的条数问题【例 9】.函数 fx=lnx , gx=ex.1确定方程fx上g实数根的个数；2我们把与两条曲线都相切的直线叫作这两条曲线的公切线，试确定曲线y=fx，y=gx公切线的条数，并证明你的结论.方程X有两个实根;2解：曲线y=fx，y=gx公切线的条数是2,证明如下: 设公切线与 fx=lnx , gx=ex的切点分别为m lnm，n, en，mn, f 'x二一,g'x=ex, 门,化简得m 1Inm=m+1,Im当 m=1 时，m- 1Inm=m+1 不成立；当 m 1 时，m 1Inm=m+1 化为 Inm=二一】,m-1由1可知，

19、方程Inm有两个实根，ID1曲线y=fx，y=gx公切线的条数是2条.【作业 5】.函数 fx=x2+2 1 ax 4a，gx -a+12，那么 fx x和gx图象的公切线条数的可能值是 .【作业 1 解答】解：1f'x=2x+1x 12=0, x=-厂或 1， x=f-gx=k-1k v 0,g，Xv 0, g x在1 , +x上单调递减，g x的最大值为g 1 =k+1.k v 1, g11 v 0, g x在1 , +x上无零点；h x的零点;k= 1, g 1=0, gx在1，+*上有 1 个零点；1v kv 0, g 1 0, ge1 k=ke1 k+kv0, gx在1 ,

20、+*上有 1 个零占；八、综上所述，k v 1时，h x有1个零点；-K k v 0时，h x有两个零点；2设切点t, f tx=6x2 6x,.切线斜率f '2t=6t 6t ,切线方程为 y-ft=6t2-6tx t，切线过 P a, 4, 4 f t= 6t2 6t a t 丨， 4t3 3t2 6t2a+6ta 5=0 2 1t=12t 6t 12at+6a=0 . t= 或由题意，方程有3个不同的解.令 Ht=4t3 3t2 6t2a+6ta 5,那么 Ha.a二丄时，H't丨?0, H t丨在定义域内单调递增，H t不可能有两个零点，2:有两个解，不满足题意；二，a

21、, +d 上, H' t> 0，函数单调递增，在丄，2 2tv 0，函数单调递减，H t丨的极大值为H，极小值为Ha；沙尹在打上，H丄；2-X，a，二，+x上，h' t> 0，函数单调递增，在a，2tv 0，函数单调递减，H t丨的极大值为H a，极小值为H要使方程有三个不同解，那么 H丄Hav 0,即2a- 7a+1 2a2-5a+5> 0，a>丄或 av 1.2【作业 2 解答】解：由得 f x=ax2+ 2a+1xex，f 0=0，所以 fx=ax2+x 1ex.1f x=ax2+ 2a+1xe x=x ax+2a+1ex.假设a>0,当工丄

22、或x>>0 时，f x> 0;当-2 <k<0 时，f x av 0,所以fx的单调递增区间为YO, -2丄* Ci,十g；单调递减区间为 辻-亍 o).假设a=0,f x=X- 1ex, f x=xex，当 x>0 时，f x>0;当 xv 0 时，fXV 0,所以fx的单调递增区间为:0, +；单调递减区间为-x,0.假设I,当蓝-2a或 xv 0 时，f xv 0；当丄时，fax 0,所以f x的单调递增区间为© 汙；单调递减区间为0), (-2,的单调递减区间为-X, +xa 假设二一 * d丄:Cl,故f I x I£盘-

23、2丄N<0时，fx a 假设匕<4,当Q2丄或x>0时，f xv 0；当2a> 0,所以f x的单调递增区间为丄，°单调递减区间为(-GO, -2丄人(0, I I.a当a>0时，fx的单调递增区间为-./ I. I ' .;单调递减区间a为一2丄.0.a.当a=0时，fx的单调递增区间为0, +x;单调递减区间为-x, 0，设I 2的方程为y=k2X,切点为X2, y2,那么匸,所以X2 = 1,当今W0时，fx的单调 递增区间为0, -2L;单调递 减区间为0), (-2丄，+0.aA<兮时，fx单调递增区间为(-2-丄a;单调递减区间

24、为(TO,ax的单调递减区间为-X,+x当护弓时，f当0, +x2证明：gX=e-xfx+lnx= - e-x ax2+x - 1ex+lnx=ax 2+x - 1+lnx ,y2=e, k2=e.由题意知ki=- k2=- e,所以11的方程为y= - ex，设I 1与y=gx的切点为xi, yi，那么|上, _ ： ：i _.111 Ki si 2xi 靖巳+ii又 ¥二日十工+-l+ln j：1 二-巳x i, 即 Hnx, 令/ v e+1 ,3 1在定义域上，u'x> 0,所以0, +x上，ux是单调递增函数，又.1-1:- ,所以-'即, 那么 1

25、t盘，就廿二篇, 所以 e2訳空二公坞二年，证明：设 Fx=fx- gx，那么 F'xe 2, 2_ 3，x由 F'x=0,得 x=3，当 Ovxv 3 时，F' xv 0,当x3时F'x 0,可得Fx在区间0, 3单调递减，在区间3, +单调递增,所以Fx取得最小值为F3=ln3 _ 10, Fx 0,即 fx gx；2假设曲线fx与g x有公切线，切点分别为 PX。，Inx°和Qxi, 2-丄.因为 f 'x=-, g' x=-,xJ所以分别以Px°, Inx °和Qxi, 2 _为切线的切线方程为y= +lnx

26、 0 _ 1,“i03+1 n3=0.所以由h' x彳-七=0,得xi=3.显然，当 OvxiV3 时，h'xv 0,当 xi>3 时，h'x>0,所以 h xmin=l n3 1 > 0,所以方程2lnx 1+二-3+ln3=0无解，故二者没有公切线.所以曲线y=fx和y=gx不存在公切线；40213 1+1X 2 1+2X 3? 1+2021X 2021> e .理由：由1可得 lnx >2 一x>0，可令 x=1+ nn+1=2 3丄-丄n n+1那么 ln 1+1X 2>2X 2021 3 1，可得 ln 1+nn+1&

27、gt; 2-n(n+L)+ln 1+2X 3+ +ln 1+2021X 2021一 +.31 +22一厶20222022=4024 >4021.即有1+1X 2 1+2X 3._ 1+2021X2021>e4021.【作业4解答】解：I： fx=x- blnx，f，x=1专-7，由于曲线y=fx在点1, f 1处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0,即f' 1=0，即1+1 b=0， b=2;2假设fx，gx的图象在其公共点X。，y。处存在公切线,由 f x =a,g'x 2lnx，得 f'x =2x,由 f 'X0=g'X0，得=2x0，即

28、2x03 ax02+2x0 - a=0,7,即x°2+1 2x0 a=0,那么 X0又函数的定义域为o, +x，当a< 0时，w 0,那么fx，gx的图象在其公共点x°, y°处不存在公切线;且当 x° 时，hX +x；当 x f+x时，hx hx在0, +x有两个零点，方程a2-83=1门曽在°, +X解的个数为2.综上：当a< °时，函数fx与gx的图象在其公共点处不存在公切线；当a>°时，函数fx与gx的图象在其公共点处存在公切线，a的值有2 个.在导数的练习中，常见这一类题型:含有fD 的一个不等式

29、，以及兀三的一些其他性质，让解不等式或者比拟大小。这类题型的常用思路是emph构造函数，下面举例说明。i屮叫定义在人上的奇函数，当2 °时，厂v?，且巧=“，那么不等式"的解集是.4.( L +oc)U 丄亠oc)U (-oc 一 1)Dr 1)U0 L)分析：观察条件给的不等式屏+ 1) f窗+呵(工)< ° ，它的左边是"'：的导函数。故构造"(e),并把题中扛丁)的其他性质转化成 血) 的性质，把要求解的不等式也转化成关于，的不等式。解答：令血)二W + 1)当松0时,，/何=(异+ 1)+ 2订何< 0由f 丁 &#

30、39;是奇函数得(iTl也是奇函数，由 f( 1) = I得! 1) =g。可得°?的“草图"如下:而不等式等价于邑竺。由“草图"易知解集为兀一二 1) U iO. 1),选口拓展：怎样构造出适宜的函数呢？ 一般考虑一下三个模型:+ mF(巧)(严=严(町(工)+/*)特别地，当时，有厂项齐尸&<?讦;小产紳可当一一j时，有：1 我们可以比照这三个模型求导后的形式与题中给出不等式的形式，确定.或者2.函数的定义域为r%，几一i=-，对任意£ _£ /?，/> 2，那么不等式丿丫上 2工+ 4的解集是下面再举几个例子：3.'为定义在 :上的可导函数，且'.对于，恒成立，且为自然对数的底，那么/r 2r + 4的解集是1)G (-oo- -1)cxz +oc)分析：观察条件中给出的不等式，以及要求解的不等式，易知可以构造= fD - 1。再把川，'的其他性质也都转化成白】的性质。解答：构造血=f时一加一 4。那么扌诃=尸0 - 20*在刃上递增。八J丁 日丨 pyv一L?-亠心“口 a由f T = H三o而不等式血 2x +斗即为嗣 0二解集为+xj选E。> c yt