安工大概率论练习册答案

1、第一章练习题E表示“电路接通 A表示“第1.如图，设1、2、3、4、5、6表示开关，用 i个开关闭合请用 A表示事件B解： B A1 A3 A2A3 A4 A5A,进入商店的小偷有 60%可以被电视监测器发现，有40%被保安人员发现，有20%被 监测器和保安人员同时发现，试求小偷被发现的概率解：设事件A1表示被监测器发现，事件 A2表示被保安人员发现，B表示小偷被设现件A1表示被监测器发现，A2表示被保安人员发现，B表示小偷被发现P B P AiA2P AP A2P A1A20.60.4 0.20.83. 周昂，李虎和张文丽是同班学生.如果他们到校先后次序的模式的出现的可能性 是一样的，那么周

2、昂比张文丽先到校的概率是多少？解：三人到校先后共有 3!种情形，周昂比张文丽先到校有C2种情形。mCfn3!0.54. 甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年来，气象的记录，知道甲、乙两城市 年中雨天占的比例分别为 20%和18%，两地同时下雨的比例为 12%，问(1) 乙市为雨天时，甲市为雨天的概率是多少？(2) 甲市为雨天时，乙市为雨天的概率是多少？(3) 甲、乙两城市至少有一个为雨天的概率是多少P(Ai / A2) P(AiA2)/ P(A2)0.i2/0.i82/3(2)P(A2/Ai) P(AiA2)/P(Ai)0.i2/0.20.6 P(Ai A2) P(Ai) P(A2)P(A

3、iA2)0.2 0.i8 0.i20.26解：设事件 Ai表甲市为雨天， A2表乙市为雨天。20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,问现年20岁的这种动物活到 25岁的概率 是多少？解：设Ai表活到20岁，A2表活到25岁。P(A2/AJ P(A1A2)/P(A2) P(A2)/P(AJ 0.4/0.80.5和发出信号 *和 +；由于通信受到干扰，当发出信号为 *时，收报台分别以概率 和收到信号 *和 +又假设发出信号为 +时，收报台分别以概率和收到信号 +和 * 求当收报台收到信号 *时，发报台确实发出信号 *的概率.解：设Ai表发出信号*, A2表发出信号+, Bi表收到信号*,

4、B2表收到信号+。P(Ai/Bi)P(Ai) P(Bi/Ai)P(A1) P(Bi/Ai) P(A2) P(Bi /A2)0.6 0.8 60.6 0.8 0.8 0.i77.某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求全厂产品的次品率.解：设Ai , A2, A3分别表示产品为甲、乙、丙车间生产的，B表示产品为次品。P(B) P(Ai) P(B/Ai) P(A2)P(B/A2)P(A3)P(B/As)0.25 0.050.35 0.040.4 0.020.03458.某高校甲系二年级i、2、3班的学生

5、人数分别为i6、25、25人，其中参加义务献血的人数分别为12、15、20人，从这三个班中随机抽取一个，再从该班的学生名单中 任意抽取2人.(1) 求第一次抽取的是已献血的人的概率；(2) 如果第二次抽到的是未参加献血的，求第一次抽到的是已献血的学生的概率解：设AA2,A3分别表示1, 2，3班的学生，Bi,B2分别表示第一，第二次抽取的是已献血的学生。(1)P(BJ P(A1BJ P(A2BJPfBJ1 .12(_3161525!)4360(2)P(B1/B2)P(B1b2)P(Ai B1B2)i 1P(B2)P(B1B2) P(B1B2)112415102053(1615252425243

6、7513(161525 2425 24161525 2425 249. 美国总统常常从经济参谋委员会寻求各种建议.假设有三个持有不同经济理论的参谋(Perlstadt,Kramer,和Oppenheim).总统正在考虑采取一项关于工资和价格控制的新 政策，并关注这项政策对失业率的影响每位参谋就这种影响给总统一个个人预测，他们所预测的失业率的概率综述于下表：下降(D)维持原状(S)上升(R)PerlstadtKramerOppe nheim根据以前与这些参谋一起工作的经验，总统已经形成了关于每位参谋有正确的经济理论的可能性的一个先验估计，分别为P Perlstadt 正确=1/6P Kramer

7、 正确=1/3 P Oppenheim 正确=1/2假设总统采纳了所提出的政策，一年后，失业率上升了，总统应如何调整他对其参谋的理论正确性的估计.解：设Ai表第i个人正确(i 1,2,3), B表失业率上升。P(Ai/B)P(AJ P(B/AJP(B)0.80.80.20.2P(A2/B)P(A2)P(B/A2)P7B111-0.8-0.2-0.2632130.2P(Aa/B)P(A3)P(B/A3)P7B0.20.80.20.210. 甲、乙、丙三人向同一架飞机射击设甲、乙、丙击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,又设只有一人击中，飞机坠毁的概率为；假设二人击中，飞机坠毁的概率为；假设三人

8、 击中，飞机必坠毁.求飞机坠毁的概率.解：设 A表示有i人击中i 1,2,3，B表示飞机坠毁，Cj表第j人击中(j 1,2,3)。P(AJP(C1 C2C 3 )P (C1 C2C 3 )P(C1 C2 C3)0.40.5 0.3 0.6 0.50.30.60.5 0.70.36P(A2)P (C1C2C3)P (C1 C2C 3 )P (C1C2 C3)0.40.5 0.3 0.6 0.50.70.40.5 0.70.41P(Aa)P (C1C2C3)0.14P(B)3P(Ai) P(B/Ai)0.36i 10.2 0.410.60.14 10.45811. 如果 P(AC) P(BC) ,

9、 P(AC) P(BC)，贝U P(A) P(B).证明：P(A/C)P(B/C),P(AC )P(C)P(BC)P(C)P(AC) P(BC)(1同理得，P(AC) P(BC),(-(1)得,P (AC)P (AC)P (BC)P (BC)即 P (A)P (B)12. 选择题(1) 设代B,C三事件两两独立，那么 A,B,C相互独立的充分必要条件是 A (A) A与BC独立；(B) AB与A C独立；(C) AB与AC独立；(D) A B与A C独立.(2) 设当事件A和B同时发生时，事件 C必发生，那么下述结论正确的选项是 B(A)P(C)P(A) P(B)1 ;(B) P(C)P(A)

10、P(B)1 ;(C)P(C)P(AB) ;(D) P(C)P(AB).设事件A和B满足A B , P(B) 0，那么以下选项必然成立的是 B(A) P(A) P(AB);(B) P(A) P(AB);(D) P(A) P(AB).(4) . n张奖券中有 m张可以中奖，现有 奖的概率为C k个人每人购置一站张，其中至少有一个人中(A)1 mcf(B)m(C) 1Ck m 金;(D)Ui 1Cn.一批产品的一、二、三等品各占 60%、 三等品，那么该产品为一等品的概率为D(A)丄；(B) 1 ;P(A) P(AB);-;24330%、10%，从中任意取出一件，结果不是 2(D)-.3第二章练习题

11、1. 1有放回的情形C0325P(X 0) 82964P(X1)甞823064，P(X2)C；3528225642不放回的情形P(X0)CfC0CF328，P(X1)c3c5Cs1528P(X2)C0dCT10282 解:P(X k)(1 P)L0,123 解:学生答对题目的数量 XB(5,b4P(X4) P(X 4) P(X 5)C：c?(：) 解：1请三名代表，那么赞成人数X B(3, 0.6)P(X 2) P(X 2) P(X 3)22330C；(0.6)20.4 C33(0.6)3(0.4)00.6482请五名代表，那么赞成人数XB(5, 0.6)P(X 3) P(X 3) P(X 4

12、) P(X 5)Cf(0.6)3(0.4)2 Cs(0.6)4(0.4)1 C5)(0.6)50.68256请五名代表好(3)0441644解：死亡人数近似X B(1000, 0.2%)P()1 P(X4) 00(0.2%)4(99.8%)996k ek!24e4!0.9470.857 0.0902 k2P(X2 e2)0.677k 0 k!6.解：X P()1 P(X8)0.03(查表)8!2P(X7解：1P(X10 4ke 4k o k!1) 0.8 , P(X 2)0.2 0.8 , P(X 3)10)1 P(X 10) 10.003(查表)0.2 0.20.8P(X 4)30.23 0

13、.8 ,45P(X 5)0.240.8 0.2521 P(X5)0.998430.20.250.8 0.001284设A 用完子弹,B 击中目标P(B| A) P(AB)P(A)40.2 0.80.24 0.8& 解：11f (x)dx0cexdxce xdx ,解得 cP( 121) 011exdx21 1e21 10?e1e2dx F(1)F(1)3F(x)f(t)dt0,F(x)0,F(x)1212dtJdtx0etdt9.解:1P(2X5) F (5)F(2)(1)(0.5)(1)(0.5)P(4X10)F(10)F(4)(3.5)( 3.5)2 (3.5)P(X2)P(X 2)P(X

14、2)1F(2) F( 2)(0.5)P(X3)1F(3)1(0)122PXcPX c1F(C)F(C)F(C)C 3 111(2.5)1FY(y) P(Y1fY(y)30Y)即 Y U (5, 8)10. 解: F(t) tP(Xy 8其他f(x)dx50P50 T 100 e 241(1) 如果随机变量 x服从指数分布,(2).设X - N(1, 1)，概率密度函数为fx(x)x 2其他(3).设定满足F) Fx(宁0 0dtt丄0241e100241x亦dx241Y min( X ,2)的分布函数B那么随机变量(x)，下述选项正确的选项是P(X k) a ke /k! (k 0, 2,.设

15、随机变量X的密度函数为f (x)(5).设随机变量 X N( 1,PY 20,那么必有B.D丨.4,)，是随机变量X的概率分布，那么a,，那么Y 2X的概率密度函数为B丨. (1 x2)2)，随机变量丫N( 2，；)，且P X 111 解:x-1 xx+1 x-1解：因为第三章练习题f(x, y)dxdy 1,所以有00k(6 xx 2y 4y)dxdy 1，解得2434P(XP(XP(X3.解:P(A)5 P(A解得4 .解:P(XP(XP(X1,Y1.5)3)y)dxdyY 4)P(B)丄(6 xx 1.5 24y 4y)dxdy.1.53dxB) P(A)4 541放回抽样0,丫1,Y0

16、)0)0)f (x, y)dxdy4-x3-y3dy81 812 4dx0P(B) P(A)P(B)(a b)2P(X0,Y1)(aab(a b)2abb)2P(X1,Y1)P(X1)b2 ab(a b)21311dx (6 x y)dy 一 2420 0dx4 丄(600 24X(6 x0 24812(1(a b)b2(a b)2x y)dy 些16y)dy 89P(Y 0)a2 ab(a b)2P(Y1)b2 ab(a b)2P(X 0,Y0) P(X 0)P(Y0) P(X0,Y1)P(X 0)P(Y1)P(X 1,Y0)P(X 1)P(Y0) P(X 1,Y1)P(X1)P(Y1)所以

17、，X与Y相互独立。2不放回抽样P(X0,Y0)(a 爲 1 1) P(X0,Y1)ab(a b)(a b 1)P(X1,Y0)ab(a b)(a b 1)P(X1,Y1)b(b 1)(a b)(a b 1)P(X0)a(a 1) ab P(X (a b)(a b 1)1)b(b1)ab(a b)(a b 1)P(Y0)a(a。ab P(Y (a b)(a b 1)1)b(b 1) ab(a b)(a b 1)因为P(X。,丫。)石a(a 1) b)(a b1)2a(a b)2P(X 0)P(Y 0)所以，X与Y不相互独立。 时，有1 21x25.解：当-1x1fx(X)-x2ydy412(18

18、x4)所以有fYx(y1 x)f(x, yfx (x)2y4 ,x0,x 1, x2其他。y 1;3 1P(Y 3|X -)-4 23彳3 1412y1dy71516(1) P(X 1,Y 0) P(X 1,Y 0) P(X 2,Y0)P(X 1,Y1) P(X 2,Y1)9丄(2) P(X2|Y 0)坐仝 12 3P(Y 0) 乙 7363因为P(X1,Y1)0 P(X1)P(Y1)所以，X , Y不相互独立7.解：fZ (z)fX(x)fY(z x)dx当0 z 1时,zfZ (z)e (z x)dx0e z(ez 1)1 e当z 1时，1fze(z x)dxez(e 1)01ze,0 z

19、 1;所以fZ(z)er(e1) z 1;0其他。8.解：fX(x)1,0,0x1;其它.fY(y)e y0,y y0;0.从而有0,x 0;FX(x)x,0x11,x1FY (y)1 e y ,y 0;0,y 0.z ( z y)0 e dy1ze,fZ ( z)1 e (z y)dy0(e1)e z0,令Z X Y0 z 1;z1其他令 T maxX,Y那么t(1 e t ),0t1FT(t)1 e t ,t10,其他从而可得1 e t te t ,0tfT(t)e t,t 10,其他令 R min X,YFR(r)1 (1 r)e r , 0 r 1;0,其它.从而可得fR(r)(2 r

20、)e r , 0 r 1;0, 其它 .9.1 解：1P(Z 2) P(X 1,Y1)10P(Z 0) P(X 1,Y1)10P(Z1)P(X1,Y2) P(X2,Y1)P(Z3)P(X2,Y1)-110P(Z4)P(X2,Y2)1102P(Z1)P(X1,Y1)110P(Z1)P(X1,Y1)210P(Z2)P(X1,Y2)P(X2,Y1)P(Z2)P(X2,Y1)110P(Z4)P(X2,Y2)1103P(Z2)P(X2,Y1)210P(Z1)P(X1，Y P(Z 1) P(X 2,Y1)101P(Z 2) P(X 2,Y2)P(Z2)P(Xl,Y 2)3102P(Z1)P(X1,Y1)P

21、(X2,Y2)10P(Z2)P(X2,Y1)-104212P(Z 1) P(X 1,Y1) P(X 1,Y1)P(X 1,Y2) P(X 2,Y1)101设事件 代B满足p(A) - , P(A|B) P(B|A)41, 丁A发生，丫 1, f B发生，那么 PX 0,Y00,右A不发生.0,右B不发生.设随机变量X与Y相互独立且同分布P(X 1) P(Y 1)舟P(X 1) P(Y 1)1，贝U P(XY 1).设X N 0 1 , 丫N12,X,Y相互独立，令 Z Y 2X，那么Z - C 25设二维随机变量x,y服从G上的均匀分布，G的区域由曲线y x与y x所 围，那么X,Y的联合概率

22、密度函数为A第四章练习题1.解：(1) EX ( 1) 0.350 0.150.5 0.10 1 0.152 0.250.35(2)2X 131013PE(2X 1)( 3) 0.35( 1) 0.150 0.101 0.15 3 0.250.3X200.2514p0.150.100.5EX20 0.150.250.101 0.5 4 0.251.525(3)2.解：设X表示甲4次射击所得分数，那么X 0,15,30,55,100P(X 0)(0.4)4 ,P(X15)C4(0.6)(0.4)3 , P(X30) C2(0.6)2(0.4)2P(X3355) C4(0.6) (0.4),P(X

23、4100) (0.6)EX0 P(X 0) 15 P(X15)30 P(X 30)55 P(X 55) 100P(X100)44.64P(0) (10.53)3 0.67 , P(10)C3O.53(1 0.53)20.287P(30) (0.53)30.0020102030p0.670.2870.00220) Ca(0.53)2 (10.53) 0.041, P(E 3.752EX4 , EX1151966.解：1X,Y N(1,1/5), 由 D(X aY 2) E(X aYEX aEY 2 0, 1 a 22D(X 3Y 2) DXEX EY 1 , DX DY 1/52)2，得 E(X

24、 aY 2)00,所以a 39DY 1/5 9/5 24.解：设X表示元成任务所需天数1P(X 3) P(X 1) P(X 2) P(X 3)0.05 0.2 0.35 0.62EX 1 0.05 2 0.2 3 0.35 4 0.3 5 0.13.23设Y表示整个工程的费用，那么Y 20000 2000XEY E(200002000X)200002000 EX 264004EX 21 0.054 0.2 9 0.35 16 0.325 0.111.32 2 2DX EX (EX) 11.3 3.21.06、-DX 1.035.解：1EX(1 2 3 4 56) (1/6)3.5EX(149

25、1625 36)(1/6)91 /6DXEX22(EX) 35/12令 Z X 3Y 2，那么 Z N(0,2)z2z2E(X 3Y 2) EZ22E(X 3Y 2 ) EZ2D( X aY 2)2 2 2 dz2 1z2Tez24dzt27解：XU0,60 , fx(x)1/60,00,其他x 60g(X)255560X ,X ,X ,X 5,2555255560EYEg(X)g(x) fx(x)dx160600 g(x)dx8解：设P(XP(XEX9解：X4 Iodt 2150(5 611.67x)dx255(25x)dx5525 (55 x)dx6055(65x)dxX表示4天内的利润，

26、46)0.9 , P(X3)0)C：(0.1)2(0.9)24.80770,1,2, 36, 3, 0,113C4(0.1)(0.9),P(X 1)C：(0.1)30.9(0.1)4P(X0)0.90.80.70.504P(X1) 0.10.80.70.9 0.2 0.70.9 0.8 0.30.398P(X 2)0.10.2 0.70.1 0.8 0.3 0.9 0.2 0.30.092P(X3)0.1 0.2 0.30.006EX0.6，EX20.82DXEX22(EX) 0.4610.解：依题意X U 10,20 , YU10,20且相互独立f(x)1/10,10 x0 ,其他20, f

27、(y)1/10,10 y 2001/100,10fl 0，其他x,y 20设经销该商品每周所得利润为Z ,Z g(X,Y)1000Y,1000X500(YX),Y1000Y , Y500(X Y) ,YEZ Eg(X,Y)20 x10 dx101000y dy201020dx % 500(x y)1100dy1416711. 解:Cov(X,Y)DX DYCov( , ) Cov(aX b,cY d).D D D(aX b) , D(cY d)acCov(X,Y) a i DX c、DY解：1EX0, DX21 ，EY 0 , DY2EUEXa2Y)a1EXa2EY0DUD(a1X&2丫a12

28、 EX2DXa； DY(a1 1)2(a2 2)2EVE(a1X&2丫a1 EXa2EY0DVD1X&2丫)a；DXa； DY(a1 1)222)2U ,VU N(0,(a11)2 2 2)2)12.2 u22佝J2代2勺1二 e2 g J2 2)2f(u)v2f(v)12 佝 J2e2(i(a22)(a2 2)2EY22E(UV) E(a2X2a；Y2) a EX2 a；EY22a12 2a2 2Cov(U ,V)2 2E(UV) EUEVa1 122a11UV DU . DV 、DU . DV2a22a22222在正态分布中，不相关与独立是等价的，故2a222时U,V独立4f(u,v) f

29、u(U)fV(V)-2 e佝 J2 (a2 2)22 2u v222(a1 1) (a2 2)13.解：EXP(A) P(A), EY P(B)P(B)E(XY)1 P(AB) P(AB) ( 1)P(AB) P(AB)X和Y不相关 E(XY) EXEYP(AB) P(AB) P(AB) P(AB)P(A)P(B) P(A)P(B) P(A)P(B) P(A)P(B)A与B相互独立.2 148 11814.解：YX2 ,丫2X3 0.50.50.25 0.250.250.2538118116XYX3 ,XY2 X40.250.250.250.250.50.5EY 2.5,EY2 0,EX O,

30、E(X) O,E(XYJ 8.5Cov(XM) E(X) EXE0XY10,所以Yi X2与X不相关Cov(X,Y.) E(X%) EXE篦 8.5XY 0,所以丫2 X3与X相关.15 .选择题：1(1).随机变量X的概率分布为：P(X n) -, (n 1,2,3,).那么其数学期望2n(n 1)E(X)为D 丨.(2).随机变量X与Y独立同分布，令 X Y ,X 丫，那么随机变量和必然C (3).对任意随机变量X与Y，那么以下等式中一定成立的为B设X与Y为任意随机变量，假设E(XY) E(X)E(Y)，那么下述结论中成立的为A.设离散型随机变量 X的可能取值为1、2、3,且E(X) 2.

31、3 , E(X2) 5.9，那么对应取值1、2、3的概率应为D第五章练习题1、证明：设X表示掷1000次硬币出现的正面数，那么 X b(1000,-)2故 E(X) 500 D(X)250P(400 X 600)400 500P(5；10一X 5005.10600_500)5.10X 5005/10P( X 500 250P(2 10)100)1 t 0.975104从而得证P(400 X 600)0.972、证明:EXx xe xdxxx20 “dx2xe2eEX2xexdx2 x .e dx 6故 D(X)EX2(EX)2P(0 X 4) P(2)i DX41 1丄2 23、解：设n表示该

32、车间每月生产的显象管数，X表示显象管的正品数。 那么X b(n,0.8)由题意知:P(X 1000)P(X_0.8 n1000_0.8 ri)0.16 n、0.16 n(1000_0.8 n)0.16n0.997n 126545、解：设X表示抽查的100人中能治愈的人数，那么X b(100,0.8)那么 E(X) 80 D(X) 161P(X 75)X 8075 80、(441行(5)0.89442假设治愈率为 0.7，贝U Xb(100,0.7)故 E(X) 70 D(X) 21P(X 75)X 7075 700.13796、解：设X表示在一段时间内需要此商品的人数，Y表示应预备的商品件数。

33、那么X b(1000,0.6)那么 E(X) 600 D(X) 240P(X Y)p(X_600 Y_600) 、240.240(Y 600)240 )99.7%Y 6002402.75Y 6437 选择题B BD D C C1.在总体率N(52,6.32)中随机抽取一容量为第六章练习题_36的样本，求样本均值X落在至之间的概6 32解：由题意： XN(5.2, ),3653.8 52P(50.8 X 53.8)(6.36(1.7143)0.9564150.852(63)61.1429)0.8293(0.87292.某种白炽灯泡的使用寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，

34、测得其寿命(以小时计)为：10679191196785112693691811569209482试用样本数字特征法求出寿命总体的均值和方差2的估计值,并估计这种灯泡的寿命大于1300小时的概率.解：由题设知：样本容量 n 10样本均值-1X (1067919119678511269369181156920948)10997.1样本方差2 I22222222S (106791911967851126936918115692 2 292094810 997.1 )173051300997.1P(X 1300)1 P(X 1300)1()J173051(1300 997.1)1(2.3026)131

35、.5510.98930.0107.3.设各种零件的重量都是随机变量 ，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为公斤，均方差为公斤，问5000只零件的总重量超过 2510公斤的概率是多少？(提示：当n较大时，随机变量之和X X1 X2Xn近似地服从正态分布，以下第6题，第7题也适用)5000_xXi近似01解：由题设知n 5000，XJ N(0.5，)500050005000P(XX 25102510) P() P(X 0.5020)500050000.50200.51 P(X 0.5020) 1(:)0.1 50000.0021()1(0.444)10.67000.330.0045分布其数

36、学期望为2毫米，均方差为毫米，规定总长度为20 0.1毫米时产品合格试求产品合格的概率解：由题设知n 10， EX10那么总长度X X i ,且EXi 1那么产品合格的概率为2， D(Xi)0.05, i 1,210 220, DX 100.05100.5P(20 0.1 X5.电脑进行加法时，对每个加数取整(即取最接近于它的整数)，设所有的取整误差 是相互独立的，且它们都在(-0.5,0.5)上服从均匀分布.(1) 假设将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过(2) 几个数加在一起，可使得误差总和的绝对值小于 解：由题设知n 1500，1500 Xi，i 1那么误差总和XP(X15)1EX

37、i0,且EX0, DXD(XJ150015的概率是多少？10的概率为？1，i 1,2150012P(X15)12)121(1.3416)0.1802.n2Xn Xi 且 EX n 0, DXi 1P(Xn120.9010 )n120.9510n 4416.设总体X具有概率密度f (x)n122x 0 x 10 其它从总体X抽取样本X1,X2, X3, X4，求最大顺序统计量 T 密度.max( X1, X2,X3,X4)的概率0 t 0t2F(t) f (t)dt t週 0 t 11 t 13fT(t)4F(t) f(t)8t70 t 10 others7.一台电子设备的寿命T单位:h服从指数分布，其概率密度为0.00