希望杯复赛数论题大合集(涵括历数论题及详细解析)

1、奇数与偶数质数与合数约数与倍数1. 2006年希望杯第四届四年级二试第 7题，4分一群猴子分桃，桃子共有56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正要分桃时，又来了 4只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子 数量相同，那么最后每只猴子分到 个桃子。解答：56的因数有1，2，4，7, 8，14, 28，56,其中只有4和8相差4,所 以最后有猴子8只，每只猴子分到56宁8 = 7个桃子。2. 2007年希望杯第五届四年级二试第 4题，5分在 224，339，4416，5525，6636，等这些算是中，4, 9，16，25, 36，叫做完全平方数。那么，不超过2007的最大的完全

2、平方数是。解：45 X 45=2025; 44X 44=1936,所以最大的是 1936.整除3. 2022年希望杯第六届四年级二试第15题连续写出从1开始的自然数，写到2022时停止，得到一个多位数：20072022,请说明:这个多位数除以3,得到的余数是几？为什么？【分析】因为连续3个自然数可以被3整除，而且最后一个自然数都是3的倍数，因为2007是3的倍数，所以L L 2007是3的倍数，又因为L L 20072022 20070000 2007 1，所以L L 20072022除以 3，得到的余数是 1。余数4. 2004年希望杯第二届四年级二试第15题，6分小朋友们做游戏，假设3人分

3、成一组，那么最后余下2人；假设4人分成一组，那么最后余下3人；假设5人分 成一组，那么最后余下4人。那么一起做游戏的小朋友至少有 人。【答案】这个数除以3余2,除以4余3,除以5余4,那么加上一个人这些小 朋友的数量能整除3、4、5，3X 4X 5=60,那么小朋友至少59人5. 2022年希望杯第六届四年级二试第 3题一个三位数除以36,得余数8,这样的三位数中，最大的是 。【分析】因为最大的三位数为 999 , 999 36 27L 27 ,所以满足题意的三位数最大为：36 27 8 9806. 2022年希望杯第七届四年级二试第 2题，5分某数被13除，商是9,余数是8,那么某数等于o【

4、答案】125周期7. 2004年希望杯第二届四年级二试第 3题,6分3 12、6 10、12 8、24 6、48 4、是按一定规律排列的一串算式，其中第六个算式的计算结果【答案】规律是，第一个加数是公比为2的等比数列，第二个加数是差为2的等 差数列，所以第六个式子是96+2=988. 2004年希望杯第二届四年级二试第14题，6分如图5所示，在2X 2方格 中，画一条直线最多穿过3个方格；在3X 3方格中，画一条直线最多穿过5 个方可知；那么在5X 5方格中，画一条直线，最多穿过 个方格。【答案】边长每多1,穿过的方格多2,那么5X 5的最多穿过3+2+2+2=9个方格9. 2004年希望杯第

5、二届四年级二试第19题，10分将假设干个边长为1的正六边形即单位六边形拼接起来，得到一个拼接图形。例如：周长=6周长=10周长=12那么，要拼接成周长等于18的拼接图形，需要多少个单位六边形？画出对应的 一种图形。【答案】4、5、6、710. 2022年希望杯第六届四年级二试第 4题小明按15循环报数，小花按16循环报数，当两个人都报了 600个数时，小花 报的数字之和比小明报的数字之和多。【分析】小花一个循环报的数字之和为：1 2 3 4 5 6 21，小明一个循环报的数字之和为：1 2 3 4 5 15，小明一共报了600 5 120 组，小花一共报了600 6 100 组，所以小花报的数

6、字之和比小明报的数字之和多： 100 21 120 15 2100 1800 300。11. 2022年希望杯第六届四年级二试第 8题一列数：5, 4，7，1, 2, 5, 4, 3，7，1, 2，5, 4, 3，7，1，2，5，4,3，由此可推出第 2022个数是。【分析】观察数列发现，除前两个数字之外，7 , 1 , 2 , 5 , 4 , 3六个数字周期出现，因为202226334L 2，所以第2022个数是1。进位制及位值12. 2003年希望杯第一届四年级二试第18题，10分一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是7，试求它们的差。【答案】abc-

7、cba个位是7，明显a大于c，所以10+c-a=7， a-c=3，所以他们的差为 29713. 2004年希望杯第二届四年级二试第11题，6分如果一个数的所有数位上的数字的和是10,那么满足条件的最小的四位数是。【答案】100914. 2022年希望杯第七届四年级二试第14题，15分abcd，abc，ab，a依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足 abcdabc ab a = 1787。求：这四位数 abcd。【答案】2022或2022。奇数与偶数质数与合数1. 2004年希望杯第二届五年级二试第 5题，6分a、b、c都是质数，如果 a b b c 342，那么b 。【解析】由于342

8、是2的倍数，不是4的倍数，所以a b与b c为一奇一偶，那么a或者c为质数2，令a 2，而342=2 x 3 x 3 x 19,那么a b 9或者a b 3 19 57或者 a b 9 19 171，对应的b为7或者55或者169,只有7是质数，所以b=7。2. 2006年希望杯第四届五年级二试第 8题，4分如果a，b均为质数，且3a+7b=41，那么a+b=。【解析】因为41是奇数，只有奇数加偶数和才为奇数，且a，b均为质数，所以a，b中必有一个是 2。假设 a=2，贝U b= 41-6+ 7=5。所以 a+ b=7。约数与倍数3. 2003年希望杯第一届五年级二试第 7题，4分向电脑输入汉

9、字，每个页面最多可输入 1677个五号字。现在页面中有1个五号 字,将它复制后粘贴到该页面，就得到2个字；再将这2个字复制后粘贴到该页 面，就得到4个字。每次复制和粘贴为1次操作，要使整个页面都排满五号字， 至少需要操作次。【解析】2的10次方为1024, 2的11次方为2048,所以需要操作11次。4. 2022年希望杯第七届五年级二试第 3题，5分100以内的自然数中。所有是3的倍数的数的平均数是 。【解析】100以内的自然数中是3的倍数的数有 0，3,6,9L ,99共33个，他们的和是09934217 99 1683，那么他们的平均数为1683+ 34=49.5。整除5. 2003年希

10、望杯第一届五年级二试第 3题，4分六位数2003口能被99整除，它的最后两位数是 【解析】试除法 200399 99=2024L 23,所以最后两位是 99-23=76。6. 2004年希望杯第二届五年级二试第 4题，6分假设四位数9a8a能被15整除，那么a代表的数字是。【解析】15=3x 5,能被15整除，那么能同时被 5和3整除。 能被5整除，看个位，那么 a只能是0或5;但是当a=0 , 9080不能被3整除；当a=5时，9+5+8+5=27是3的倍数，所以 a =5。奇数与偶数质数与合数1. 2006年希望杯第四届六年级二试第 9题，4分如果a，b均为质数，且3d + 7b= 41,

11、那么a+ b =。【解析】根据奇偶性我们可以知道 a、b中必然有一个是2,假设a=2,那么b=7,满足题意；假设b=2,那么a=9,与题意不符。所以a为2、b为7,那么a+b=9。约数与倍数2. 2006年希望杯第四届六年级二试第15题，4分体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1,2,3, 60,然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让 所报的数是5 的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师 的学生有 。【解析】可知其中4的倍数有15个，5的倍数有12个，6的倍数有10个，同 时是4和5的倍数的有3个，同时是5和6的倍数的有

12、2个，同时是4和6的 倍数的有5个，同时是4、5、6的倍数的数有1个，现在背向老师的有 15+12+10-3-2-5+1=28个，面向老师的学生有 60-28=32人。3. 2022年希望杯第七届六年级二试第 5题，5分A、B两数的最小公倍数是180,最大公约数是30,假设A=90,那么B 。【答案】60整除4. 2007年希望杯第五届六年级二试第10题，5分n个自然数之积是2007,这n个自然数之和也是2007,那么n的值最大是。考点：数论、最值问题一级提示：怎样构造和与积都等于2007的一组自然数？二级提示：怎样构造才能使数的个数最多？【答案】1781。【分析】为了构造和与积都等于 200

13、7的一组自然数，首先把2007拆成假设干个整数之积，然后把和不足的地方用1补足。容易看出来，2007拆分成的整数越多，它们的和就越小，需要添加的1也就越多。2007的质因数分解式是 3 X 223，3+3+223=229，还需要补 2007-229=1778个1。 所以共有1781个。5. 2022年希望杯第六届六年级二试第 9题，5分有一个不等于0的自然数，它的-是一个立方数，它的-是一个平方数，那么这个2 3数最小是。1分析：设为2a3bc c为不含质因子2、3的整数，那么它的一是2a 13c是立方数，所以a 1是213的倍数，b是3的倍数，另外它的 -即2a3b 1c是一个平方数，所以

14、a是偶数，b是奇数，3符合以上两个条件的 a的最小值为4，b的最小值为3，这个数最小为432。余数6. 2007年希望杯第五届六年级二试第 8题，5分2007年4月15日星期日是第5届小学“希望杯全国数学邀请赛举行地 2 试的日子，那么这天以后的第 2007+ 4X 15天是星期。考点：周期、余数一级提示：计算星期，属于哪类问题？二级提示：有什么简单的方法可以计算？【答案】2。【分析】计算星期属于余数问题，也就是考虑被7除的余数。因为2002被7整除，所以2007被7除余5;又因为15被7除余1,所以2007+4X 15 5+4X 1mod7 , 5+4X仁9,被7除余2,所以是 星期二。7. 2022年希望杯第六届六年级二试第 6题，5分某小学的六年级有一百多名学生，假设按三人一行排队，那么多出一人；假设按五人一 行排队，那么多出二人；假设按七人一行排队，那么多出一人。该年级的人数是分析：符合第一、第三条条件的人数为的最少人数为3X 7+1=22人，经检