思维拓展训练

1、课时一：分析综合法“分析法与“综合法是我们小学生常用的解题思考方法之一。 所谓“分析法就是从要求的问题出发， 根据题意和的数量关系， 想一想，还需要知道什么条件才能推出所求的问题。 如果在这一条件 中，有的还有未知的，就把它当做新的所求的问题，再来寻找能够求 出它的那些条件。这样，逐步寻求需要的条件，直到具备所需的一切 条件。我们把这种从未知出发，转化问题，步步逆推，执果索因的思 考方法，称为“分析法 ，也叫“逆推法。所谓“综合法，就是从题目的某一个或几个条件出发， 想想它能推出一些什么结果， 再把推出的结果与另外一些条件一 起又可以推出什么结果， 这样一步一步地向着所要求的问题前进， 最 后

2、得出要求的结果。这种从“看“可知 ，逐步推向“未知 ， 即从条件出发，转化条件，步步顺推，由因导果的思考方法，称 为“综合法，也称“顺推法。在解题的过程中，往往既用“分析法 ，又用“综合法，至于在 什么情况下用“分析法，什么情况下用 “综合法，要根据具体情况， 恰如其分地选用。解决一些较复杂的问题时， 我们可以先从问题出发， 利用分析法 探索所要找的条件， 当这种分析推理遇到困难时， 再从条件出发， 用综合法推理，看看能否推出这个条件。我们把这种将“综合法和 “分析法结合起来分析问题的方法称作“中间会师 。例题】甲、乙两块棉田，平均亩产棉花 92.5 千克，甲棉田是 5 亩，平均亩产棉花101

3、.5千克，乙棉田平均亩产棉花 85千克，乙棉 田有什么亩？思考途径：想到用“分析法来思考，从问题想起。要求乙棉田 有多少亩，需要知道乙棉田的产量比按平均亩产计算的产量少的千克 数，还要知道乙棉田的亩产量比平均亩产少的千克数，而要求乙棉田的亩产量少的千克数，需要知道两块棉田的平均亩产量题中直接提 供是92.5千克，还需知道乙棉田的亩产量题中直接提供为85千克。要求乙棉田的产量比按平均亩产量计算的产量少的千克数，即 甲棉田的产量比按平均亩产计算的产量多的千克量，需要知道甲棉田的质量比按平均计算产量多的千克数。根据分析得出下面的解答：jx 5+ 92.5-85=9X 5-=45+=6亩所以，乙棉田有

4、6亩。【习题1】雪容读一本科技书，第一天读了全书的-，第二天读了全3书的37.5%，第三天从第69页开始读，第三天要读多少页，才能把 这本书读完？思考途径：想到用“分析法的思路来探究。从问题想起，要求 的问题是：“第三天要读多少页才能把书读完？ 现在已经知道前两 天一共读了 68页因为第三天是从69页开始读的，只要先求出这本书一共有多少页，就能求出要求的问题。根据“一个数的几分 之几是多少，求这个数，用除法的思路去想问题。已经前两天读了 68页，因此，只要知道前两天所读页数占全书页数的几分之几或 百分之几，就可以求出第三天读的页数。用+37.5%得=68+ -6824=96-68 =28页所以

5、，第三天读了 28页【习题2】快、中、慢三辆车从同一地点同时出发，沿同一条公路追赶前面的同一个骑车人。这三辆车分别用 6分钟、10分钟、12分钟，这是第324一天和第二天所读页数占全书页数的对应分率，用68旦得96，就24是这本书的总页数。用96-68的28页，是第三天要读的页数。因此 得出下面解答：1分步列式解答:1前两天读的数的页数占全书的几分之几?1+37.5%=1+3=1733 8242全书共多少页?68 检=68x刃=96页3第三天读了多少页?96-68=28页2列综合算式解答：68+丄+37.5%-683追上骑车人。现在知道快车每小时行走24千米，中午每小时行走20 千米，那么，慢

6、车每小时行走多少千米？思考途径：分析慢车用12分钟追上骑车人，要求慢车每 小时行多少千米，只需要知道慢车每小时行走多少千米， 只需要知道 慢车在这段时间里所走的路程；分析要求慢车从发车到追上骑车 人所走的路程，需要知道中车追上骑车人所走的路程， 和骑车人最后 2分钟所走的路程；综合中车每小时行 20千米，用10分钟 追上骑车人，可以求出中车追上骑车人时所走的路程20X- =°千63米。分析要求骑车人最后2分钟所走的路程，需要知道骑车人的 车速；分析一直骑车人从被快车追上到被中车追上相隔4分钟10-6=4，要求骑车人的车速只需要知道在这段时间内他所行的路 程；综合快车每小时行 24千米

7、，可求出快车6分钟所行的 路程；综合算出了中中车10分钟行的路程和快车6分钟行的路 程24X§ 12千米，可以求出骑车人相继被快车和中车追上相隔605的2分钟内所行的路程。于是得出下面解答：(1) 快车6分钟行了多少米？24X§ 12千米605(2) 中车10分钟走了多少千米？20X丄二10千米63(3) 骑车人在4分钟内10-6=4走了多少千米？卩上14千米3 55(4) 骑车人每小时行多少千米？14 -14千米560 605从被中车追上相隔的2分钟12-10 2在这段时间内,他走了多少千米？14咚-®17千米60 6056慢车追上骑车人时，共走了多少千米？10

8、工19千米31557慢车的速度是每小时多少千米？19 60 19千米560综合算式：(20 10-24 )60 601060126=14丄丄101=15 153035一 1 10 1=14 -3035_ 19 155=19千米所以，。慢车每小时行19千米。课时二：列举法当题目所给的条件或所求的问题比拟多时， 我们可以考虑按一定的步骤顺序或分成有限的类别，把每一个对象逐一地排列起来，然后再进行分析，这种解题的方法叫做“列举法。列举法往往采取列表的形式，把题目中所涉及的数量关系列 举出来，做到一目了然，然后再进行观察、比拟、分析，这样，能很 快的把题目解答出来。有时把题目中的条件进行整理，分类排列

9、， 对应地表示相应的情况，也可根据题目要求，把可能答案一一列举出 来，再进一步根据题目的条件逐步排除非解，或缩小范围，进而筛选 出题目的答案。【例题】营业员有2分和5分两种硬币，他要找给客户5角钱， 有几种找零的方法？写出找零的方法。思考途径：分析数量关系，如果用凑数的方法， 想好一种方法就 写一个，很容易出现遗漏或重复现象。想到遵循一定的顺序，先排 5 分的，再排2分的，就比拟科学。因此，为了不出现遗漏或重复，用“列举法求解。可以很快的得出几种不同的找法。如下表所示：方法5 分币个2 分币个11002853610441552206025从上表中，可以清楚地看出有 6中不同的找零方法。【习题1

10、】一个数是5个2、3个3、2个5、1个7的连乘积,这个数当然约数是两位数，在这些两位数约数中，最大的是几？思考途径：从条件中想到要求的这两个数等于 99,或小于99. 由于9999=11 x 3X3的质因数有11,所以不是数的约数；98 98=7X 7X 2，所以它不是所求的两位数的约数；97是质数，不是 数的约数。 9696=3 25是这个数的最大两位数的约数。【习题 2】一直蟋蟀有 6只脚，蜘蛛有 8只脚，一个盒子里的蟋 蟀与蜘蛛共有 46 只脚。那么，这个盒子里的蟋蟀与蜘蛛个有多少只？ 思考途径： 从条件想起：用“列举法来思考：由于蟋蟀与蜘蛛 共有 46 只脚，所以蜘蛛的只数不能超过 5

11、只，因为有 6 只蜘蛛就应 该有 48 只脚 8x 6=48。如果有1只蟋蟀，应有8只脚8X仁8，46-8=38 , “ 38- 6不 能整除不符合题意 。如果有 2 只蜘蛛，应有 16 只脚8X 2=16，46-16=30,“ 30- 6=5， 应有 5 只蟋蟀符合题意如果有3只蟋蟀，应有24只蟋蟀，8X 3=24，46-24=22 , “22 + 6不能整除不符合题意如果有4只蟋蟀，应有32只蟋蟀，8X 4=32，46-32=14 , “ 14 + 6不能整除不符合题意如果有5只蟋蟀，应有40只蟋蟀，8X 5=40，46-40=6 , “6- 6=1，有 1 只蟋蟀符合题意从列举的几种解答

12、方案中，可以得出下面的两种答案：1 5只蜘蛛和 1 只蟋蟀。 2 2 只蜘蛛和 5 只蟋蟀。课时三：归纳递推法归纳推理或称归纳法，是从特殊到一般的推理方法，归纳法一 般分为不完全归纳法和完全归纳法两类。不完全归纳法。从事物的一个或几个特殊情况作出一般结论的 推理的方法叫不完全归纳法。比方，从 30 40 40 30,25 4 4 25等几 个特殊算式，得出乘法交换律，从-， 3,兰-等几个特殊分数4 12 204 164相等的情况，得出分数的根本性质，都是利用了不完全归纳法。用不 完全归纳法得出的结论，有时是正确的，有时是错误的。比方63能被3整除，243能被3整除，363能被3整除这三个特殊

13、情况，得出“个位上是3的数都是能被3整除的结论，就是错误的，所以用不 完全归纳法得出的结论，还必须用其他方法进行证明，不能肯定是正 确的。尽管用不完全归纳法得出的结论不一定正确，但是它能为人们探索真理、发现规律提出设想和提供线索，因此，这种方法在科学研 究中仍有重要价值。完全归纳法，针对列举对象的一切特殊情况，进行一一考察后， 得出关于全部对象的一般结论的推理方法叫完全归纳法。由于完全归纳法考虑了全部对象的一切情况，所以，它的结论一定是正确的。但 这种方法只适用于所考察对象比拟少的情况，如果所考察的对象很多 时，用这种方法就比拟繁复，甚至不能应用。某些与自然数有关问题的解答，常要依据自然数有小

14、到大的顺序，列出的问题的几个特殊情况进行试探， 并逐一观察、分析、比拟, 找出它们之间的关系，特别是其中的递推关系，由此归纳出一般性的 规律，然后再根据发现的规律求出问题答案。这种解法我们称为“归 纳递推法。【例题】 假设干个同样的盒子排成一排， 小明把五十多个棋子分 装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子。然后他外出了。小光从每 个棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内， 再把盒子重新排一下。 小 明回来仔细检查一番， 他认为没有人动过这些棋子和盒子。 问共有多 少个盒子？思考途径 : 根据题意可进行如下推理：小光从每个盒子各拿一个 棋子放在空盒子里， 而小明却认为没有人动过这些盒子和棋子。 由此

15、 可见现在又出现一个空盒子，这个空盒子里是原来装一个棋子的盒 子。显然，经小光的操作后，原来是装 2 个棋子的盒子，现在变成装 一个棋子的盒子， 原来装有 3 个棋子的盒子， 现在变成装 2 个棋子的 盒子，同理，原来装 4 个棋子的盒子，现在变成 3 个棋子的盒子 以此类推，小明原来在各个盒子里装的棋子从少到多， 依次的情况是：0,1,2,3 ，4,5根据这个规律，我们试着算它们的和。试算是如下：0 1 2 3 9 45(1)0 1 2 3 9 10 55 (2)0 1 2 3 9 10 11 66 (3)题中指明棋子总数有 “五十几个，所以第2种情况符合题意， 即 11 个盒子，应是此题的

16、解。课时四：类比法“类比法又叫“类比推理，是根据两个对象有一局部属性相 类似，从而推出这两个对象的其他属性也相类似的思维过程。它是一种从特殊到特殊的推理方法。比方，由两位数加两位数的法那么推出多 位数加法的法那么，就是应用了类比推理。类比推理不是证明，由类比推理得出结论，只能作为猜测或假设， 它的真实性还要用其它方法论证。但是类比推理和不完全归纳一样， 可以为探索真理提供线索，也是进行科学研究的一种重要方法。例如, 人们从锯齿草得到启发，进行类比，创造了锯子。【例题】一个两位数，十位数与个位数的和是 9,把十位数字与 个位数字交换位置后所得的数与原来数的比是 5:6，求原数？思考途径：根据题目

17、的结构特征，类比联想已求过的熟悉的题型： “两个数的和与两数的比，求这两个数。这道题没有提供两个 数的和的条件，但原两位数的十位数与个位数的和是 “9，由此, 可知ab与ba的和为99,根据两个数的和与两个数的比，可以求出这 两个数，得出下式：9 (10 1)65 69 11 1154所以，原数是54.【习题1】-的分子、分母同时加上一个什么数以后，分数可以约13简为1 ？3思考途径：这道题的条件是分子“ 1与分母“ 13分别同时加上一个什么数后，所得新分数的分母是分子的3倍，我们从分析分子、 分母的关系看出，不管加上什么数，所得新分数的分子与分母的差保 持不变，及它们的差总是 12 13-仁

18、12，从这个数量关系中类比想 到“年龄问题也是具有这样特征，我们可以试用解“年龄问题的 方法来解答这道题。年龄问题的解题关键要住某两个人年龄差在变动 的过程中始终不变这一事实来分析推理， 使问题得到解决。运用这样 的方法，可知此题中新分母比新分子所多的2倍等于它们的差12,由此，可以推出新分子是6 12 2 6，因而新分母是18 6 3 18，由 此求得同时加上的数是5。12+ 3-1=12-2=6十新分子6X 3=18命新分母6-仁5 十 分子增加的数18- 13=5分母增加的数所以分子、分母同时加上5.课时五：假设法假设法是解题时的一种特殊的思考方法，它是不同于一般的特殊 的解题思考途径。

19、有的应用题中数量关系比拟复杂， 有的推理题中事 物间的联系纵横交错，假设按照一般的解题思路，不易找到解题的方 法。这时，我们可以把原题作一些转化，使用“假设改变题目的某些条件使复杂关系简单化，或减少未知量的个数，或通过假设将某些 未知量设为，一增加推理的因素。进行假设时，可以“条件 假设、“问题假设、“情景假设等。在此根底上，对因假设而造成 的差异进行分析推断，以获取问题解决。通过假设简化条件，促使数 量关系明朗化、单一化，然后再与其它条件配合，进行推理，产生于 题目条件不同的矛盾或差异现象，然后找出造成差异的原因，消除因 假设而引起的差异，使问题得到解决。这样一种转化思考途径的解题 方法叫“

20、假设法。比方：“今有雉、兔同笼，上有35头，下有94足。文雉、兔各 几何？，?孙子算经?，解题时，先任意地假设鸡是 5只，根据 条件，鸡兔共 35只，可得兔子为30只，那么，共有的腿为：2血+4X30=130条而实际只有94条腿，多出130-94=36条 腿，即假设的兔子数比实际兔子数更多，从多出的腿数36条可以推出多出的兔子数是18只36 +4-2=18只，这样，可得 兔子是12只30-18=12只,鸡有23只35-12=23只。假设 35只全是鸡，解答起来更容易些。实践使我们认识到运用“假设的思想，是我们解题时的一种好 的思考途径，它可以化复杂为单一，化繁难为简易，化迷蒙为明朗。【例题】如

21、图，正方形面积为 30平方厘米，求圆的面积?思考途径：想到用通常的方法应该是求正 方形的边长和圆的半径，然后求出圆的面积正方形的面积，这样算要用到开平方的 识。小学生没有学过这方面的知识。如果我们设正方形的边长为 1， 那么用小学数学知识就可以先算出圆的面积占正方形面积的百分之几。假设正方形的边长为1，那么正方形的面积为1X1 = 1，圆的面积是3.14 0.152 0.785，圆的面积是正方形的 0.785 1 78.5%，正方形 面积为 30 平方厘米，因此，圆的面积为 30X78.5%=23.55 平方厘 米，于是得出下面解答：设正方形边长为 1正方形面积 =1X1=1圆的面积 =3.1

22、4 0.152 0.785圆的面积是正方形面积的百分之几？0.785 1 78.5%圆的面积： 30X78.5%=23.55 平方厘米所以，圆的面积为 23.55 平方厘米。【习题 1 】振华玻璃公司门市部委托运输公司运送 500 只玻璃瓶。 双方议定：每只运费 0.24 元，如果打破一只，不但不给用运费，还 要赔偿 1.26 元。结果，运输公司共得搬运费 115.5 元。问搬运途中 打破了几只玻璃瓶？思考途径： 想到用“假设法的思考思路来解答。假设 500 只X 1.5=3，于是得出下面解答：1. 分步列式解答：X500=120 元2 打破一只玻璃瓶少得的钱： 0.24+1.26=1.5 元

23、3共少得运费： 120-115.5=4.5 元+ 1.5=3只2列综合算式解答：X 500 115.5+ 0.24+1.26=3只所以可知共打破了 3只玻璃瓶。课时六：转化法有的应用题按一般的思考比拟繁难， 难以找到解题思路。我们假 设根据知识的内在联系，恰当的转化题中的数量关系，把原来的问题 转化为另一种容易解决的问题，那么往往能化难为易。解应用题时，遇到的标准不统一时，可用转化法，统一标准量。“转化法是我们解题时常用的一种思考方法。【例题】小华和小荣一共买了 10枝钢笔如果小华给小荣1枝， 那么小华的钢笔枝数的1就等于小荣钢笔枝数的丄。小华和小荣各买32了几枝钢笔？思考途径：看出这道题的1

24、和丄，其标准量是不一样的，因此，32从一般解题思路考虑数量关系是难以解答的。 想到转化题中的数量关 系，根据“小华的钢笔枝数的1就等于小荣钢笔枝数的1 这一条件，32原题可以转化为“小华现有钢笔枝数 X二小荣现有钢笔枝数X1 ，根32据比例的根本性质“两个外项的积等于两个内项的积 这一等式可转 化为：“小华现有钢笔枝数：小荣现有钢笔枝数 =3:2 。两人共买 钢笔10枝，又知道两人现在钢笔枝数的比是 3:2，用按“比例分配的方法解题：小华现有钢笔枝数是：106枝3 2小荣现有钢笔枝数是：10 4枝3 2所以小华原有的钢笔为 7枝6+仁7，小荣原有的钢笔3枝4-仁3【习题1】有三种水果：苹果、梨

25、和桔子，共重 320千克，其中桔子是苹果的5，又是梨的27倍，三种水果各是多少千克？69思考途径：看出题中的三种量苹果、梨和桔子。桔子是苹果的-，6苹果是单位“1根据5是梨的27倍，用§ + 27得？。一个数696910的几分之几是多少，求这个数用除法，即320 (1 5 ?)得150千克，6 10150千克是1倍数，是苹果的千克数。桔子是苹果的-，用150 X §得6 6125千克，梨的重量是45千克320-150-125=45。于是得出下面的解答：(1)梨的重量是苹果干的几分之几?5 亠27= 36 9102苹果是多少千克?5 3320 (1)6 10ccc 64= 3

26、20 -30=150千克(3)桔子是多少千克?150 5 125千克64梨是多少千克？列综合算式解答:7 -25 一 65 - 6/VO2334320 130150千克苹果的千克数320-150-125=45 千克梨的千克数所以，苹果150千克，桔子125千克，梨是45千克课时七：逻辑问题专题精析：著名侦探福尔摩斯在华生医生家里作客，闲谈之间，突然听得一 声汽车喇叭声，福尔摩斯头也不回地说：“警长又找我来断案了。华 生惊讶地叫起来：“对极了，果然是警长来了。警长进来后，恭恭敬敬地把案卷放在福尔摩斯面前，上面记载着：“某月某日深夜十二时许，某商店失窃大宗贵重物品，罪犯驾车离去， 现在衣缉捕甲、乙

27、、丙三名罪犯嫌疑人。在警长附的纸条上写着三 条事实：1除甲、乙、丙三人外，已确认本案与其他人无关；2丙假设没有甲作帮凶，就不能作案盗窃；3乙不会驾车。请证实甲是否犯盗窃罪？福尔摩斯看完后，哈哈大笑。把警长和华生医生都笑得莫名奇妙。然后，福尔摩斯三言两语就把警长的疑问完全解决了，你知道，福尔摩斯怎么 解决的吗？这种问题我们称之为逻辑推理问题， 它不同于其它数学问题。 主 要是运用有关的逻辑知道，从的一些条件出发，通过推理分析， 获得结论。逻辑推理题不涉及数据， 也没有几何图形， 只涉及一些相关联的 条件。他依据逻辑规律，从一定的前提出发，通过一系列的推理来获 取某种结论。解决这类问题方法有：直接

28、法、假设法、排除法、图解法和列表 法等。逻辑推理问题的解决，需要我们深入理解条件和结论，分析关 键所在，找到突破口，进行合理的推理，最后作出正确的判断。推理的过程中往往需要交替运用“排除法和“反正法 。要善 于借助表格，把条件和推出的中间结论及时填入表格中。推理的过程中， 必须要有充足的理由和证据， 并常常伴随着着论 证、推理，论证的才能不是天生的，而是在不断的实践活动中逐渐锻 炼、培养出来的。【例题】A、B、C、D、E五人参加乒乓球比赛，每两人都要赛一 盘，并且只赛一盘。规定胜者的 2 分，负者的 0分。现在知道比赛结 果是：A和B并列第一名，C第三名，D和E并列第四名。问：C的 得分是多少

29、？思考途径：我们从A和B并列第一名，D与E并列第四名出发考 察得分情况。解：因为每盘得分只能是 2分或0分，所以每人的得分必为偶数，即 0 分、 2 分、 4 分、 6 分、 8 分由于A与B并列第一名，他们两人间的比赛的负者最多的 6分， 因此A与B只能得6分。同理，并列第四的D与E不可能都得0分，因而最少都得2分。 这样C只能是4分。答：C得4分。【习题 1】甲、乙、丙、丁坐在同一排的 1-4号座位上，小红看 着他们说：“甲的两边不是乙，丙的两边不是丁，甲的座位比丙大。 问：坐在 1 号位的是谁？分析：由“甲的两边不是乙，丙的两边不是丁 ，可以推断 2号、 3 号座位上的人。解：由于“甲的

30、两边不是乙，丙的两边不是丁 ，可以判断甲与 丙坐在位于中间的 2号、3号座位上。根据“甲的座位比丙大 ，确定丙坐在 2 号座位上，甲坐在 3号 座位上，因此丙旁边的 1 号座位上只能坐乙。答：坐在 1 号座位上是乙。说明：可以结合局部条件把四人的排列情况列出， 去掉不符合条 件的情况，剩下的即为正确答案。【习题 2】在一次乒乓球比赛前，甲、乙、丙、丁四名选手预测 各自的名次。甲说：“我绝对不会的最后。 乙说：“我不能的第一，也不会最后。 丙说：“我肯定的第一。丁说：“那我是最后一名咯。 比赛揭晓后，四人煤油并列名次，而且唯有一名选手预测错误， 问：是谁预测错了？分析：不妨假设甲、乙、丙、丁分别预测错误，看可以推出的结 果。解：假设甲预测错误，那么丁也预测错误，不符合题意。假设乙预测错误，那么乙得第一或最后，那么丙、丁两人中必 有一个错误，也不符合题意。假设丁预测错误， 因为其他三人皆预测不会的最后， 所以也 不成立。因此丙预测错误。说明：先假设一个条件正确，以此为前提，进行推理分析，如果 推出的结论导致矛盾，那么假设不成立，再重新提出一个假设，直到符 合全部条件的结论。这种方法也是常用的。第八讲：奇偶分析专题精析：能被 2 整除的数叫偶数， 不能被 2 整除的数叫奇数。 一个自然数不是奇数就是偶数， 一个自然数是奇数还是偶数是这个自