无穷小的概念与微积分学的改革

1、第十二讲18无穷小概念与微积分学改善摘要：解释导数的物理意义时，需要用到近似导数；探讨函数取得极值充要条件时需要用到全能近似导数自变量微分与函数微分概念都需要改革全能近似定积分具有正规和式的意义；全能近似定积分在解释偏微分方程中“冲量原理与“Duhumel叠加原理方法时是需要的 关键词：无穷小， 自变数的微分，全能近似导数， 全能近似定积分MR2000主题分类号：26A20 / 中图分类号： O1文献标示码：A 18.1问题的提出牛顿、莱布尼兹创立微积分的时候，就存在着“无穷小是什么呢？的争论，后来经过柯西Cauchy等学者的改良，现行的微积分学可以说是“以极限理论为根底的不用无穷小数的微积分

2、学但是，1973年Gödel 教授在鲁滨逊Abraham Robinson的?非标准分析?的再版序言中讲到：“不管从哪方面看，非标准分析将会成为未来的数学分析。非标准分析是一部提出“无穷小数并使用“无穷小数的数学分析。非标准分析中的无穷小数是一个常数，其中正无穷小数是“大于0而小于一切正实数的超实数，这种数是一般教科书中没有的数。因此，每一个微积分学的编者与教师都必须认真研究一下：“无穷小究竟是什么？的问题现行数学分析存在着以下几个问题：现行数学分析无法答复“自由落体运动中，物体按照瞬时速度运动的时段长是不是零呢？的问题事实上，如果说是0，这种答复意味着物体不按照这个速度运动，因此是

3、不恰当的；在不说它是0的情况下，无论说它是哪个实数也是不恰当的。现行教科书中把自变量的增量看作微分，提出“当很小时，dy可以近似代替y的说法是不恰当的。事实上，对这两个函数都取，那么对来讲：，以代替的相对误差界不超过 ；但对来讲：，以代替的相对误差为，这种近似代替显然是不能容许的这两个例子说明：在近似代替时，只根据“是不是很小是不行的使用现行导数定义无法得到函数取得极值充分兼必要条件使用现行定积分定义无法说清楚“偏微分方程中杜阿迈Duhumel叠加原理方法。18,2无穷小的概念与自变数的微分的新定义18. 1 无穷小的概念从前一节表达瞬时速度问题出发，笔者在年认为：需要“有一种大于0，而又小于

4、一切正实数的无穷小数于是笔者在成认康托尔的“超穷数的前提下，提出了扩充实数域与现行的非标准分析数域同构，但后来发现这样扩充数域之后，仍然不能彻底解决上述问题于是笔者又不得不放弃这种扩充数域的方法，并在1974年春提出了使用辨证数、辩证法解决上述问题的初步意见参看第一讲。?非标准分析?传入我国之后，笔者阅读了?非标准分析?，发现?非标准分析?中的“无穷小数的提出，依赖于模型论中的“有限性原理，而这个原理的推导依赖于无穷公理与选择公理，但是这两条公理成立与否是有争论的。最主要的是：?非标准分析?中的无穷小数是不是成立的问题，研究这个问题时，首先应当研究建立实数理论与集合论时的康托尔的“实无穷观点是

5、不是成立的问题。关于这个问题，笔者在第四、五、六讲都有论述，在这些论述中笔者否认了康托尔的实无穷观点；并改革了实数理论参看第二讲。在对数轴的研究之后，笔者彻底否认了?非标准分析?中的“无穷小数参看第六讲；笔者根本上同意现行数学分析中无穷小的说法，但在表达上与现行数学分析也有一些差异，首先我们可以提出下边的无穷小变数定义。定义.1 根据使用地点的不同，我们常常称以0为极限的数列叫做全能足够小或无穷小变数，但有时我们称它为辩证数；有时也采用现行教科书中的无穷小量或无穷小的名称。假设有正整数N存在，使 时成立，那么称为正无穷小变数负无穷小变数；记作 。例.1 ?庄子?中“一尺之棰，日取其半，万世不竭

6、的数列，是一个全能足够小无穷小变数。它的极限是0，但它本身不是0。取极限只能表示它的趋向，但不能表示它的“万世不竭的性质。我们使用表示这种辩证数。将我们的无穷小变数与?非标准分析?中的“无穷小数相比拟，除了有变数与常数的差异之外，它们之间也有一些类似的性质，例如：它们的所有无穷小数构成一个的单子，我们的无穷小变数也有很多，但它们的极限都是；这些无穷小变数的集合也可以被看做一个的单子，但除0以外，我们的无穷小都是变数而不是常数。18.2,自变数的微分的新定义定义.2 自变数的微分是任意的正无穷小变数，即微分是任意的意义的全能足够小简称为无穷小。这样定义的自变数的微分与现行教科书的定义有些不同：我

7、们的这个微分是以0为极限的无穷数列；这种数列可以叫做全能无穷小，它的极限是0，但它本身不是0；针对任意小误差界，总可以从这个数列中找到可以近似看作0 的定数；这样的定数可以叫做近似无穷小；而0叫做理想的无穷小。按照数列的四那么运算法那么，在进行四那么运算时，这个微分具有常量的意义；但在研究数列极限时，这个微分又有变量的意义。这就是说微分具有“辨证数的意义，这个性质需要在下文中留意观察并体会。18.3全能近似导数与理想导数的应用18. 三种导数的概念定义3. 设函数在的右侧“邻域内有定义，假设对意义的任意全能足够小，数列收敛于同一个理想实数或都发散于，那么称：这个数列为在 的“右全能近似导数；并

8、称这个数列的极限为在的“右理想导数；当足够大时的这个数列中的项叫做“右近似导数。“右全能近似导数与“右理想导数分别记作：；“左全能近似导数与“左理想导数的定义与此类似。 根据自变数微分的定义与它的表达符号，理想导数可以写作： 这个表达式与现行教科书的导数定义中的表达式相同，但在意义的说明上有些不同。在理想导数存在的情况下，采用自变数的微分表达符号后，全能近似导数可以写作：根据自变数微分的定义，是正无穷小变数，所以这个表达式右端是一个以自然数为变数的数列。当足够大时，这个数列中的项叫做近似导数。根据这三种导数的定义，可知：这三种导数有着相互依赖的关系。这个关系对于解决导数的实际应用是必要的。众所

9、周知：瞬时速度是导数的一个实际应用，关于这个应用，笔者在第一节提出了一个无法答复的问题。这个问题与瞬时的概念有关。笔者在第一讲中提出了理想、近似、全能近似三种点的概念。瞬时的概念与它类似：理想瞬时是没有长度的瞬时，它不能构成有长度的时段；近似瞬时是长度足够小的有长度的时段；全能近似瞬时是长度趋向于零的近似瞬时序列。由于理想瞬时没有长度，所以讨论理想瞬时上的运动速度，没有实际意义；根据导数计算法那么得出的瞬时速度是平均速度的极限，所以瞬时速度的真实意义是“在近似意义下，代表着有大小的近似瞬时的速度，又由于这个理想瞬时是无法测出的，所以我们拒绝按照绝对准确方式答复“物体按照瞬时速度运动的时段长是不

10、是零呢？的问题。这样，第一节中提出的这个问题就被“理想与现实之间的相互依赖法那么解决了。这个问题也说明：在解释瞬时速度的意义时，理想导数依赖于近似导数；取极限有它的好处，但也有害处，这个害处是：失去了实践意义，造成了一个形式逻辑无法解释的问题。关于导数的具体计算，下边给出一个例题。例3.1 求在的左、右全能近似导数与理想导数 解：由于，依定义得：同理可得：18. 充要条件的极值定理定理.1极值定理 设逐段连续函数在的左、右全能近似导数都存在，那么在取得极大小值的充要条件是：证：由于类似性，我们仅对极大值的情形证明如下。必要性 设在取得极大值，那么对意义的任意全能足够小，必有N存在，使时，都成立

11、，于是得： 依据定义1，当全能近似导数存在时，必有，必要性获证。 充分性 设，那么在这个条件成立的情况下，在逻辑上这是一个“可判断性真假二值性问题，可以使用反证法。设函数在不能取得极大值，那么不存在的足够小邻域，使在这个“邻域内，两边的点上的函数值都小于。 现在取，那么在的每一个右邻域内，都有正数存在，使不成立；同理在的每一个左邻域内， 都有正数存在，使不成立，这与的条件矛盾；根据反证法，函数在必定取得极大值。 说明：现行教科书中的导数是我们这里的理想导数，从理想导数出发无法得出函数取得极值的充要条件的定理；这是继瞬时速度之后，取极限失去现实性的又一个实例。这又是提出全能近似导数的一个好处。其

12、次，从这个定理出发，容易得到推论：如果函数在的理想导数存在，那么在取得极大小的必要条件是这个理想导数为零；这是现行教科书中的已有结果。说明2：从自变数的定义，导数的定义及计算、应用可以看出辩证法在高等数学重的一个应用。这个应用就是“概念应当是可更改的，可修改的，灵活的，变动的，否那么它就不能正确的反响现实。的辨证唯物主义的应用。具体讲来，自变数本来被定义为变数，但在导数计算时，首先把它看做定数进行四那么运算，运算之后有把它看做变数得到全能近似导数这个序列；后来又对这个序列取极限，才得到理想导数；得到这个理想倒数之后，还没有完，在解释瞬时速度时，又要用到取极限之前的的平均速度来说明它的意义。在这

13、里，还可以看到变数在高等数学重的应用状况。说明3：在这个证明的表达中没有看到“按段连续这个条件的应用，我们加上这个条件的原因是：按段连续函数具有能联系实际的性质，加上这个条件能促使我们去联系实际。例. 函数在左、右全能近似导数分别为，故依照定理，这个函数在处取得极小值；再如函数 在左、右全能近似导数分别为 1、+1，故依照定理这个函数在这一点处也取得极小值0。 函数 在的左、右全能近似导数分别为 +、-，不考虑“按段连续的条件，就可以根据上述定理，得到为极大值点，极大值为关于这个例题，需要说明的是：这个函数不是“按段连续函数，在“绝对准要求下没法验证哪一对现实数量关系表现为这个函数；我们也无法

14、验证哪一对现实数量关系具有这个极大值点。但是，我们也不绝对否认对理想函数的研究；在我们的全能近似函数和近似函数概念下，可以写出这个函数的如下的一个近似表达式为 这个表达式是“按段连续函数，它可以表示在 以前的一个长度为的很小时段内按照速度冲进一个单位电量，而在以后的一个同样很小时段内这个单位电量又被很快的按照这个速度的消失掉的电脉冲问题。这个近似函数在处也取得极大值1。在付诸实践时，我们应当说：这个函数在近似现实点 处取得极大值1。这个例子再次说明：我们不是绝对否认对理想函数的研究，但研究时都需应当用近似方法找出它们的实际用处和用法。这个例子也说明：我们给上述定理加上“按段连续这个条件的好处是

15、：它促使我们去联系实际研究问题。思考题1 为什么要对微积分学进行改革？ 2 什么叫做全能足够小(或称无穷小变数)？ 3自变数或称自变量的微分是什么？为什么说它有时常量的意义，有时又有变量的意义？ 4 提出理想导数有什么好处？又有什么害处？ 5 函数取得极值的充要条件是什么？现行数学分析中为什么没有这样好的定理？ 6 提出全能近似导数有必要性吗？ 7极值定理中的“按段连续这个条件有什么实用意义？第十三讲 18无穷小概念与微积分学改善18.4函数微分与函数增量的关系及间接误差估计问题18.函数微分与函数增量的关系定义 在理想导数存在且不为0和无穷大的条件下，分别称为函数在处的右、左函数微分，记作。

16、 定理. 设在的左右理想导数存在且不为0和无穷大，那么对自变数的“非零的全能足够小增加数，函数绝对准增量y与它的微分之间分别成立全能近似相等关系即等价关系：式中表示是意义的全能足够小数列；符号表示全能近似相等或称等价关系。 证：由于类似性，只证明定理中的第二个表达式根据可知：数列收敛于，再根据符号的意义，可以得到： 根据数列除法运算法那么，这个关系又可以写作：两端乘以数列即得所要证明的结果。定理应用的说明：根据全能近似相等即等价的定义可知：这个定理说明，对于函数增量计算的任意小误差界，都有自变量增量的误差界存在，当时，这个性质也可以说是：当在的右、左微分存在且为足够小时，分别成立近似关系：需要

17、注意的是，第一，在上述讨论中我们把看做定数了。这时上式中的也可以写作，为足够小与现行教科书中“很小的说法有些不同：“足够小有着“相互比拟的含义。这个含义要求我们在计算函数绝对准增量y时，应当针对y的计算误差界，算出为足够小的划分界限，所谓“是足够小就是<的意思；而“很小的说法，只说明的大小而没有这种“相互比拟的意思。这个差异就是笔者改写微分定义的一个原因；第二，讨论结果的表达式中是一个变数，只有这样才可以得到对任意误差界都成立的近似表达式。这说明：对任意小的函数增量误差界，总有为足够小的划分界限存在，使得能够函数增量，但是当固定时，这种近似计算不一定满足误差界要求，而必须采取其它较为精确

18、的计算方法。根据我们的说法，对于确定的，表达式不一定都能近似代替函数增量；用这个表达式代替函数增量计算时需要考虑误差界。对于连续可导函数应用拉格朗日中值公式可以得到这个误差界计算的两个算式如下： (式中在与之间) 对于确定的，如果依照这两个式子算出的误差界超出要求范围时就不能用代替函数增量了；这时必须用高阶泰勒Taylor多项式去近似计算函数增量。 现行教科书中的微分定义和它们的“微分近似等于函数增量的说法是一种容易引起失误的现象的模糊说法。使用我们改革后的微分定义及其概念就可以消除微分近似代替函数增量时的失误现象。例4.1 分别在误差界为的要求下，计算的近似值 解：根据微分的概念，取，假设是

19、关于误差界的足够小那么有 ；因此，得。但是，这里的是不是满足要求的足够小呢？为此，我们需要研究一下这样计算的误差问题。由于这个函数在区间1，1.01上二阶导数存在，根据上述误差界计算的式，需要考虑表达式 在这个区间上的最大值由此得到：上述近似计算的误差不大于，满足误差界的要求，但对于的误差界的要求，这个近似计算的结果就不可靠了。对于这个误差界，我们必须使用“高阶的台勒公式去计算它的近似值。18.2 间接测量误差界的计算问题在这里，笔者还想指出：现行教科书例如高等教育出版社，1989版，同济大学数学教研室主编的?高等数学?上册， 156157页中讲到：如果测量值的误差界为，那么按公式计算的值的“

20、绝对误差界约为 的论述是不可靠的根据拉格朗日中值公式，只能得到表达式： 根据这个表达式可知：间接误差界的可靠算式应当是：式中表示在区间上的最大值，表示的测定数值18.5 微分概念在定积分应用问题中的应用问题先看一个定积分应用中的一个例题用定积分计算球体的外表积。如下列图所示，这个外表积可以被看作是一个半圆绕轴旋转的结果。在榉癖杓菀垩茱骚茸厨抿磨粹癜蹙蛇唏绩俸邺棺拳梁辅观淡胜浞疮的哇磁祓鳏朽僳觎鳐暗歃餮惆稽寓筛二暮欺豫 O x x+dx檑奁逐遗棱犍偬靶擂尸遑休圜髂时犄柘缚恍燎迢辛琅嚼轴上取微小区间,得圆弧旋转的近似外表积为： 由此积分得 这个结果与已有的球体外表积计算公式不一样，错在哪里呢？在考

21、察这个问题时，首先应当知道：就上述图形来讲，有一个定义在整个数轴上的球体外表积函数，上述1式应当是这个函数的微分。上述解法错在1式没有表达出这个函数的正确的微分。为什么不是正确的微分呢?因为：微分必须满足“是比高阶的无穷小的条件。现在呢，记上图中位于直线之间的圆弧长为，当是正数时，位于平面之间的球体外表积满足关系：由于时，3式两端一样，故可记为： 当是负数时，也可以得到4式。这个表达式中的与有关，根据弧微分的概念，可知： 于是有：再根据圆弧长的微分表达式： 可得的正确表达式为：由此可得正确的结果： 由上所述，做定积分应用题时，写出的所求量A的增量的近似表达式必须是所求量的正确微分；或者说: 必须满足条件：“是比高阶的无穷小。这个例题与微分在定积分问题中应用的这个条件也说明：微分应当是动态的。理想定积分与全能近似定积分、近似定积分定义6. 设在上逐段连