第四章统计推断

1、统计推断(statistical inference)第四章第四章 统计推断假设检验假设检验参数估计参数估计分析误差产生的原因分析误差产生的原因任务任务确定差异的性质确定差异的性质排除误差干扰排除误差干扰对总体特征做出正确判断对总体特征做出正确判断第四章第四章第一节第一节第二节第二节第三节第三节第四节第四节第五节第五节假设检验的原理与方法假设检验的原理与方法样本平均数的假设检验样本平均数的假设检验样本频率的假设检验样本频率的假设检验参数的区间估计与点估计参数的区间估计与点估计方差的同质性检验方差的同质性检验6Fisher的思想显著性检验 例. 女士品茶的试验：一种饮料由牛奶与茶按一定比例混合而

2、成，可以先倒茶后牛奶(TM)或反过来(MT).某女士声称她可以鉴别是TM还是MT.设计以下试验来检验好的说法是否可信.准备8杯饮料TM和MT各半，随机排成一列让女士依次品尝，并告诉她TM和MT各4杯，请她指出哪4杯是TM,设她全说对了。7Fisher推理过程如下： 引进一个假设H:该女士无鉴别能力其意是：当H正确时，不论该女士如何做，她事实上只能从所提供的8杯中随机地挑选4杯作为TM.从8杯中挑出4杯，不同的挑法有P(4,8)70种，其中只有一种是全部挑对。因此，若女士全部选对，则我们必须承认，下述两个情况必发生其一：1. H不成立，即该女士确有一定的鉴别力；2. 发生了一件，其概率为1/70

3、的事件.8 1/70是一个较小的概率，所以4杯全选对这个结果，是一个不利于假设H的显著的证据。据此，我们否定H. 这样一个推理过程就叫显著性检验. 如果该女士说对3杯，则挑中杯数=3的概率为17/70=0.243. 不是一个很小的概率。试验结果没有提供不利于假设H的显著证据. 1/70的概率虽然不大，但在一次试验中发生总非不可能。人们对这种问题的态度，与事情的重要性及可能的后果有关。要得到一个判断的决定，须指定一个阈值(0.01,0.05,0.1等). 只要计算的概率小于时，才认为结果在统计学意义上的显著的，并导致否定H。9 如在此例中当取=0.01时，即使4杯全对也不认为结果是显著的，而若取

4、=0.05,则认为是显著的了. 称为检验所用的显著性水平. 愈低，获得显著结果愈难，所以导致的否定H的结论愈觉可信.10Fishe显著性检验的思想 有一个明确的假设H 设计一定的试验，观察某变量X. X要有这样的性质：当H成立时，X有已知分布 指定一个阈值 将p与比较，p 时否定H.一 概念 ： 假设检验（hypothesis test）又称显著性检验（significance test）,就是根据总体的理论分布和小概率原理，对未知或不完全知道的总体提出两种彼此对立的假设，然后由样本的实际结果 ，经过一定的计算，作出在一定概率意义上应该接受的那种假设的推断。第一节 假设检验 概率很小的事件在一

5、次抽样试验中实际是几乎不可能发生的。 =0.05/0.01 如果假设一些条件，并在假设的条件下能够如果假设一些条件，并在假设的条件下能够准确地算出事件出现的概率准确地算出事件出现的概率 为很小，则在假为很小，则在假设条件下的设条件下的n次独立重复试验中，事件次独立重复试验中，事件A将按预定将按预定的概率发生，而在一次试验中则几乎不可能发生。的概率发生，而在一次试验中则几乎不可能发生。平均数的检验平均数的检验频率的检验频率的检验方差的检验方差的检验秩和检验秩和检验符号检验符号检验游程检验游程检验秩相关检验秩相关检验二二 、假设检验的步骤、假设检验的步骤 治疗前治疗前 0 126 2 240 N(

6、 126,240 ）治疗后治疗后 n 6 x 136 未知未知 那么那么 0 ? 即克矽平对治疗矽肺是否有效？即克矽平对治疗矽肺是否有效？例例：设矽肺病患者的血红蛋白含量具平均数：设矽肺病患者的血红蛋白含量具平均数 0 0126(mg/L)126(mg/L)， 2 2 240240 (mg/L)(mg/L)2 2的正态分布。现用克矽平对的正态分布。现用克矽平对6 6位矽肺病患者进位矽肺病患者进行治疗，治疗后化验测得其平均血红蛋白含量行治疗，治疗后化验测得其平均血红蛋白含量x =136(mg/L)x =136(mg/L)。1 1 、提出假设、提出假设例例：克矽平治疗矽肺病是否能提高血红蛋白含量？

7、克矽平治疗矽肺病是否能提高血红蛋白含量？平均数的假设检验平均数的假设检验检验治疗后的总体平均数检验治疗后的总体平均数 是否还是治疗前的是否还是治疗前的126(mg/L)126(mg/L)？x-x- 0 0136-126136-12610(mg/L)10(mg/L)这一差数是由于治疗造成的，这一差数是由于治疗造成的，还是抽样误差所致。还是抽样误差所致。本例中零假设是指治疗后的血红蛋白平均数仍和治疗前一本例中零假设是指治疗后的血红蛋白平均数仍和治疗前一样，二者来自同一总体，接受零假设则表示克矽平没有疗样，二者来自同一总体，接受零假设则表示克矽平没有疗效。效。而相对立的备择假设表示拒绝而相对立的备择

8、假设表示拒绝H0，治疗后的血红蛋白平，治疗后的血红蛋白平均数和治疗前的平均数来自不同总体，即克矽平有疗效。均数和治疗前的平均数来自不同总体，即克矽平有疗效。H0:=0 =126(mg/L)HA:0 0 2 2 、 确定显著水平确定显著水平0.05显著水平*极显著水平*能否定能否定H0的的人为人为规定的规定的概率概率标准称为显著水平，记作标准称为显著水平，记作 。 统计学中，一般认为概率小于统计学中，一般认为概率小于0.05或或0.01的事件为的事件为小概率事件小概率事件,所以在小概率原理基础上建立的假设检验所以在小概率原理基础上建立的假设检验也常取也常取 =0.05和和 =0.01两个显著水平

9、两个显著水平 。P1.581)=20.0571=0.1142 根据研究设计的类型和统计推断的目的选根据研究设计的类型和统计推断的目的选择使用不同的检验方法。择使用不同的检验方法。例：1260 x40624022nx4、作出推断结论：是否接受假设PP0.05所以接受所以接受H0，从而得出结论：使用克矽平治，从而得出结论：使用克矽平治疗前后血红蛋白含量未发现有显著差异，其疗前后血红蛋白含量未发现有显著差异，其差值差值10应归于误差所致。应归于误差所致。21基本步骤1. 写出零假设（H0）和备选假设（HA）；2. 确定检验统计量；3. 确定显著性水平；4. 根据数据计算检验统计量的实现值；5. 根据

10、这个实现值计算p-值；6. 进行判断：如果p-值小于或等于，就拒绝零假设，这时犯（第一类）错误的概率最多为；如果p-值大于，就不拒绝零假设，因为证据不足。 /2 /2 0P( -1.96 x x +1.96 x) =0.95 -1.96 x +1.96 x0.950.0250.025临界值：临界值： + u x左尾右尾否定区否定区接受区u + 1.96 x 0P( -2.58 x x +2.58 x) =0.99 -2.58 x +2.58 x0.990.0050.005临界值：临界值： + 2.58 x左尾右尾双尾检验双尾检验(two-sided test)否定区否定区接受区假设检验的两个否

11、定区分别位于分布的两尾，称为双尾检验假设检验的两个否定区分别位于分布的两尾，称为双尾检验。H0 ： 0 HA ： 00.950.950.050.051.64-1.64H0 ： 0 HA ： 0假设：否定区H0 ： 0 HA ： 0左尾检验右尾检验单尾检验单尾检验(one-sided test)接受区接受区单尾检验左尾检验右尾检验0.950.950.050.051.64-1.64否定区接受区接受区否定区只在一侧u 0.05=1.64u 0.01=2.33单尾检验分位数双尾检验分位数u 0.05=1.96u 0.01=2.58 否定区否定区否定区接受区接受区查表时，单尾概率乘以2等于双尾概率假设检

12、验的两类错误假设检验的两类错误H0正确正确 H0 错误错误否定否定H0 错误错误( ) 推断正确推断正确(1- )接受接受H0 推断正确推断正确(1- ) 错误错误( )第一类错误（第一类错误（type I error），又称弃真错误或），又称弃真错误或 错误错误;第二类错误（第二类错误（ type II error ） ，又称纳伪错误或，又称纳伪错误或 错误错误当当H H0 0 错误而正确拒绝错误而正确拒绝H H0 0 的概率称为的概率称为检验功效检验功效(power)(power)你不能同时减你不能同时减少两类错误少两类错误!xnxuxnsxu1x2x22212121)(nsnsxxu20

13、09 . 64009 . 6) 3 .705 .69(2222212121)(nsnsxxu951. 410789.8005536.936)6 .774 .95(xsxt0nssx421. 41021.441xnx084. 010267. 0nssx267. 0) 1(/)(22nnxxS94. 0084. 05 . 4421. 4xsxt21xxS)11() 1() 1()()(221121222211nnnnxxxxSxx2121222221212111) 1() 1(nnnnnxxnxx)11() 1() 1() 1() 1(2121222211nnnnSnSn)1()()(222211

14、21nnxxxxSxxnSnS22212221xxSS21)()(2121xxSxxt12),(97.451),(17.1202211ngsgx7),(33.425),(00.1012222ngsgx568.442) 17() 112() 17(33.425) 112(97.451) 1() 1() 1() 1(212221212nnnsnsse005.107568.44212568.442221221nsnsSeexx916.1005.1000.10117.120)(2121xxSxxt933.12) 1() 1() 1() 1(212221212nnnsnsse608. 110933.12

15、2221221nsnsSeexx)(933.22221gS)(6 .362gx )(4 .431gx )(933. 2221gS229. 4608. 16 .364 .432121xxSxxt22212121nsnsSxx222211xxxSSSR1)1(112212nRnRfd2121xxfdSxxt857. 0027. 01621. 01621. 0222211xxxSSSR027. 05135. 0,1621. 010621. 12222121221nssnssxx12532.111)1(112212nRnRfd977. 5435. 07 .113 .142121xxf dSxxt435

16、. 05135. 010621. 122212121nsnsSxx212121)(xxnxnxnxxndd1)(1)(2222nnddnddsd) 1()() 1()(2222nnnddnnddnssddddSdtdSdt 13.193)18(8865007370000)1(/)(222nnnddnSSdd207. 413.1935 .812dSdtp pppu0npqppcnppu05.089.0500445nxp5.2016.085.089.00pppu016.050015.085.0npqp78.010078nxp375. 004. 01005 . 0|80. 078. 0|5 . 0|

17、0pnppu04.010020.080.0npqp1 p2 p21021:)11(21ppHnnqpSpppqnnxxnnpnpnp12121212211nxpnqpnqpSpp22211121212121)()(ppSppppu212121215 . 05 . 0)()(ppcSnnppppu905. 0378342111nxp790. 0396313222nxp846.03963783133422121nnxxp154.0846.011pq026. 0)39613781(154. 0846. 0)11(2121nnqpSpp423. 4026. 0790. 0905. 0)(2121ppS

18、ppu690. 02920111nxp750. 02821222nxp719.0282921202121nnxxp281.0719.011pq119. 0)281291(281. 0718. 0)11(2121nnqpSpp209. 0119. 0285 . 0295 . 0|750. 0690. 0|5 . 05 . 0|212121ppcSnnppt99. 01)58. 258. 2(axPxx95. 01)96. 196. 1(axPxxaxxPxx1)58. 258. 2(axxPxx1)96. 196. 1(/2=0.025 xauxuxPxaxa1)(xaxauxLuxL21,),(xaxauxuxxauxLxxxLxL96.1,96.121xxL96. 1xxxLxL58.2,58.221xxL58. 2xxtxLtxL21,xtxL),(xxtxtx50. 02550. 2nux(%)52.1350. 096. 15 .141xuxL98. 05 .1450. 096. 15 .14xuxL(%)48.1550. 096. 15 .141uxL354.32015nsSx816. 2)19(01. 0t)(4 .110354. 3861. 21201