第四章 基本概率理论

1、 李晓松 四川大学高 培 北京大学 第四章 基本概率理论目录第一节：概率第二节：概率分布第三节：蒙特卡罗模拟0102034重点难点 概率的定义、基本性质和运算 随机变量均数、方差的含义及其计算方法 二项分布的性质、特征及其适用条件 正态分布的性质、特征及其应用 蒙特卡罗模拟的思想及实现步骤第一节 概率1. 机会 可被用于描述我们对不确定性事物的看法。 比如投掷一枚均匀对称的硬币，观察硬币出现正面的机会。 （1）投掷结果为正面的机会为1/2。 （2）投掷结果为正面的机会要么是1要么是0。2. 随机性 机会常称为随机性，用于刻画事件的不确定性。（一）机会与不确定性第一节 概率1. 概率的定义例1

2、每轮实验投掷一枚均匀硬币5000次，下图展示了两轮实验的结果。（二）概率的定义和基本性质第一节 概率重复两轮实验投掷硬币5000次结果出现正面的比例实验A正面的比例开始时低，而实验B的比例高。实验A、B正面的比例开始时差异较大，当投掷次数增多，比例均趋近于0.5并保持稳定。1. 概率的定义（1）随机现象(random phenomenon)：指在个别实验中结果不能预测但在大量重复实验后结果展现出一定规律的现象。（2）随机事件(random event)：是随机现象中所有可能结果的一个子集，如投掷硬币实验中出现正面就是一个随机事件。（3）概率（probability）：度量事件发生可能性大小的数

3、量指标，就叫做概率。随机现象中的概率可被定义为随机实验无限重复中某随机事件所占的比例。（二）概率的定义和基本性质第一节 概率2. 概率的基本性质（1）任何概率取值为01。（2）所有可能的结局加起来的概率必须等于1。（3）如两个事件互斥(没有共同可能的结局)，两个事件至少一个发生的概率就是两个事件单独发生的概率之和，即概率的加法原则。（4）一个事件不会发生的概率等于1减去这个事件会发生的概率。（二）概率的定义和基本性质第一节 概率1. 加法法则（1）两随机事件和的概率：事件A与事件B的和是指事件A、B中任意一个事件发生。用Pr(A)表示事件A的发生概率，用Pr(B)表示事件B的发生概率，如果事件

4、A和事件B是两个互斥事件，那么有两者之和的概率Pr(A或B)= Pr(A)+ Pr(B)。（2）多个随机事件和的概率：如果有事件A，事件B和事件C及更多事件 是 互 斥 的 ， 那 么 有 其 之 和 的 概 率 P r ( A 或 B 或 C 或 ) = Pr(A)+Pr(B)+Pr(C)。（三）随机事件的概率运算第一节 概率 2. 条件概率（1）独立事件(independence event)：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。（2）条件概率(conditional probability)：符号Pr(A|B)表示条件概率，它指在知道另一个事件B发生

5、的情况下，某一事件A发生的概率，符号“|”可理解为“考虑到”或“在什么条件下”。（三）随机事件的概率运算第一节 概率3. 乘法法则（1）两随机事件积的概率：事件A与事件B的积是指事件A、B同时发生。假设Pr(B|A)是事件A发生时B发生的条件概率，那么事件A和事件B的积的概率 Pr(A和B)=Pr(A)Pr(B|A)。（2）多个随机事件积的概率：将乘法法则扩展到多个事件同时发生的概率的计算，例如有事件A，事件B，事件C的积的概率为Pr(A、B和C)=Pr(A)Pr(B|A)Pr(C|A和B) 。第一节 概率（三）随机事件的概率运算4. 条件概率与树状图例2 微信聊天现已成为年轻人的主流聊天方式

6、，调查显示在18岁以上的成年手机用户中，18到29岁的手机用户中有47%进行微信聊天，30到49岁的手机用户中有21%进行微信聊天，50岁及以上的手机用户中有7%的人进行微信聊天。此外成年手机用户的年龄构成如下：29%的手机用户在1829年龄段，47%的手机用户在3049年龄段，剩下24%的手机用户是50及以上年龄段的。那么对于随机选择的一个成年手机用户，他使用微信聊天的概率是多少？第一节 概率（三）随机事件的概率运算4. 条件概率与树状图第一节 概率不同年龄段手机用户微信聊天的条件概率与树状图由图可知有三条路径可以到达事件C，即通过加法法则可以计算事件C的概率为三条路径代表的互斥事件之和：1

7、23112233Pr(C)Pr(C A)+Pr(CA )+Pr(CA )Pr(A)Pr(C|A)+Pr(A )Pr(C|A )+Pr(A )Pr(C|A )0.1363 0.0987 0.01680.2518和和和（三）随机事件的概率运算第二节 概率分布（一）随机变量及其概率分布第二节 概率分布X1x2x3x123X1x2x3x123概率X1x2x3x123例3 一所大学对英语课程的成绩分布进行研究。在最近一学期的英语课程中，成绩分布如下：得A的占31，B占40，C占20，D占4，E占5。随机选择一名学生，所谓“随机选择”是指每个学生都有相同的机会被选到。将选到的学生的成绩记为随机变量 ，那么

8、随机变量X的概率分布是怎样的？根据题意，随机变量X 的概率分布如下：第二节 概率分布X（一）随机变量及其概率分布A B C D E概率0.31 0.40 0.20 0.04 0.053. 连续型随机变量（1）定义：连续型随机变量X是取值范围充满某一数值区间的变量，即连续型随机变量在忽略测量精度的条件下可以取到该区间中的任意一个值。（2）概率密度曲线(probability density curve)：概率密度曲线是位于横轴上方用于描述概率分布的曲线，该曲线下面积为1，对应概率为1。某事件在概率密度曲线下对应某一区间的面积即为该事件的概率。第二节 概率分布 概率密度曲线与直方图关系的示意图（一

9、）随机变量及其概率分布1. 随机变量的均数（1）定义：指随机变量所有可能值的平均，即把每个取值都按照它的概率来加权之后的平均，每个可能取值的权重就是取这个值的概率。概率分布的均数描述的是长期大量重复实验后的平均值，常用符号是希腊字母 ，也称为期望值。随机变量的均数是概率分布特征的一个参数，是一个客观存在的固定数值，并不会随着抽样样本的不同而发生改变。（二）随机变量的均数和方差第二节 概率分布第二节 概率分布（二）随机变量的均数和方差概率第二节 概率分布（二）随机变量的均数和方差123456789概率1/91/91/91/91/91/91/91/91/9第二节 概率分布（二）随机变量的均数和方差

10、123456789概率0.3010.1760.1250.0970.0790.0670.0580.0510.046 分别在两个概率密度分布图中展示了变量X和V的均数。离散型均匀分布的图(A)是对称的，即随机抽取的1到9之间的数字的时候，其均数正好落在对称中心。但是我们不能直观地从图(B)中看出服从本福特定律的右偏态分布的均数位置。1. 随机变量的均数第二节 概率分布 不同概率分布示意图中的均数位置（二）随机变量的均数和方差第二节 概率分布（二）随机变量的均数和方差第二节 概率分布X1x2x3xKx123K（二）随机变量的均数和方差概率第二节 概率分布（二）随机变量的均数和方差例6 投资方案选择

11、某投行现有甲乙两个备选项目投资，随机变量X表示甲项目的盈利，随机变量Y表示乙项目的盈利，其具体分布如下表所示，分别计算它们的均数和方差以及总的均数和方差，并以此提出两个项目同时投资的建议。甲项目乙项目第二节 概率分布Y Y（二）随机变量的均数和方差0概率300概率根据离散型随机变量的均数和方差计算公式，甲项目的均数和方差分别为：乙项目的均数和方差分别为：由于甲项目的赢利情况与乙项目的盈利情况没有任何关系，所以可看作满足相互独立的条件，根据均数和方差的加法法则，甲项目和乙项目盈利之和的均数与方差分别为：第二节 概率分布（二）随机变量的均数和方差（三）二项分布第二节 概率分布第二节 概率分布二项分

12、布概率分布（三）二项分布第二节 概率分布（三）二项分布第二节 概率分布（三）二项分布第二节 概率分布,B n（三）二项分布（四） Poisson分布第二节 概率分布2. Poisson分布的概率分布第二节 概率分布 Poisson分布概率分布（四） Poisson分布（五）正态分布第二节 概率分布第二节 概率分布正态曲线下的面积对称规律给定区间时标准正态分布的概率计算示意图（五）正态分布第二节 概率分布正态分布的68-95-99.7法则（五）正态分布第二节 概率分布（五）正态分布第二节 概率分布（五）正态分布第二节 概率分布（五）正态分布第二节 概率分布（五）正态分布第二节 概率分布（五）正态

13、分布例8 不同省份的考题难易程度不一，很难直接用分数高低来比较不同学生的成绩优劣。某年高考中，甲省A考生考了580分，乙省B考生考了525分。那么他们在各省的排名到底谁高谁低。假定已知A省的分数大致服从均数为500，标准差为80的正态分布，乙省的分数大致服从均数为450，标准差为50的正态分布。那么谁考得比较好呢？第二节 概率分布（五）正态分布第二节 概率分布（五）正态分布（6）正态分布的重要性正态分布能够很好地描述一些实际数据的分布。正态分布可以很好地近似许多随机事件的结果。利用正态分布制定“医学参考值范围”。根据68-95-99.7法则，可以制定相应的质量控制线和警戒线。建立在正态分布基础

14、上的很多统计推断过程也适用于其它近似对称分布。第二节 概率分布（五）正态分布第三节 蒙特卡罗模拟（一）蒙特卡罗模拟的基本思想第三节 蒙特卡罗模拟1r 1r 单位圆与单位正方形的关系：一个边长为1的正方形恰好包住一个半径为1 的1/4圆（阴影部分）。投米粒实验圆周率的模型（一）蒙特卡罗模拟的基本思想第三节 蒙特卡罗模拟1. 蒙特卡罗模拟的基本思想n 蒙特卡罗(Monte Carlo)模拟方法也称为计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。n 蒙特卡罗模拟实验是通过某种“实验”的方法，得出A事件出现的频率，以此估计出A事件出现的概率方法。n 蒙特卡罗模拟中非常关键的一个环节就是模拟抽样给定分布的随机数。（一）蒙特卡罗模拟的基本思想第三节 蒙特卡罗模拟1. 正态分布随机数的模拟抽样（二）常见分布的模拟抽样第三节 蒙特卡罗模拟2. 二项分布随机数的模拟抽样第三节 蒙特卡罗模拟（二