粘性流体力学第四章

1、 第四章第四章 不可压缩层流边界层不可压缩层流边界层 第一节第一节 边界层流动的基本概念边界层流动的基本概念 第二节第二节 边界层微分方程边界层微分方程 第三节第三节 不可压缩层流边界层的相似性解不可压缩层流边界层的相似性解 第四节第四节 边界层的分离现象和定常边界层边界层的分离现象和定常边界层 的分离条件的分离条件 第五节第五节 边界层方程的积分关系式解法边界层方程的积分关系式解法 第六节第六节 轴对称边界层轴对称边界层 第七节第七节 三维边界层三维边界层 边界层理论有重要的理论和实用意义，由普朗特（Prandtl）1904提出后，得到了很大发展。边界层理论基于大雷诺数流动的近似，在近似中保

2、留部分粘性项而建立了Prandtl边界层方程。 普朗特的边界层理论，把流体分成两个区域，离物面很近的区域，速度梯度很大，粘性力起很大作用，但这层流体很薄，称作边界层，而外层按无粘性流动处理。 1905年普朗特和1908年布拉休斯（Blasius）对平板边界层引入了相似性解。 1921年卡门（Von Karman）和波尔豪森(Pohlhauses)入了动量积分方程。从而提出了边界层的动量积分关系式解法。湍流边界层的积分 以后，有多种改进和推广此法的方法，其中格林法(Green 1973年)考虑了雷诺应力的变化以及上游的历史影响，总的精度有明显的提高。以后依斯特(East 1977年)把Green

3、法发展成解湍流边界层的逆方法，以便预估分离流动，得到了较好的结果。 关系式解法有多种，其中用的比较广泛的是希德法（Head 1958年），此法的主要缺点忽略了边界层上游的历史影响。第一节 边界层流动的基本概念 1、大雷诺数下物体绕流的特征 图为翼型绕流的流动图景,可以看出，紧靠平板表面的一个薄层中，水流速度很小；而在这薄层以外，水流的速度几乎与来流一样。在雷诺数Re足够大时，物体绕流的流动可分为三个区域： 边界层 尾迹流外部势流 图41 翼型绕流（1）边界层。在边界层中流动有明显的速度梯度，因此流场中的切应力是不可忽略的，也就是说粘性的影响是很重要的；同时也不难理解，这里的流动是有旋的。（2）

4、尾迹。尾迹流动是边界层内的流动在脱离了物面以后的继续，其初始阶段也是速度梯度显著的有旋流动。但是在尾迹中，不再有固体壁面的滞阻作用，不能再产生涡旋，随着离被绕流物体距离的增大，尾迹中的涡旋逐渐扩散，涡旋的动能逐渐耗散成热，涡旋强度和速度梯度亦逐渐减弱，直至远下游消失。（3）外部势流。即边界层和尾迹以外的流动。这里，流动的速度梯度很小，因而流体中的切应力可以忽略。这里流动基本上是无旋的，所以称为外部势流。 实验证明：雷诺数愈大，边界层愈薄。当雷诺数较小时，边界层的流动全部处于层流状态，称为层流边界层。当雷诺数大于某一个临界值时，例如平板边界层 ， 边界层内的流动部分或全部转变成湍流流动。这时边界

5、层的性质与层流边界层有明显的不同。65103103exR2、边界层的形成 从涡旋传输的观点解释形成边界层的原因。流动中的任何固体边界层都相当于连续分布的涡源，它不断的在流动中产生涡旋；这些涡旋通过扩散和对流散布到流动中去，而整个流场的发展又反过来决定了涡旋的产生。e=U00边界层外边缘边界层外缘控制体流线wyyyyuyuxv000|图42 平板表面产生的旋涡因此紧靠平板表面附近的涡量与平板表面的涡量至少是接近相等的。紧靠表面附近的涡旋，一方面向外扩散，另一方面随着流体向下游流动。涡旋扩散的速度取决于流体的运动粘性系数，运动粘性系数越大，扩散得越快，而涡旋向下游流动的速度取决于来流速度。2000

6、0|1|yyyyvuuyyxypx 0|0ypx0|0yy 当雷诺数 足够大时，即对于一定尺寸的平板，U与 的比之足够大时，平板表面附近的涡旋向下游流动的速度比向垂直于流动方向的速度大得多，以致包含这些涡旋的流动仅仅限于贴近表面的一个向下游伸展的薄层，这个薄层就是边界层。在边界层内，流动是有旋的，而边界层以外的流动则是无旋的。3、边界层的各种厚度 严格的说，无法绝对准确的定义边界层厚度。因为速度梯度从边界层内的显著到边界层外的不显著，是一个渐进变化的过程。通常把整个横截面上速度恢复到 值的所有点的连线定义为边界层的外边界，这里 为边界层外部势流的速度。 /ULeUu99. 0eU 对平板边界层

7、的厚度做一粗略的估计 图42中，邻近平板表面的涡旋，经过时间t后，向垂直于流动方向扩散的距离仅与 和t有关。由量纲分析可知，这一距离与 成正比且同量级。另一方面，邻近平板表面的涡旋经过时间t后，向下游流动的距离与Ut同量级，如果流体质点流经板长L的时间为 L/ U ，则在平板前缘产生的涡旋流到平板后缘时，向外扩散的距离就与 同量级。换言之，平板上距前缘为L的边界层厚度 与 同量级。ReLULRe1LULtUL (41) 显然当雷诺数Re比1大得多时，边界层厚度比流动方向上的特征长度L小的多。对于湍流边界层，涡旋的扩散速度除了依赖于 以外，还依赖于湍流动量的传输。因此，在其他条件相同的情况下，湍

8、流边界层的厚度比层流边界层的厚度大。 边界层的厚度通常很薄。例如，20水沿平板流动，平板长L=1m， /s，来流速度 ，求得 ，如果边界层保持层流，则可以算出 ，即 。如果考虑是标准条件下的空气沿平板流动，板长仍为1m， /s，U10m/s，那么 ， 则可以算出 ， 。，6101smU/1610ReUL1ReL10001L5105 . 15107Re2 . 18001L。 根据边界层的定义，必须准确知道边界层内的速度分布才能定出 的值，一般来说很难做到，因此要引进另外一些更确切并且有一定物理意义的边界层积分厚度的概念: (1)边界层的位移厚度 (2)边界层的动量损失厚度 (3)边界层的能量损失

9、厚度 (4)边界层外边界的厚度也称为名义厚度 。1;2;3;e=U00边 界 层 外 边 缘边 界 层 外 缘控 制 体流 线(1)边界层的位移厚度 在图42中，取曲线包围的部分作为分析的控制体，其中左右两条垂线分别为x=0和x=x1的y轴线，上面的线为外部势流中某一条流线，下面的线为物面(零流线)。应用质量守恒定律：图4-2000bYHAV dAudyudyYeeYbedyUuYUudyHU00dyuUUYee01考虑不可压缩流体对于平板1()eebUU UYH为边界层外势流流速）,令 (42) (43) dyUuYe011 （44)无粘性流流线粘性流流线边界层外缘Ue(x)(x)物面y边界

10、层外缘假想物面图43 与边界层外部流场一致的无粘性流动11：在固体壁面附近的边界层中，由于流速受到壁面的阻滞而降低，使得在这个区域内所通过的流量较理想流体流动时所通过的流量减少，相当于边界层的壁面向流体内移动了一个距离后理想流体边界层的位所通过移厚度的流量。（2）边界层的动量损失厚度2 将动量方程式应用于图42的控制体中，因流动定常，且压力保持不变则得到：00bYHxfeeAFDuV dAuudyUU dy fD其中是摩擦阻力,对不可压缩流体： (45)220YfebDU Hu dy0YbeuHdyU考虑到： 壁面摩擦阻力与边界层内流体的动量损失相平衡。定义动量损失厚度，其物理意义为：由于边界

11、层的存在损失了厚度为 的非粘性流体的动量。2YeeeefdyUuUuUUD02221 YeedyUuUu021 (46) (47)（3）动能损失厚度 与动量损失类似，边界层由于粘性阻滞而造成的动能流通量损失为： YedyuUu02222 YeedyuUuU02233222 YeedyUuUu02231如果用物理表面的一层无粘性流体流动的动能通量表示动能流通量损失，设这一流层的厚度为 ，则3 动能损失厚度的意义：边界层所引起的动能通量损失，相当于物理表面上厚度为 的一层无粘性流体的动能通量。3 (48)（4）壁面摩阻系数和边界层的耗散积分 相对于直角坐标系（x，y），粘性流体二维流动中的切应力为

12、不可渗透的固体壁面上，边界层内的切应力为：壁面摩阻系数 边界层的耗散率 ()xyuvyxyuxy221ewfUC (410) (411) (412)2uy (413) 4、边界层的类型 固体壁面附近的边界层，称为壁面边界层或壁面剪切层。另一类边界层不受固体壁面的影响，称之为自由边界层或自由剪切层,这样边界层的实例一是尾迹流，另一种是自由射流。如图4-4所示，从喷管向充满同种或不同种流体的空间喷出的射流，假设射流周围空间中的流体与喷管喷出的流体作方向相同、但速度不同的平行运动（伴随流动）。在射流的中间部分为位势核心区，在核心区之外的射流部分与伴随流动之间形成一层速度梯度显著的混合区，即自由边界层

13、区。随着射流向下游的发展，自由边界层的厚度增加，最后，外部伴随流动对射流的影响扩展至整个射流横截面，使整个射流都具有自由边界层的特点。 YdyyuD02边界层的耗散积分 (414)外部流动自由边界层位势核心区 图4-4 自由射流的发展第二节 边界层微分方程 1、沿平壁面的二维边界层方程 首先推导平壁面的二维边界层的微分方程。 在流动平面内取（x，y）直角坐标系（图4-5），以平壁面的前缘为原点O，取x轴与壁面重合，而y轴与壁面垂直，边界层内的NS方程为：0 xy(x)u(y)UU 图4-5 沿平壁面二维边界层0uvxy22221uuupuuuvtxyxxy 22221vvvpvvuvtxyyx

14、y 1L(415a)(415b)(415c) 当雷诺数Re1时，在边界层内x方向和y方向的量具有不同的量级。取L，U分别为x方向上的特征长度和特征速度；和v分别为y方向的特征长度和特征速度。0*yvVxuLU1Re1LUV*, , , , , xyuvptUxyuvptLUVpL引入量纲为1量(416)连续方程(417)对动量方程进行量纲为1化2*2222*2*2*Re1yuLxuxpUpyuvLUVxuutu2*22*22*2*ReRe1Re1yvxvypUpyvvxvutv221yuxpyuvxuutu(418a)(418b)0yp忽略低量级量，保留量级为1量，写成有量纲形式：(419a)

15、(419b)在整个边界层厚度上，压力是常数，即 根据无粘性流体运动方程 沿平壁面的二维不可压缩层流边界层的基本方程组 txppe,xpxUUtUeeee1221yuxUUtUyuvxuutuyvxueee(420）(421）(422) (1）对于边界层内的流动，未知数由三个减少为两个；方程组中的方程数目亦由三个变成两个。（2）动量方程中只有对y的二阶导数项，这就使问题的求解域由一个二维无穷域变成一个半无限的长条域。对于前者，必须在封闭边界上给出边值条件；对于后者，下游边界条件无需给出。如果引入流函数 uyvx 222323eeeUUUt yyx yxytxy (423)2、沿曲壁面的平面边界层

16、及轴对称边界 层方程 11103213321hhxRyhxzxyxxx，）（，R（x）oxdppyQ固体壁面边界层外缘QN 图4-6 平面流动的边界层坐标 xRxK1R（x）：曲率半径K（x）：曲率(424) 1233123011xxxyxxyhhhrR x ，（），图4-7 轴对称流动的边界层坐标系 1233123 ()00 () 11,1 kzxxxyxxzyhhhrkR x 平面， （）（轴对称）平面，（轴对称）3yRuyuxvyRR3综合平面流动与轴对称流动情况，边界层的坐标系为：(425)令u和v分别表示x和y方向的速度，x3方向的涡量为(426)忽略质量力，动量方程和连续方程为:2

17、2222111kkuRuuuuvRpvtRyxyRyRyxRvuuRvuruuRvRyx yRyyxyyRyRyxyrRyRy 222222221kkvRuvvupRuvtRy xyRyyRy x yRruuRvRuRvRdRuRvvxyRyRy xxdxRyRy xxrRyxRyRyRy （轴对称）（平面）10k01vRyryurxkk(427b)(427c)式中(427a) 对方程进行边界层简化。如果采用边界层坐标，则除原点附近之外，x，y两个坐标的数量级为： 其中，L为方向的特征长度， 为边界层的厚度。在边界层内： 此外，再假设： （1）对于平面和轴对称两种情况，R(x)与L同数量级，即

18、： R(x)L Lx yRe1LxyeRULe(R )(1)OO(428)(429) （2）对于轴对称情况，r(x,y)与L同数量级，或 （ 为子午面壁面的倾角）。所以： 式中， 表示相应壁面点至对称轴的距离。 上述两条假设不适用于壁面曲率过大的壁面，也不适用于细长旋转体及前驻点附近且不太小的边界层问题。，2 1cos1Re111oRyRh xryxryxrcos, xr(430a)(430b) 利用上述两条假设，方程式（427）变为： 0kkr ur vxy2222111 uuuuvpuvtxyRxvuuvux yRyR xyR 2222111 kkvvvupuvtxyRyuuvdruvux

19、 yRxdxyxRxr (431a)(431b)(431c) 进一步利用Prandtl方法简化，引入量纲为1参数，使方程量纲为1化，忽略上式中数量级等于或小于 的各项，方程简化为： Re1O*2*2*2*01Rekkr ur vxyuuupuuvtxyxypuyR 变成有量纲的形式： 222201kkr ur vxyuuupuuvtxyxypuK xuyR (432) 根据式（432），对于曲壁边界层，压力在边界层厚度方向的变化率是有限量，需要有一个法向压力梯度与流体的离心力平衡。 考虑边界层的厚度 很薄，整个边界层上任一点的压力 仍可用边界层外缘的压力 代替：( , )epx t( , ,

20、)p x y t0vryurxkk22yuxUUtUyuvxuutueee 由（433）式可见，曲壁平面边界层方程与平板边界层方程（422）式有相同的形式，也可以用流函数方程（423）式表示。对于轴对称边界层方程（433）与（422）式区别，仅在连续方程中。2( , , )( , )()( , )eepp x y tpx tyOypx tx边界层方程（432）变为：(433a)(433b)3、定常边界层流动的边界条件 在定常边界层流动的情况下，如果固体壁面是固定不动和不可渗透的，在壁面上，速度满足：如果固体壁面是可渗透的，且壁上有流体由法向吸入或吸出 在边界层的外缘，可以给出流速渐进的边界条件

21、：为了求解边界层方程，还必须给定初始截面和x0处的速度分布 。0y0u0v0|00 xxxvxu0y0u xvvs y xUue yu0(434a)(434b)(434c) 4、曼格勒(Mangler)变换 曼格勒变换可以把一个定常轴对称边界层流动问题变换为一个相应的平面边界层问题。对轴对称边界层： xUuyvuyyuxUUyuvxuuvryurxeee：00022 (435) 引入流函数 ， 可以得到流函数方程：2232311,1eerruvryyrxrdUUyx yrxydxy 2201xr xLr xyyLxrx dxL引入曼格勒变换： (436) (437a)考虑到流函数 的定义 uy

22、vx 22021 xxrx dxLr xyyLuuLrxLvvyur xrx (437b) ( )rxr xx式中，为对 的导数。 2232300eeeuvyxdUUyx yxydxyyuvyuUx ，： 曼格勒变换后的定常轴对称边界层与平面边界层方程相同，为： (438)举例：对于绕旋转体的轴对称流动，在前驻点附近 er xxUCx xLxdxxLx02322313123xLx 3113123xCxLCxUxUee 根据势流理论， 是一个绕楔角的平面流动，楔顶半角 ，求解平面边界层流动，然后即可把结果变换到原问题去。311xCUe4ueue0 x(a)(b)/2图4-8 （a）轴对称前驻点附

23、近的流动（b）变换后平面上的流动第三节不可压缩层流边界层的相似性解 边界层方程式的解法一般分为精确解法、积分关系式的近似解法，以及数值解法。精确解法一般包括相似性解和级数解。这一节我们讨论相似解法。1、相似性解的概念 不可渗透壁面的二维定常不可压流体层流边界层的方程和边界条件为： xUuyvuyyuxUUyuvxuuyvxueee：00022 (439) 在一般条件下给定 ，方程可以解出，解的一般形式为： 但是在某些特殊情况下，上述解可以写成 其中 ，即 只是 的函数，与X无关，此解叫做相似性解， 是相似变量。 yxfUue,eU和 euUx ( )yg x( )euUx2、平板边界层的相似性

24、解 图410为零攻角半无限长平板边界层流动，其边界层方程可用流函数表示：xyU,uyvx 223230000yx yxyyyxyyUy ，：，： (440)图4-9 沿零攻角平板的边界层1234xA xyA yAUA U 式中A为变换参数， 皆为常数。变换后的方程和边界为1234、31232324223223230000AAyx yxyyyxyyAA Uy ，：，： 方程中共有四个变量，引入变换 (441） (442) 变换后的置换变量 应满足原来的方程和边界条件，即假设方程和边界条件（440）对变换前后的变量不变，因此： xyU、 、 、42323213322214213223141111x

25、yUAxyU (443)为了满足变换前后方程和边界条件的不变性，待定系数必须满足（443）时。由（441）式可知111 21 2 yyUUxxxxxx，11 2, , yUfhxxx21令，则有( , ,)x yU(, , )yUxxx (444) 式（444）表明变换前的变量 形成 的一组组合变量 和变换后的变量形成的组合变量 是恒等的。( )xyU、 、 、 (, , )yUxxx（444）式表达的式线性变化群的不变量，称为绝对变量。 (445) 相似性解是否存在，此时只决定于h式中的边界条件表达式了，如果h与x无关，只是 的函数，那么相似性解就存在，否则相似性解是不会存在的。这就是Mor

26、gan定理: 如果边界条件在相应的变换之后与x无关，绝对变量就是相似变量。 常数21xUh21fxxy 在平板的情况下，h与x无关，则：相似变量为：, UyfxUx将相似变量量纲为1化：1020001ffffff ：，： (446)代入方程（440）得到平板边界层的Blasius方程 (447) 方程（447）为非线性方程，没有解析解，表4-1为其数值解。（1）边界层内速度分布 12uUfyUvffxx 0.930.930.85Rex*100.201324561.00.40.60.8u/U001.2符号0.821.24781.081.110.86表4-1 平板层流边界层的数值解图4-10 平板

27、边界层的u速度分布 (448)Uyx 图4-11 层流边界层中v的分布（2）边界层厚度25.05.0RexxxU100111 1( ) ()0 1.7211.721ReyxudyUxfdUxfUxxU (450)200001 1 1 (1)0 20 0.6640.664ReyxuudyUUxffdUxfdUxffff dUxfUxxU2183（3）壁面摩擦阻力 xwfUCRe1664. 022 lflfDflCdxClCRe1328. 1210 22e0100.3320.332RwxyuUfUUyUxxU (451) (452) (453) 附图：切应力系数与雷诺数的关系3、边界层方程的相似性

28、解 xUuyvuyyuxUUyuvxuuyvxueee：00022eeUAUvAvuAuyAyxAx54321， (439) 考虑一般的二维定常不可压缩流体层流边界层 对其5个变量引入线性变化群 (455)2222223152431324130yuAxUUAyuvAxuuAyvAxuAee12345、( , , , ,)( , , , ,)eex y u v Ux y u v U和式中 均为常数，由方程（439）可得： (456) 为了使变量系 满足相同的方程（439），则需要满足：2315243132413222241 21 21 21 2, eeyyxxuuvvxxxxUUxx21532可

29、得：消去变换参数A，可得两个变量组之间的关系： (457) 式（457）表示的是线性不变量，即绝对不变量 2121xUhxvgxufxye1 200efgUfx ：CxUe21 根据Morgan定理，如果边界条件与x无关，那么（458）式表示的绝对变量即是相似变量，为此meCxU 边界条件： (458) (459) (460) fmCf gf fmmfgfmmf2221021eUx（ ）2CxUe 边界条件 为（460）形式的幂函数，边界层则存在相似解。 将（458）和（460）代入方程（439）中，得到同时（460）可以写成： (461) (462)0Uyyz=reiaz=reiax (1)

30、 流动是半顶角为 的二维半无限楔形体的对称绕流；如图（414）所示。根据势流理论，利用复势和保角变换，可以得到楔形表面的势流流速： 式中U-1是图413中Z=-1点的流速。这类边界层流动的相似解叫做FalknerSkan解。0 02m 当， 即时，2 mexUxU1 (463) 图4-12 半无限楔形绕流（2） 即 为Blasius绕半无限长平板边界层解。 (3） 为绕流钝头柱前驻点附近的二维流动（相当于顶角为180o的楔形体绕流），例如图414绕圆柱的对称流动，对于前驻点附近当 足够小时，外部势流的流速为：00m11m（）Rx 2eUUxxRU00X (464) 图4-13 绕圆柱的对称势流

31、 (4) 为绕捌角为 的外钝角的势流，此时 。（图4-14）120 02m （）21mmxyUU10mC ，（5） 为收缩平壁面中的流动（图4-15)。 xCxUe (465)图4-14图4-154、Falkner-Skan变换(法沃克纳-斯坎变化） 设 为二维平面或轴对称流动经过Mangler变换后的平面， 为FS变换后的平面。F-S变换的基本思想是以变化的长度尺度 向尺度量纲为1化，以抵消边界层增长引起的尺度变化，即设。( , )x, yCxx( , )x y1Rexx( )xy对其中，C为常数， 为边界层厚度。根据层流平板边界层有 (466) (467)eeU xUyyxxxx 2yxx

32、xxxxxxx12exxxUxxyyyx上式即为FS变换。由此可得： 定义一量纲为1流函数 有如下关系：,f xx y,它与()平面的流函数, x y (468) (469) 121122, 2eeeex yUxf xuvyxuU fUvUxffxx 其中，“”为对 的导数。 将上述关系式代入边界层方程（4-70)： (470)211uudpuuvtxydxyy xffxffxfmf fmftk221211（轴对称）（二维）10k (471)得到：其中k为流动类型指标，t为横曲率，m为量纲为1的压力梯度参数。 (472)21212cos211eUxLrLtdxdUUxmee 边界条件为：00f

33、：1f：0 xf其中对应于变换后的边界层外缘坐标。令 ，对 积分可得壁面吹气条件下 的边界条件:xwewdvxUfxf02110 , (473) F-S变换优点：对于大多数层流边界层，其厚度 近似为常数，因此数值计算中可沿流向取较大的步长。 原边界层的特征量： xwkffLrCRe20 xkrLRe101xkxrLRe202xUexRe10201,0,1fdf xf xffd 量纲为1边界层厚度： (474) (475)第四节 边界层的分离现象和定常边 界层的分离条件 边界层外的压力梯度为 GP-POOUOOPOOMsMSRxUUtUxpeee (476)图4-16 椭圆柱绕流的物面压力分布

34、px在一般情况下，可能为正，也可能为负。 1、分离发生的必要条件 边界层发生分离的必要条件是：粘性和逆压梯度。粘性的存在将在物体壁面附近形成边界层，承受逆压梯度的边界层是流体发生分离的必要条件。图4-17 平板引起的滞止流动图4-18 收缩-扩张 通道中的流动 2、边界层分离机理在不可渗透的固体壁面上:由边界层方程，可得： y， 00yuv，xpyuy1022 当 时 ；故在接近边界层的外缘处，切应力 ，因而 即 。 一般我们称在边界层坐标的某一固定点处的速度u随y的变化曲线（即速度分布），称为边界层的速度剖面。故在接近边界层的外缘处，速度剖面是凸向下游的曲线，而在物面上速度剖面的曲率决定于

35、。 eUu 00y022yuxp 图419 曲面边界层分 离示意图 对于柱形体的二维定常绕流，在物面附近的顺压梯度区中 即 在物面上的速度剖面也是凸向下游的曲线，因此整个速度剖面没有捌点，如图4-19（a）所示，在图419中M点为 的点。在从M点向下游，为物面的逆压梯度区， 即物面上速度剖面是凹向下游的曲线，故在速度剖面上必然出现捌点I，如图419（b）所示。 根据图419，在逆压梯度区，通常 随x的增加而减小的，如果在某点，X=Xs壁面的切应力为0。 0,px2200,yuy0px22000,ypuxy即0ywyu 而当 时 ， 时， 。这就是说，当 时，物体表面附近发生了反向回流，如图41

36、9所示。从壁上这一点起，流体不再贴着物面流动，而是从物面“分离”出去。S称为分离点。sxx 00yyusxx 00yyusxx R=Rssu=0图4-20 分离点附近的流动 分离点附近的流动。在分离区，由于回流造成了真空使下游流体倒流回来，碰到主流冲击又将顺流而去，形成了明显的涡旋区。当边界层与物面分离后，就像自由射流一样注入外部势流中在主流和回流之间形成一条分界线，这条分界线就是图420中从物面离开的零流线T（ ）。脱体的边界层在外部势流携带下，将漂向下游和物体后面的流体混和形成尾涡区，由于涡旋损耗动能，因此产生了尾涡阻力。 归纳以上所述，可以得出：（1）边界层分离只可能在逆压梯度作用下发生

37、，对于定常流动，边界层分离区可能发生在物面的减速区内。（2）对于二维定常流动，分离点由以下条件决定，即：0u 由上式可知，要计算分离点位置，必须先求解边界层的速度分布。但是，在发生分离的情况下，不能用无粘性流体绕流解来得到边界层外的势流速度分布，因为分离后较大的尾迹区对边界层外的势流流场有不可忽略的影响。如果用实验测得的物面压力分布为基础，来计算分离点的位置，会得到满意的结果。 对于给定 的边界层方程在分离点 是奇性，而且在分离区，由于边界层厚度大幅度的增加，u与v比较不再是小量， 的条件也得不到满足，因此推导边界层方程的基本前提不再适用了。所以严格0: 0, 0sswx xyuxxy在 (4

38、78)pxsx xL 如果壁面是多孔的，且通过壁面有垂直方向的流体吹入或吸出，这时定常边界层的分离条件远较不可渗透壁面的情况复杂。在这种情况下，式（467）应变动为 00221ywyyuvxpyu地说，用边界层方程来计算分离点的位置，不可能得到很准确的结果。此外边界层分离后形成较大的尾迹区，尾迹区中的流动通常是非定常的，在分离点，涡旋周期地从物面脱落，由于涡旋脱落对分离点附近压力分布的影响，分离点的位置也往往会有周期性微小的摆动。 (479)图4-21 壁面吸出情况下分离 点附近的流线pSu=0000S0pyyuyuy 当时，吸出流体有抵消逆压梯度的作用，使边界层不容易分离。 边界层的分离点

39、位于流体中间，且在 的 点下游。图 421 壁面吹入情况下分离点附近的流线 pu=000pyuy 吹入流体有与逆压梯度一致的作用，使边界层更容易分离。 有壁面吹入的情况下，分离点的位置不确定，但大致在 的 点附近。3、分离判据 （1）二维定常分离判据是Prandtl在1904年提出来的。用Prandtl的观点，分离点是完全由外部条件决定的，边界层分离总是伴随着一个厚的旋转流动区域和涡发生区。三维分离形成的机理与二维分离一样，也是由于流动中存在的逆压梯度并作用于有粘性阻滞的边界层流动的缘故。但三维边界层是否分离，即判断三维分离的准则却要比二维分离的准则复杂得多。因为在三维边界层中，即使沿某个方向

40、上存在压力梯度，但由于边界层内的流体还可以沿其它方向流出，此时边界层的流动仍可以是附着的，所以并不能将摩擦应力为零的二维判别准则简单地推广应用到三维边界层流动中。 （2）、三维分离流动的壁面流动特性。摩擦应力是直接反映邻近壁面流体运动的物理量。三维分离正是邻近壁面的流体微团要“离开”壁面的流动现象。壁面上的三维分离对其邻近区域的摩擦应力线的分布和特性将产生相应的影响。起始分离的壁面流动特性可表示为 为三维分离点流动在壁面所应满足的条件。P00eUP (480) 已有的分离流动判别准则往往需根据流动的壁面特性来进行分离识别研究， 二维: 三维: 00yuy00,uz200ux y 00,P 00

41、0uvyy0eUP (481) (482) 4、分离的控制和利用 自从人们意识到分离流动对绕流部件上流动特性的巨大影响，人们就开始研究如何控制和利用分离流动，并且取得了长足的发展。如：航空领域几代流型的演变就充分体现了人们对于分离控制和利用方面研究的进步。第一代航空流型为定常附体流型，最大的特点是力求避免钝体绕流的那种有害的大尺度分离流。随着对分离及旋涡流动认识的不断发展和深入，人们逐渐地摆脱了附着流型的束缚，进入了定常脱体涡流型设计思想的时代。对于定常脱体涡流型来说，不再认为一切分离流都是有害的。只要控制得当，由定常分离涡层所卷起的集中涡就能使机翼产生高升力。只有非定常分离和在机翼表面上无法

42、控制的分离才是有害的分离。这就是第二代定常脱体涡流型。 生物界很多昆虫都天赋具有在极大迎角条件下利用与控制非定常脱体涡升力的能力，这就给人们以启示，利用和控制非定常分离并不是不可能的。第三代流型突破了非定常分离流的禁区，其核心问题是如何利用各种主动和被动的方法，对流场中的涡量进行组织和重组，其研究涉及到流场中各种不同时间空间尺度的旋涡结构、它们之间的相互作用、以及它们对于外部扰动的响应特性。非定常分离和旋涡的控制与利用，是当前非常活跃的研究领域。近年来，已有大量的实验观测和理论分析结果表明，在基本流动为定常的情况下，对流动施加弱非定常激励，可以使已经分离的流动形成动态再附，使处于大迎角失速状态

43、下的机翼，产生持续的“超升力”，出现很大的动态效应。这种现象被认为与物面边界层状态、流动分离、旋涡的生成、脱落和破裂、以及旋涡之间和旋涡与物体及外部流场的相互作用有关。可以预见，随着人们对分离流动越来越深入的认识，利用定常或非定常旋涡流动对物体的绕流特性进行控制，不仅对航空领域，而且对一切与流动相关的领域的发展产生巨大的推动作用。第五节 边界层方程的积分关系式解法 第三节介绍的边界层流动的相似性解属于精确解法，但是大多数工程中的边界层流动不存在相似性解，必须用近似解法，而边界层积分关系式解法是工程上广泛应用的边界层近似解法。 1、动量积分关系式 首先推导动量积分关系式，从二维层流边界层的微分方

44、程出发，即： 0yvxuyxUUtUyuvxuutueee1 (483) (484)以Ue乘以连续方程式两边，得到：以u乘以连续方程式两边+动量方程式，得到:()()eeeU uU vUuxyxyxUUtUyuvxuutueee1 yuvvUyxUuUuuuUxuUteeeee1 (485) (486) (487)wwvvuy，：000，：eUuywweeeeevUdyuUxUdyuUuxdyuUt000212121212feweeeeCUvxUUxUtU 如果壁面是可渗透的，边界条件为：(488)利用边界条件（488），对方程（487）积分：根据边界层厚度的定义： (490) (489)边界

45、层的形状因子， 对于层流边界层其变化范围大约为不可渗透定常不可压层流边界层的积分关系式 21H5 . 30 . 2H2222feeCdxdUUHdxd (491) 如何用动量积分关系式求解边界层呢？动量积分关系式包含有三个未知数， 为了求解必须补充两个方程。最简单的方法就是近似给定边界层的速度分布函数 ，代入式（44）和式（47）等中得到 的表达式，再代入方程式（490）中。 这种近似解法的精确度决定于边界层内速度分布近似函数的给定形式。在一般层流边界层中， 是 和x 的函数。 2fwCH12、 、 （或 、 、），euU12fC、( )euUxy xfxUue, (492) 式中关于 的函数

46、可以写成级数的形式，但关于x的函数形式很难确定。首先点 的 由 点 各点的 值所决定的，在此区间，会有 、 、 、 ， 等P个点，那么 也就是上述各点的 函数：pxx xUuepxx 0 xUe0 x1xx 2xx 1pxxpxx xUueeU( )eeeeufU xU xU xUx12p，( )，(),() (493) 如果在（ ）区间 解析的话，那么 即是 在点 各阶导数的函数：pxpxx 0 xUe xUue xUe)(2222ppxxeexxeeeUxdxUdUxdxdUfUu，)(21，yfUue eeUxdxdUx 1 22222eeUxdxUdx (494) 那么 是无穷多个型参

47、数的函数。不过在实际运用中只使用一个型参数或两个型参数。其中只采用一个型参数 为单参数法 用上式代替边界层内的真实速度分布得出 的表达式代入边界层积分方程式中，就可以解边界层。 显然上述解法除了决定于型参数的选择之外，还决定速度u剖面（即 函数形式的选择），这种速度剖面必须满足速度分布的主要边界条件。eUu eeUxdxdUx xfxyfUue，2fHC、 、 (495) 边界层外边界，粘性流与势流衔接，它们的速度函数及其各阶导数都相等，即 在不可渗透的壁面上，首先应满足无滑移条件和附加边界条件: 0nend uyuUdy ，(n=1,2,3.)23230:0,0,0,.eeUdUuuyuvd

48、xyy 2、速度剖面在边界上应满足的条件 (496) (497) 如果选用速度剖面满足（497）中边界条件，就表明它在壁面和外边界都和真实的速度分布接近。在边界层的中间部分 有一定的误差。但是在应用了动量积分关系式，它并不要求每个流体质点均满足边界层方程，而只是平均地、总体地在上述边界为积分限的范围内沿边界层厚度满足了动量积分式。 一般来说，在边界条件中，愈靠前面的条件愈重要。 是很重要的，它控制了物面形状的影响，因此在曲面边界层中，必须满足这个条件。 dxdUUyueey022(0)y (498)3、平板边界层动量积分关系式解法 根据相似性解，选用速度剖面： eUuy 0000 11 011

49、1 由此得到的 速度剖面的近似函数中只含有边界层厚度 一个参数，因此只要确定 ，边界层即可以解出.为此利用动量积分关系式来求解 .对于平板边界层 (Ue=const 可以简化)： x x x (499) (4100)把 代入 、 公式中 2w1220011uudydUU 00Uyuyw1201d22fCdxd(4101) 其中 (4102)(4103) 20ddxU 220 xxU 220fCUx 12012 20DffCC dxlUl 可以认为平板边界层是从前缘开始 ， ：代入(4-101) (4104)0,0 x（4105）(4106）(4107) 选定 的具体函数形式问题即可解决。通常取

50、做多项式、三角函数或双曲函数等。例如：选用三次多项式：1101d 11220 xU 2220 xU (4108)(4109)式中：( ) 332210aaaa(4110)32123 根据四个边界条件：决定四个待定系数 ,速度分布剖面的近似函数为 00, 00, 11, 10Ux646. 02Ux740. 11UxCf646. 0ULCDf292. 1(4111)(4112)表42平板边界层近似解 4、有压力梯度边界层的动量积分关系式解法 （1）波尔豪森(Pohlhausen)法 K. Pohlhausen（1921）利用动量积分关系式首先求 出了有压力梯度二维定常层流边界层的近似解。利用四次多

51、项式为边界层速度剖面的近似函数： 23401234,eux yaaaaaU0:y 0udxdUUyuee22:y eUu 0yu022yu(4113)(4114)Pohlhausen引入的量纲为1型参数： 确定五个系数UdxdpdxdUe200a621a22a322a 614a4324333622eUu因而得到速度剖面 (4115)(4116) 图422 Pohlhausen速度剖面0.400.20.80.40.20.6BACD1.21.0u/Ue1.00.60.8A:A=-17.8B:A=-12C:A=0D:A=12E:A=30Ey 422 1212euU 是流体压力与粘性力之比。 取不同的

52、典型值时速度剖面如图 所示。000122067.052,12,1ewyedpdxUdudyuU ，的曲线；，；前驻点的速度分布曲线；边界层内出现的区域。 (4117) (4-118)代入积分关系式(4-91)中，可以得型参数 的微分方程式：12010319072945315372262ewU hdxdUdxUdgUdxdUdxdeeee221( )x (4118a) (4118b) (4118c) (4119) 23276. 512.2132 . 092. 112.213h 23276. 512.2138 . 092.3732.13366 .7257g x 式（4119）是 的一阶非线性常微分

53、方程。在边界层外部势流速已知情况下，如果给出具体的初始条件，即可解出 ，并由此确定速度分布，以及边界层各截面的特征量的数值。为此，需要讨论 的初始值。 a对于钝前缘物体的平面绕流问题，在前驻点处 x 其中： x 0,0,0eedUxUxdx： 00g 08 . 092.3732.13366 .72573020007.052 17.75 50 ， 方程（4117）成立，则必须0 为前驻点处形参数之值，因此00 7.052x ： 前驻点为坐标原点x0时的初始条件为： b对于尖前缘物体的平面绕流，如果坐标原点取在前缘，该处的边界层厚度为零，故初始条件为： (4120a) Pohlhausen法是积分

54、关系式求解中的单参数的基础。不过有如下缺点：方程（4119）包含 的二阶导数，带来计算误差；方程（4119）的计算不适合于逆压梯度边界层的计算，由Pohlhausen法，分离发生在处 。而实验资料和典型的精确解表面，分离发生在 左右。 ： 200edUxdx ：( )eUx： 12 5s (4120b)（2）HolsteinBohlen改进算法 HHolstein and TBohlen（1940）对Pohlhausen法进行了改进，他们确定了一个新的型参数：dxdUzdxdUee222222zeweeUdxdUHdxdU22222222907294531537其中变换方程式（484），得到： (4121) (4122)根据速度剖面(4116)、动量厚度(4118b)可得： (4123) HSF222 SUew90729453153761222 SHdxdzUe222 HH2907219451315371201103由式(4118a)、(4118b)和式(4123)可得：将式(4123)、(4124)代入（4122）得到：令： (4124a) (4124b) (4125) (4126) 表43 Polhausen法中函数的数值a对于尖前缘物体的二维绕流， 处