第四章 电力系统潮流计算法算法

1、第四章 电力系统潮流的计算机算法第四章 电力系统潮流的计算机算法v第一节 电力网络的数学模型v第二节 节点导纳矩阵的形成和修改v第三节 功率方程和变量及节点分类v第四节 牛顿-拉夫逊法潮流计算第四章 电力系统潮流的计算机算法 第三章讨论简单电力网络的潮流分布计算，理解了与之相关的各种物理现象。对于复杂电力网络的潮流计算，一般必须借助电子计算机进行。 运用电子计算机，一般要完成以下步骤： 1、建立电力网络的数学模型 2、确定解算方法 3、制定计算流程和编制计算程序 本章将着重讨论前两项，主要阐述在电力系统潮流的实际计算中常用的、基本的方法。第四章 电力系统潮流的计算机算法第一节 电力网络的数学模

2、型 电力网络的数学模型指的是将网络有关参数及其相互关系归纳起来，组成可以反映网络性能的数学方程式组。也就是对电力系统的运行状态、变量和网络参数之间相互关系的一种数学描述。有： 节点电压方程 回路电流方程 割集电压方程等 节点电压方程又分为以节点导纳矩阵表示的节点电压方程和以节点阻抗矩阵表示的节点电压方程。第四章 电力系统潮流的计算机算法一、节点导纳矩阵的节点电压方程 在电路理论中，已经讲过了节点导纳矩阵的节点电压方程 对于n个节点的网络其展开为 上式中， 是节点注入电流的列向量。 是节点电压的列向量。 是一个nn阶节点导纳矩阵。BBBUYI nnnnnnnnUUUYYYYYYYYYIII212

3、1222211121121BIBUBY第四章 电力系统潮流的计算机算法nniiiiiinnUYUYUYUYIUYUYUYI1221112121111第四章 电力系统潮流的计算机算法（2）自导纳与互导纳）自导纳与互导纳自导纳自导纳iiiiniiiiiijiiiUIYYUYYYIjiUUIiUi/00000121）（，即：的注入电流，其它节点接地，节点施加单位电压节点y2312y12y23y3112y123y10y30y2023122022221202222yyyUIIIUIY第四章 电力系统潮流的计算机算法（2）自导纳与互导纳）自导纳与互导纳互导纳互导纳ijjinijiiijjiiiUIYYUY

4、YYIjiUUIjUi/00000121）（，即：的注入电流，其它节点接地，节点施加单位电压节点y2312y12y23y3112y123y10y30y20212212112yUIUIY第四章 电力系统潮流的计算机算法nnnnnnYYYYYYYYY212222111211节点导纳矩阵对角元节点导纳矩阵非对角元支路导纳iiijijYYyijiijiiiYyyyY00jiijijYyY第四章 电力系统潮流的计算机算法Example 123212022yyyY123y23y3112y12y10y30y20322323YyY12第四章 电力系统潮流的计算机算法(3)节点导纳矩阵的形成节点导纳矩阵的形成S

5、tep 1：导纳矩阵的阶数：导纳矩阵的阶数=独立节点数独立节点数Step 2：非对角元数：非对角元数=节点所连不接地之路数节点所连不接地之路数Step 3：非对角元计算：非对角元计算YijStep 4：对角元计算：对角元计算YiiStep 5：矩阵的上三角或下三角：矩阵的上三角或下三角第四章 电力系统潮流的计算机算法 以网络节点导纳矩阵表示的节点电压方程在进行潮流计算时,可以减少计算机的内存,提高运算速度,因此是最为常用的.二、节点阻抗矩阵的节点电压方程 由 的两边都左乘 ，可得 ，而 ，则节点电压方程为 BBBUYI1BYBBBUIY1BBZY1BBBUIZnnnnnnBZZZZZZZZZZ

6、232222111211第四章 电力系统潮流的计算机算法第二节 节点导纳矩阵的形成和修改一、节点导纳矩阵的形成节点导纳矩阵的计算归纳总结如下：1、 节点导纳矩阵的阶数等于电力网络中除参考电（一般为大地）以外的节点数。2、 节点导纳矩阵是稀疏矩阵，其各行非对角非零元素的个数等于对应节点所连的不接地支路数。3、 节点导纳矩阵的对角元素，即各节点的自导纳等于相应节点所连支路的导纳之和，即ijiiiiyY第四章 电力系统潮流的计算机算法4、节点导纳矩阵的非对角元素 等于节点 和 间支路导纳的负值，即5、节点导纳矩阵是对称方阵，因此一般只需要求取这个矩阵的上三角或下三角部分。6、对网络中的变压器，采用计

7、及非标准变比时以导纳表示的等值电路，并将之接入网络中。然后按此等职电路用前述方法很方便地形成节点导纳矩阵。在实际程序中，往往直接计算变压器支路对节点导纳矩阵的影响。即当新接入非标准变比的变压器支路 、 时，对原来的节点导纳矩阵修正如下：ijijjiijzyYY1ijijYji第四章 电力系统潮流的计算机算法1）增加非零非对角元素为2）节点 的自导纳，增加一个改变量为3）节点 的自导纳，也增加一个改变量为ijKYYYTjiijTTTiiYYKYKKY11TTjjYKKYKY11第四章 电力系统潮流的计算机算法ijNijZijZijiijjNNNijZijZijZ二、节点导纳矩阵的修改 在电力系统

8、计算中，对于已知网络，其节点导纳矩阵已经形成。如果网络接线发生局部变化，此时不必重新计算节点导纳矩阵。仅仅需要在原节点导纳矩阵的基础上进行必要的局部修改就可以得到所求节点导纳矩阵。下面介绍几种情况。图三 电力网络接线变更示意图(a)(b)(c)(d)第四章 电力系统潮流的计算机算法（1）从原有网络中引出一条新的支路，图三（a）。同时增加一个新的节点。 新增加节点的对角元素为： 新增加非对角元素为： 原有节点的自导纳增量为：ijijjjzyY1ijijjiijzyYY1ijijiizyY1第四章 电力系统潮流的计算机算法（2）在原有节点 和 间增加一条支路，图三（b）。此情况下节点导纳矩阵的阶数

9、不变。有关元素修改如下：iijijjiijijijjjijijiizyYYzyYzyY111j第四章 电力系统潮流的计算机算法（3）在原有节点间切除一条阻抗为 的支路，见图三（c）这种情况下，相当于在节点 和 间增加阻抗为 的支路，此时，节点导纳矩阵的阶数不变，其元素修正如下：jiijzijzijijjiijijijjjiizyYYzyYY11第四章 电力系统潮流的计算机算法（4）原有网络节点 和 之间支路阻抗由 改变为 ，这种情况下，可以看作是在节点 和 间切除阻抗为 的支路，并在节点 和 间增加阻抗为 的支路，如图三（d）。此时，节点导纳矩阵的阶数不变，其元素修正如下：ijijzijzij

10、ijzijijzijijijijjiijijijijijjjiizzyyYYzzyyYY1111第四章 电力系统潮流的计算机算法（5）原有网络节点 和 之间变压器的变比由 变为 时，相当于在原网络节点 和 之间切除一变比为 的变压器支路，而又增加一个变比为 的变压器支路。其元素修正如下：ijTTjiijZkkYkkYY11111k kjik kTTjijjjZkkYkkyyY1111122220第四章 电力系统潮流的计算机算法第三节 功率方程和变量及节点分类一、功率方程每节点的注入功率方程式为：其中： 对于N个节点的电力网络，可以列出2N个功率方程。每个节点具有四个变量，N个节点有4N个变量，

11、但只有2N个关系方程式。 jnjijiiiiiiUYUIUjQPS*1*iiiiiLiGiiLiGiijfeUUUQQQPPP 或第四章 电力系统潮流的计算机算法二、变量的分类1、负荷消耗的有功、无功功率（ 、 ）取决于用户，因而是无法控制的，故称为不可控变量或扰动变量。一般以列向量 表示，即2、电源发出的有功、无功功率（ 、 ）是可以控制的变量，故称为控制变量，以列向量 表示，即3、母线或节点电压和相位角（ 、 ），是受控制变量控制的因变量。其中 主要受 的控制， 主要受 的控制。故 、 称为系统的状态变量，以列向量 表示，即LPLQTLnLLLnLLQQQPPPd2121GPGQTGnGG

12、GnGGQQQPPPu2121duUUGQGPUxTnnUUUx2121第四章 电力系统潮流的计算机算法三、节点的分类1、PQ节点：已知P、Q 负荷、过渡节点，PQ给定的 发电机节点，为大部分节点2、 PV节点：已知P、V 给定PV的发电机节点， 具有可调电源的变电所， 为少量节点3、 平衡节点基准节点： 也称为松弛节点，摇摆节点 PQ节点节点123452s3s4sPQ节点节点PV节点节点PQ节点节点平衡节点平衡节点第四章 电力系统潮流的计算机算法第四节 牛顿-拉夫逊法潮流计算一、牛顿-拉夫逊法的基本原理 设有单变量非线性方程 (4-1) 给出解的近似值 ，它与真解的误差为 ，则 可得将上式左

13、边的函数在 附近展成泰勒级数，便得 （4-2） 0)(xf0)()0()0( xxf)0(x)0(x)0()0(xxx! 2)()( )( )()(2)0()0()0()0()0()0()0(xxfxxfxfxxf!)()()0()0()(nxxfnn)0(x第四章 电力系统潮流的计算机算法 如果差值 很小， 的二次及以上阶次的各项可略去，式（4-2）便简化成 上式是修正量 的线性方程式，也称为修正方程式，解此方程可得修正量 用所求的 去修正近似解，便得 修正后的近似解 同真解仍有误差，为进一步逼近真解，这样的迭代计算反复进行下去，迭代计算通式是 )0(x)0(x0)( )()()0()0()

14、0()0()0(xxfxfxxf)0(x)()()0()0()0(xfxfx)0(x)( )()0()0()0()0()0() 1 (xfxfxxxx)1(x第四章 电力系统潮流的计算机算法 （4-3） 迭代过程的收敛判剧为 （4-4）或 （4-5） 式中， 和 为预先给定的小正数。 下图为这种解法的几何意义，函数 为图中曲线。 的解相当于曲线与 轴的交点。如果第 次迭代中得到 ，则过点 点作一切线，此切线同 轴的交点便确定了下一个近似解 。由此可见，牛顿-拉夫逊法实质上就是切线法，是一种逐步线性的方法。 )(kx)( )()()()()1(kkkkxfxfxx1)()(kxf2)(kx21)

15、(xfy 0)(xfxk)(,)()()(kkkxfyxx)1( kx第四章 电力系统潮流的计算机算法例题：例题： 21200 x 4()0.000003289f x 210,( )120,( )2oxf xxfxx 1()201011()20oof xxxfx 1211()11110.9141414()22f xxxfx 2322()0.881517510.914141410.954526()2 10.9141414f xxxfx 3433()0.0016398810.95452610.954451()2 10.954526f xxxfx 第四章 电力系统潮流的计算机算法 牛顿法的几何解释牛

16、顿法也适用于多变量非线性代数方程的求解。设有 个联立的非线性代数方程 （4-6）y)(kx)(xfy )(kyx)1( kx)(kxn0),(0),(0),()0()0(2)0(1)0()0(2)0(12)0()0(2)0(11nnnnxxxfxxxfxxxf第四章 电力系统潮流的计算机算法 假定已给出各变量的初值 ，令 分别为各变量的修正量，使其满足方程（4-6），即 （4-7） 将上式的 个多元函数在初始值附近分别展成泰勒级数，并略去含有 的二次及以上阶次各项，使得 （4-8）)0()0(2)0(1,nxxx)0()0(2)0(1,nxxx0),(0),(0),()0()0()0(2)0(

17、2)0(1)0(11)0()0()0(2)0(2)0(1)0(12)0()0()0(2)0(2)0(1)0(11nnnnnnxxxxxxfxxxxxxfxxxxxxf,)0(2)0(1xxn)0(,nx0),(0),(0),()0(0)0(202)0(101)0()0(2)0(1)0(02)0(2022)0(1012)0()0(2)0(12)0(01)0(2021)0(1011)0()0(2)0(11nnnnnnnnnnnnnxxfxxfxxfxxxfxxfxxfxxfxxxfxxfxxfxxfxxxf第四章 电力系统潮流的计算机算法 方程式（4-8）也可以写成矩阵形式 （4-9） 方程式（4

18、-9）是对于修正量 的线性方程组，称为牛顿法的修正方程式，利用高斯消去法或三角分解法可解出 ，然后对初始近似解进行修正 （4-10） 如此反复迭代，在进行第 次迭代时，从而求得修正方程式)0()0(2)0(1002010202201201021011)0()0(2)0(1)0()0(2)0(12)0()0(2)0(11),(),(),(nnnnnnnnnnnxxxxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxxfxxxfxxxf)0()0(2)0(1,nxxx,)0(2)0(1xx)0(,nx) 0() 0() 1 (iiixxx), 2 , 1(ni1k第四章 电力系统潮流的计算机算法 （4-11

19、）得到修正量 ，并对各修正量进行修正 （4-12） 式（4-11）和式（4-12）也可缩写为 （4-13）和 （4-14）)0()0(2)0(1212221212111)()(2)(1)()(2)(12)()(2)(11),(),(),(nknnknknknkkknkkknkknknkkknkkxxxxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxxfxxxfxxxf)()(2)(1,knkkxxx)()() 1(kikikixxx), 2 , 1(ni)()()(XJ)F(Xkkk)()()(XXXkkk1第四章 电力系统潮流的计算机算法式中， 和 分别是由 个变量和修正量组成的 维列向量； 是由

20、个多元函数组成的 维列向量； 是 阶方阵，称为雅可比矩阵，它的第 ， 个元素 是第 个函数 对第 个变量 的偏导数；上角标 表示 阵每一个元素都在点 处取值。 迭代过程一直进行到满足收敛判剧 （4-15）或 （4-16）为止， 和 为预先给定的小正数。XXnnF(X)nnJnnijjixf),(2, 1nixxxfijjx)(kJ),()()(2)(1knkkxxx1)()(2)(1),(maxknkkixxxf1)(maxkix12第四章 电力系统潮流的计算机算法 将牛顿-拉夫逊法用于潮流计算，要求将潮流方程写成形如式（4-16）的形式。由于节点电压可以采用不同的坐标系表示，牛顿-拉夫逊法潮

21、流计算也就相应地采取不同的计算公式。 二、节点电压用直角坐标表示时的牛顿-拉夫逊法潮流计算 采用直角坐标时，节点电压可表示为 导纳矩阵元素则可表示为iiijfeVijijijjBGY第四章 电力系统潮流的计算机算法 将上述表达式代入 ，展开并分出实部和虚部，便得 （4-17） 假定系统中的第 号节点为 节点，第 个节点的给定功率设为 和 ，对该节点可列写方程 （4-18）njjijjijinjjijjijiinjjijjijinjjijjijiieBfGefBeGfQeBfGffBeGeP1111)()()()(m, 2 , 1PQiisPisQ0)()(0)()(1111njjijjijin

22、jjijjijiisiisinjjijjijinjjijjijiisiisieBfGefBeGfQQQQeBfGffBeGePPPP), 2 , 1(minjijijiiiiiUYVIVjQP1第四章 电力系统潮流的计算机算法假定系统中的第 号节点为 节点，则对其中每一个节点可列写方程1, 2, 1nmmPV0)(0)()(22222211iiisiisinjjijjijinjjijjijiisiisifeVVVVeBfGffBeGePPPP) 1, 2, 1(nmmi第 号节点为平衡节点，其电压 是给定的，不参加迭代。nnnnjfeV第四章 电力系统潮流的计算机算法 式（4-18）和式（4-

23、19）总共包含了 个方程，待求的变量有 也是 个 。我们还可看到，方程（4-18）和式（4-19）已经具备了方程组（4-16）的形式，因此，不难写出如下的修正方程式 ) 1(2n112211,mmfefefe) 1(2nVJWTnnmmmmTnnmmmmfefefefeVPVPQPQP11111121121111VW第四章 电力系统潮流的计算机算法 1211211211212121121121111111111111111211211211212121121121111111111111111111111111111111111111111111111111111111nnnnmnmnmnmn

24、nnnnnnmnmnmnmnnnnmnmmmmmmmmmmmnmnmmmmmmmmmmmnmnmmmmmmmmmmmnmnmmmmmmmmmmmnnmmmmnnmmmmfVeVfVeVfVeVfVeVfPePfPePfPePfPePfVeVfVeVfVeVfVeVfPePfPePfPePfPePfQeQfQeQfQeQfQeQfPePfPePfPePfPePfQeQfQeQfQeQfQeQfPePfPePfPePfPePJ第四章 电力系统潮流的计算机算法 上述方程中雅可比矩阵的各元素，可以对式（4-18）和式（4-19）求偏导获得，当 时 （4-21） 当 时,见式（4-22）ji 0)(22

25、jijiiijiijjijijijiijjijifVeVfGeBeQfPfBeGfQePji 第四章 电力系统潮流的计算机算法 （4-22） 修正方程式（4-20）还可以写成矩阵的形式，如下iiiiiiiiiiinjjijjijiiiiiiinjjijjijiiiiiiiinjjijjijiiiiiiiinjjijjijiiffVeeVfBeGfBeGfPfGeBeBfGeQfGeBeBfGfPfBeGfBeGeP22)()()()(221111第四章 电力系统潮流的计算机算法 式中， 和 都是二维列向量； 是 阶方阵。 对于 节点1211, 12, 11 , 11,222211, 11211

26、121nnnnnnnnVVVJJJJJJJJJWWWiWiVijJ22iiifeVPQiiiQPW第四章 电力系统潮流的计算机算法jijijijiijfQeQfPePJPV2iiiVPWjijijijiijfVeVfPeP22J第四章 电力系统潮流的计算机算法 从表达式（4-21）（4-25）得出雅可比矩阵的以下特点： （1）雅可比矩阵各元素都是节点电压的函数，它们的数值将在迭代过程中不断地改变。 （2）雅可比矩阵的子块 中的元素的表达式只用到导纳矩阵中的对应元素 ，则必有 。因此，（4-23）式中分块形式的雅可比矩阵同节点导纳矩阵一样稀疏，修正方程的求解同样可以应用稀疏矩阵的技巧。 （3）无

27、论在式（4-20）或式（4-23）中雅可比矩阵的元素或子块都不具有对称性。 用牛顿-拉夫逊计算潮流的程序框图示于下图ijJ0ijY0J ij第四章 电力系统潮流的计算机算法输入原始数据形成节点导纳矩阵 按公式（11-49）和（11-50）计算雅可比矩阵各元素计算平衡节点功率及全部线路功率输出?,max)()()(k2ikikiVQP)()(,kikife48）求解修正方程式（11)()()()()()(,kiki1kikiki1kifffeee)()(,0i0ife给定节点电压初值)(2)()(,47114611kikikiVQP及）计算）和（用公式（kk10k否是框图拉夫逊法潮流计算程序牛顿

28、第四章 电力系统潮流的计算机算法 输电线路功率的计算公式如下 （4-28）三、节点电压用极坐标表示时的牛顿-拉夫逊潮流计算 采用极坐标时，节点电压表示为 节点功率方程将写成 （4-29） 式中 ，是 两节点电压的相角差。ijjiiiiijiijijijyVVVyVIVjQPS*02)()sin(cosiiiiiijVVVnjijijijijjiinjijijijijjiiBGVVQBGVVP11)cossin()sincos(jiijji,第四章 电力系统潮流的计算机算法 方程式（4-29）把节点功率表示为节点电压的幅值和相角的函数。在有 个节点的系统中，假定第 号节点为 节点，第 号节点为

29、节点，第 号节点为平衡节点。 和 是给定的， 节点的电压幅值 也是给定的。因此，只剩下 个节点的电压相角 和第 个节点的电压幅值 是未知量。对于每一个 或每一个 节点都可以列写一个有功功率不平衡量方程式nm1PQ11nmPVnnVnPV11nmVV1n121,nmmVVV,21) 1, 2 , 1(ni0)sincos(1njijijijijjiisiisiBGVVPPPPPQPV第四章 电力系统潮流的计算机算法 而对于每一个 节点还可以再列写一个无功功率不平衡量方程式 （4-31） 式（4-30）和式（4-31）一共包含了 个方程式，正好同未知量数目相等，而比直角坐标形式的方程式少了 个。

30、对于方程式（4-30）和式（4-31）可以写出修正方程式如下 （4-32） 式中PQ0)cossin(1njijijijijjiisiisiBGVVQQQQ), 2 , 1(mimn1mn1VVLKNHQP12D第四章 电力系统潮流的计算机算法 ； ； （4-33） ； 是 阶方阵 ，其元为 ； 是 阶矩阵，其元素为 ； 是 阶矩阵，其元素为 ； 是 阶矩阵，其元 素为 。121nPPPPmQQQ21QmVVV21VnDnVVV211212VH) 1() 1(nnjiijPHNmn ) 1(jijijVPVNK) 1( nmjiijQKLmmjijijVQVL第四章 电力系统潮流的计算机算法 在上式中把节点不平衡功率对节点电压幅值的偏导数都乘以该节点电压，相应地把节点电压的修正量都除以该节点的电压幅值，这样，雅可比矩阵元素的表达式就具有比较整齐的形式。 对式（4-30）和（4-31）求偏导数，可以得到雅可比矩阵元素的表达式如下 当 时 （4-34）ji )cossin()s