工程力学新第四章概要

1、第四章平面任意力系 平面任意力系向作用面内一点的简化 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 物体系统的平衡静定和超静定问题 平面简单桁架的内力计算4.1工程中的平面任意力系问题工程中的平面任意力系问题4.2 力线平移定理FdFMMBB)( 可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点A A的力的力F F平行平行移到任一点移到任一点B B，但必须同时附加一个力，但必须同时附加一个力偶，偶，这个附加力偶的矩等于原来的力这个附加力偶的矩等于原来的力F F对新作用点对新作用点B B的矩的矩。dd力线平移定理的另一个用法，可把一个力和一个力偶合成为一个力。d主矢和主矩4.3 平面任意力系向作用面内一点简化)(2

2、0222FMMFF)(10111FMMFF)(0nnnnFMMFF1212nRni FFFFFFFF1212()()()()OnOOOnOiMMMMMMMM FFFF平面汇交力系力，FR(主矢，作用在简化中心)平面力 偶 系力偶，MO (主矩，作用在该平面上)平面任意力系平面汇交力系+平面力偶系向一点简化其中平面汇交力系的合力为平面力偶系的合成结果为主矢大小22)()(iyixRFFF主矢方向cos( , )ixRRFFiFcos( , )iyRRFFjF主矢作用点主矢作用点作用于简化中心上作用于简化中心上主矩)(iOOFMM 平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶。 这个力

3、等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O 。 这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩和简化中心的位置有关。平面固定端约束平面固定端约束=对比两者的不同：(1)平面任意力系简化为一个力偶原平面一般力系等效为一个平面力偶系。合力偶矩M等于原力系对简化中心的主矩。由于力偶在同一平面内可移转，所以此时的简化结果与简化中心无关()OOMM F FR0，MO0 4.4 平面任意力系的简化结果分析(2)平面任意力系简化为一个合力的情形合力矩定理如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。如果主矢和主矩均不等于零，此时还可进一步简化为一合力。如

4、图OOFRdFRFRFRMOFROOdOOORMdF()ORROMF dMF()OOiMM F结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。这就是平面任意力系的合力矩定理。FRdOO从图中可以看出所以由主矩的定义知：()()OROiMM FF0RF主矢主矢主矩主矩最后结果最后结果说明说明合力合力合力合力合力作用线过简化中心合力作用线过简化中心0RF合力作用线距简化中心合力作用线距简化中心合力偶合力偶平衡平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关0OM0OM0OM0OM简化中心简化中心：A点点该三角形分布载荷如何简化？该

5、三角形分布载荷如何简化？ 分布在较大范围内，不能看作集中力的载荷称分布载荷。若分布载荷可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为平行分布线载荷，简称线载荷。载荷集度q量纲：力/长度分布载荷问题主矢主矢lRqdxlxF0主矩主矩lAqdxlxxM0简化最终结果简化最终结果lqlqlFMdRA3221312dxqlxqlFFRR21 yxdxlRFql21231ql结论： 1、合力的大小等于线载荷所组成几何图形的面积;2、合力的方向与线载荷的方向相同;3、合力的作用线通过载荷图的形心。1、均布载荷、均布载荷qlFq2、三角形载荷、三角形载荷qlFq21qFqF例4-1已知：1450,P kN

6、2200,P kN1300,F kN270;F kN求：力系的合力RF解：（1）、力系向O点简化kNFPPFkNFFFCBABACByx1 .670sin9 .232cos7 .16arctan22121kNFFFyxR4 .709)()(22主矢0016.19180arccos),(,84.70arccos),(RyRRxRFFjFFFiF（2）、求合力及其作用线位置.23553.3197709.4oRMdFm003.514cos 9070.84dx m主矩mkNFMMoo.2355)(平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意一点的主矩都等于零即 00oRMF4.5 平面任意力系的

7、平衡条件和平衡方程)()()(22iOOyxRFMMFFF因为平面任意力系的平衡方程)64(000oyxMFF 平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。例4-2已知：20,M kN m100,P kN400,F kN20,q kNm1 ;l m求： 固定端A处约束力.解：取T型刚架，画受力图.其中113302FqlkN 0 xF0AM 0yF01sin600AxFFF316.4AxFkN060cosFPFAy0330cos30sin1lFlFlFMMAkN300AyFmkN1188AM例4-3已知：求：支座A

8、、B处的约束力.解：取AB梁，画受力图. 0 xF0AM 0yF0AxF解得0AxF4220BFaMPaqa a解得3142BFPqa20AyBFqaPF解得342AyPFqa平面任意力系平衡方程的三种形式1) 一般式000AyxMFF2)二矩式000BAxMMF 两个点连线，不得与投影轴垂直BA,由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件，若AB连线不垂直于x 轴 (投影轴），则力系必平衡。3)三矩式000CBAMMM三个点不得共线CBA, 由前面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡，再加第三条件，力系只能

9、简化为过A、B、C三点的一合力或处于平衡，若三点不在同一直线上，则力系必平衡。注意：注意：以上格式分别有三个独立方程，最多只能求出三个未知数以上格式分别有三个独立方程，最多只能求出三个未知数。4.6平面平行力系的平衡方程 0 xF0000 0 xF0coscoscos321FFF 0yF0sinsinsin321FFF平面平行力系的方程只有两个，有两种形式00AyMF各力不得与投影轴垂直各力不得与投影轴垂直00BAMMA,B两点连线不得与各力平行两点连线不得与各力平行已知：,200,70021kNkNPP尺寸如图；求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；（2）P3=180kN，轨道A

10、B给起重机轮子的约束力。解：1）取起重机，画受力图.满载时，, 0AF就翻倒 0BM0102821min3PPP解得 P3min=75kN例4-4kNkN350753 PP3=180kN时 0AM041424123BFPPPFB=870kN 0iyF0321PPPFFBA FA=210kN空载时，, 0BF就翻倒 0AM4 4P P3max3max-2-2P P1 1=0=0F3max=350kN2）4.7 刚体系的平衡问题 由多个物体通过约束所组成的系统称为刚体系统。 外界物体作用于系统的力称该系统的外力。系统内各刚体间相互作用的力称该系统的内力。 当整个系统平衡时，系统内每个刚体都平衡。反

11、之，系统中每个刚体都平衡，则系统必然平衡。因此，当研究刚体系统的平衡时，研究对象可以是整体，也可以是局部，也可以是单个刚体。 1 刚体系统静定的判断 在静力学中求解刚体系统的平衡问题时，若未知量的数目(m)不超过独立平衡方程数目(3n)。则由刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这类问题称为静定问题。 若未知量的数目多于独立平衡方程数目，则全部未知量用刚体静力学理论无法求出，这类问题称为静不定问题或超静定问题。而总未知量数与总独立平衡方程数之差称为静不定次数(k=m-3n)。 静不定问题在强度力学静不定问题在强度力学（材力材力, ,结力结力, ,弹力）中用位移弹力）中用位移协调条件来求解协调条件

12、来求解。静定（未知数三个）静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）静不定（未知数四个）PPPPFPFPF判断各图的超静定次数判断各图的超静定次数10m8m2m2m2m5mFPPP1P2ABC例4-5 图示钢结构拱架由两个相同的钢架AC和BC组成,吊车梁支在钢架的D,E上.两钢架各重P=60KN,吊车梁重P1=20KN,其作用线过点C,载荷P2=10KN,风力F=10KN, 尺寸如图,D,E两点在力P的作用线上,求固定铰支座A,B的约束力. 2 物体系平衡例题解:(1)研究整个拱架,受力如图,建立坐标系x10m8m2m2m2m5mFPPP1P2ABCFAxFAyFBxFByy 0FMA06410

13、251212PPPPFFBy 0yF0212PPPFFByAyKNFBy5 .77KNFAy5 .72 0 xF0BxAxFFF(3)选左边钢架,受力如图 0FMC0644105AyDAxFPFFFFCxFAxFAyFPCFCyFDKNFAx5 . 7FDFEP1P2(2)选吊车梁,受力见图 0FME082421DFPPKNFD5 .17KNFBx5 .17力为负值力为负值,说明方向相反说明方向相反例4-6 已知:F F=20kN,q=10kN/m,20mkNML=1m;求:A,B处的约束力.解:1)取CD梁,画受力图.0CMsin60cos30202BlFlqlFl 解得 F FB B=45

14、.77kN=45.77kN解得kN89.32AxF 0yF解得kN32. 2AyF 0AM22sin60 3cos3040ABMMqllFlFl解得mMAkN37.102)取整体,画受力图. . 0 xFcos60sin300AxBFFF030cos260sin00FqlFFBAy求解问题时求解问题时,研究对象的选取很重要研究对象的选取很重要.原则原则:一般先以整个系统作为研究对象一般先以整个系统作为研究对象,虽然求不虽然求不出全部约束力出全部约束力,但可求出一部分但可求出一部分;有时也可以不以整体为研究对象有时也可以不以整体为研究对象,逐个研究逐个研究各个刚体也可求出全部反力各个刚体也可求出

15、全部反力.以某个刚体作为研究对象时以某个刚体作为研究对象时,以已知力和未以已知力和未知力共同作用的刚体为好知力共同作用的刚体为好;4.8 平面简单桁架的内力计算工程中的桁架结构工程中的桁架结构 桁架是由杆件彼此在两端用铰链连接形成的几何形状不变的结构。桁架中所有杆件都在同一平面内的桁架称为平面桁架。桁架中的铰链接头称为节点。 为简化桁架计算，工程实际中采用以下几个假设： (1)桁架的杆件都是直杆； (2)杆件用光滑铰链连接； (3)桁架所受的力都作用到节点上且在桁架平面内； (4)桁架杆件的重量略去不计，或平均分配在杆件两端的节点上。这样的桁架，称为理想桁架。总杆数mn总节点数32 nm33n

16、m=2( )32 nm平面复杂（超静定）桁架32 nm平面简单（静定）桁架32 nm非桁架（机构）1、节点法求解平面桁架 桁架内每个节点都受平面汇交力系作用，为求桁架内每个杆件的内力，逐个取桁架内每个节点为研究对象，求桁架杆件内力的方法即为节点法。例4-11已知:P=10kN,尺寸如图；求桁架各杆件受力.解:1)取整体，画受力图. 0ixF 0iyF 0BM0BxF042AyFPkN5AyF0PFFByAykN5ByF2)取节点A，画受力图. 0iyF030sin01 FFAy解得kN101F(压) 0ixF030cos012 FF解得kN66. 82F(拉)3)取节点C,画受力图. 0ixF030cos30cos0104 FF解得kN104F(压) 0iyF030sin0413FFF解得kN103F(拉)4)取节点D,画受力图. 0ixF025FF解得解得kN66. 85F(拉)例4-12 已知:,101kNP,72kNP杆长均为1m;求:1,2,3杆受力.解:1)取整体,求支座约束力. 0ixF0AxF 0BM03221AyFPP2、截面法 用假想的截面将桁架截开，取至少包含两个节点以上部分为研究对象，考虑其平衡，求出被截杆件内力，这就是截面法。kN9AyF021PPFFByAykN8ByF 0iyF