67二重积分的概念与性质

1、1.利用二重积分定义证明:kf(x,y)dkf(x,y)dD【证明】由二重积分定义f(x,y)dlimof(i,kf(x,y)dDlim0.inkf(1i)limoknf(i1i)klimof(i)f(x,y)d证毕。2.利用二重积分的几何意义说明:kdDR为常数,为积分区域D的面积)。【说明】二重积分的几何意义，就是说，二重积分f(x,y)d就是以zf(x,y)为曲顶的柱体体积,于是知，二重积分kd表示以平面zk为顶的柱体体积,而以平面zk为顶的柱体体积，等于其底面积乘上其高zk,但该柱体的底面积就是积分区域D的面积，从而得，kdk。D3.利用二重积分的性质估计下列积分的值：xy(xy)d，

2、其中积分区域D(x,y)0x1,0y1；D【解】由于区域D(x,y)0x1,0y1，可知区域D的面积为d111,D而由于0x1,0y1,可得0xy1,0xy2,从而有0xy(xy)2,由二重积分性质6.7.5(估值不等式)即得0dxy(xy)d2d亦即为D0DDxy(xy)d2。D(xy1)d,D其中积分区域D(x,y)0x1,0y2；【解】由于区域D(x,y)0x1,0y2，可知区域D的面积为d122,D而由于0x1,0y2,可得0xy3,从而1xy14,由二重积分性质6.7.5(估值不等式)即得1d(xy1)d4dDDD亦即为2(xy1)d42,整理得2(xy1)d8。(x24y29)d，

3、其中积分区域D(x,y)x2y24。D【解】由于区域D(x,y)x2y24，可知区域D的面积为d224D下面求函数f(x,y)x24y29在条件x2y24下的最大、最小值，亦即椭圆抛物面zx24y29在圆柱x2y24内部的最大、最小值，易见x24y20,可知zx24y299,当xy0时等号成立，222又可知，椭圆抛物面zx4y9与圆柱x2y4的交线，在椭圆簇的短轴上达到最高，亦即当x0,y2时，函数f(x,y)x24y29取得最大值，最大值为f(0,2)044925,2/2因此得，9x24y2925,由二重积分性质6.7.5(估值不等式)即得229d(x24y29)d25dDDD亦即为94(x

4、y1)d254,D整理得36(xy1)d100。D4.利用二重积分的性质比较下列积分的大小：(xy)2d与(xy)3d，其中积分区域D由x轴，y轴与直线xy1所围成。DD【解】积分区域D如图1)是减函数,由图可见，在区域D中，0xy1,于是由于函数yax(0a而知以xy为底的指数函数是增函数，即由23有(xy)2(xy)3,于是，由二重积分性质6.7.4(不等式性)即得(xy)2d(xy)3dDDln(xy)d与ln(xy)2dD【解】D积分区域D如图,其中D(x,y)3x5,0y1由于在区域D中有3x5,0y1,可得3xy6,于是1lneln3ln(xy)ln6,于是由于函数yxa(a1)是增函数，可知以ln(xy)为底的指数函数是增函数,即由12得ln(xy)ln(xy)2,于是，由二重积分性质6.7.4(不等式性)即得ln(xDy)dln(xy)2d。D5.若1d=1,贝U积分区域D可以是()。D(A)由x轴，y轴与直线xy2所围成的区域;(B) 由x1,x2及y2,y4所围成的区域;-.11(C) 由x,y五所围成的区域；(D) 由xy1,xy1所围成的区域。【解】应填"(C广。因为1dDSD1,而下面各区域D的面积为:2所围成的区域如图(A)由x轴，y轴与直线xy得Sd22-,21；2,y4所围成的区域如图得Sd(21)(42)21；(C)由x