勾-股-数-序-列

1、勾-股-数-序-列勾股数序列山东定陶一中刘述省序言两千多年前， 中国人和希腊人发现了勾股定理， 当是数学史上的伟大创举。， 2 2， 2 2 则是近代中国人在数论领域的又一重大成就， 它将勾股数的一般求法表述得如此简捷。 然而迄今为止， 未见一个具体详细的勾股数序列表。 这是因为，用现代数学家的眼光来看，找素勾股数是一件很困难的事， 更不用说全部勾股数的序列表了。2002 年，本人找到了一种极其初等的方法。初中学生即可做，可以将所有勾股数按照一定的顺序一个不漏地列出来，制作成表。（当然，由于勾股数的无限多，只能列出一定范围内的） 。此成果获得中国管理科学研究院颁发的中国新时期人文科学优秀成果一

2、等奖。学校有了自己的网站，给我们广大师生建立了互相交流的平台。自己多年的一点点积累， 也很想与大家一起交流学习。下面的正文力图深入浅出， 另有勾股数序列表一并附上。并指望有一天，看到有高手通过编程法打印出可观的勾股数序列表，学生人手一册。真正让勾股定理走进普通人之中。正文先找素勾股数， 即勾 a，股 b，弦 c 三数互质（无公约数）的勾股数。故约定： abc . a2+ b2 = c2且 a b c 互质 。因 2 = (c ) ( ) ,突破口选在上。并记满足的素勾股数为d k（论文在后面将d k 勾股数的倍数形成的勾股数叫做勾股数）以下将按照 k 的取值从小到大依次探求结论。勾股数。 d

3、k 倍k时， a2（）知a 是大于 1 的奇数。设 a = 2m +1，则 b = (a2 ) / 2 , c m 依次从 1 开始取值，即得到 d1素勾股数序列如下：abc 说 明 ：1.a 列从上到下依次多2 ，b列从上到下依次多加4 .345512132.各列个位数五个数一循环。72425940413.拟人法比喻， c为姐， b 为弟， a 为妹。可编口诀如下：116061138485妹妹方一方，姐弟和相当；1511211317144145姐大弟一年，三人勾股弦。19180181.。时， 2（） （） （）设，则 2，得出通项公式后，还要注意考虑两点。第一，要保证 a b c 互质。这里

4、 a 已经确定是偶数， b 就不能再是偶数，所以知 m 是偶数。第二，要保证 b a 。这里换算为 m2 1 2m 。得到 m 1+ 2 。以上两点结合起来，就确定了m 的取值。 m的偶数。 m 从 4 开始依次取偶数，即得到d2如下：为大于等于 4 素勾股数序列abc81517说明：1.a 列从上到下依次多4 , b 列从上到下依次多加8.1235371663652. 各列个位数五个数一循环。2099101241431453. b 比 m 2 少 1 ，c 比 m 2 多 1 .28195197322552573632332540399401.。k =3 时，d3 素勾股数不存在。 因为如果

5、 k=3，则 a b c 有公约数 3. 推导如下：若 a2= 3（2b+3），则 a 中有 3 因子，设 a =3m，则 b =（3m2） /2, b 中也有 3 因子，c = b + 3 自然也有 3 因子。于是 a b c 有公约数 3. 于之前的约定 a b c 是素勾股数相矛盾，故知 d3 素勾股数不存在仿照上面的方法很容易推导出， k 取 4，5，6，7 时，相应的 d4，d5，d6，d7 素勾股数均不存在。k = 8 时, a 2= 8 (2 b + 8) = 16 (b + 4) . 设 a = 4 m , 则 b = m2 ， .仍然注意考虑两点：第一，保证互质，知为奇数第二

6、，保证，即解 2，得 （ 2 ）所以从 5 开始依次取奇数，就得到素勾股数序列如下：202129说明：1.a 列从上到下依次多8 ，b 列从上到下依次多加8 .2845533677852. 各列个位数五个数一循环。44117125521651733. b 比 m 2 少 4 ，c 比 m 2 多 4 .60221229682852937635736584437445.。k时， 2（）设，（ 2 ）， .仍要考虑两点：第一，保证互质。即 b 中不含 3 因子且 b 是正整数，故知 m 为奇数且不含 3 因子。第二，保证 ba ，即解 m2 得（ 2 ）所以依次取大于等于的奇数同时还要去掉的倍数就

7、得到 d9 素勾股数序列如下 :335665说明： 1. a 列从上到下本来应该依次多6，由于隔两行去掉了 m 是 3 的倍数那一行，398089所以依次多 6，12，6，12。 b 列的规律也因此而变。57176185692602692. 各列个位数五个数一循环也随之而变。75308317874164253. b 的 2 倍 比 m 2 少 9 ，c 的 2 倍比 m 2 多 9 .93476485。由于 k 取 10， 11，12，13，14，15，16，17 均不能保证 a b c 的互质性，所以 d10 一直到 d17 素勾股数都不存在。推导方法与 d3 的推导方法类似，不再赘述。k

8、=18 时，读者可以自己推导 d18 素勾股数的通项公式了吧？ a6， 2， .其中从开始取不含因子的偶数。从 9 到 24.又不存在相应的素勾股数序列了。至此，本文最关键的问题已经显现，首先需要解决 k 的取值要求，以确保 dk 素勾股数存在；其次要解决 dk 素勾股数的一般求法。定理 1 当 k 中含有偶数个偶素数因子时， dk 素勾股数不存在。证明：设 k 22n . (m 中不含 2 因子 , n 为正整数 )，则由 2（） 2 2n （ 22n ），设 2n ， 2（ 22 n 1 ）。知 t 为偶数，再设， 2（ 22n ）从而知 b 也必须是偶数。 c 是偶数。 a b c 不互

9、质。故 dk 素勾股数不存在。定理 2 当 k 中含有奇数个某奇素数因子时，dk 素勾股数不存在。证明：设（中不含因子，是奇素数，为正整数），则由a2（）（），可设 得到2（），从而b 中含有 p因子， a b c 有公因子 p . 不互质 , 故 dk 素勾股数不存在 .以上两个定理说明了： k 可以取 1，另外 k 只能取 2 的奇数次方，取 3，5，7，11 等奇素数的偶次方，以及它们之间的乘积。在不超过 200 的 k 的可取值共有 17 个。它们是 1，2，8，9，18，25，32，49，50，72，81，98，121，128，162，169， 200.再表述的具体严谨些： k 的取

10、值中若有 2 因子，只能有奇数个 2 因子；若有奇素数因子，只能有偶数个某奇素数因子。例如 23 ，52，2* 32， 23*34*52.由于 k=1 时通项已经给出 ，下面分三种具体情况给出知 k 的值如何求 dk 素勾股数的公式。第一种情况： k 22n 1 （n 为正整数）时，由 a2= k (2b + k) = 22n 1（2b+22 n 1 ）= 22 n （b +2 2n 2 ），可设 a = 2n m ，则 b =m 2 22 n 2 ， 22n 1 公式已经给出 ,在具体取值中要注意两点：第一，要保证互质，因为a 是偶数，而 b 与 c 同奇偶，故要求 b 不能为偶数， 即 m

11、 2 22 n 2不能为偶数。可知n = 1 时， m 取偶数。 n 1 时，m 取奇数。第二，要保证b a ，即 m 2 2 2n 2 2n m ，解得 m 2n 1 （1 +2 ）.第二种情况： k = p 2 （p 是大于 1 的奇数 ）时，由 a 2 = k （ 2 b + k ）= p 2 （ 2 b + p 2 ），可设 a = p m ，则 b= （ m 2 2）/ 2 , c = b +p 2. 公式已经给出 ,在具体取值中要注意两点：第一，要保证互质 , 因为 a 中含有 p的所有因子， c 与 b 之差是 p 2，故要求 b 中不能含有 p 的任何素因子，进而知 m 首先是

12、奇数，其次m 中也不能含有 p 的任何素因子。 第二，要保证 b a ，即m 2 2 2 p m ，解得 m p（1 + 2 ）.第三种情况： k 22 n 1 p 2（n 为正整数 , p 为大于 1的奇数）时 , 由 a2 = k (2b + k) =22n 1（2b+22n 1）22 np 2（bp 2p 2 =+ 22 n 2 p 2 ）, 可设 a = 2 n p m ，则 b = m 2 22 n 2 p 2 ， 22 n 1 p 2 公式已经给出 ,在具体取值中要注意两点：第一，要保证互质，因为 a 是偶数，且 a 中含有 p 的所有因子 ,c 与 b 之差是 22 n 1 p

13、2，故要求 b 不能为偶数，并且要求 b 中不能含有 p 的任何素因子 , 进而知首先当 n = 1 时 m 是偶数 ,当 n 1 时 m 是奇数，其次 m 中也不能含有 p 的任何素因子。第二，要保证 b a ，即 m 2 22 n 2 p 2 2n p m ，解得 m 2n 1 p （1 +2 ）.好了 ! 问题已经圆满解决 ,可以轻松一下试一试了。例如 23 * 52仿照上面第三种情况可知，设 a = 20 m ，b = m 2 100， 200.m 取奇数并且不能取5 的倍数。又有m 10 （1+ 2 ）,于是 m可以依次取值 27, 29 , 31, 33 ,37, 39 ,41,

14、43,47, .(记住一定要将 5 的倍数的奇数去掉) ,分别带入上面的公式 ,就得到了d200 素勾股数序列了。 （ 第一组数是 540629829并且 a 列至少递进 40 才到下一组数）尾声最后的工作是如何制作一个勾股数序列表。 首先规定：排列顺序以 a 的从小到大排列，a 相同时以 b 的从小到大排列。 ， 2 2 2 其次由于勾股数是无限的，故列表应选择一个适当的范围。下面就 a 不超过 100 的勾股数序列表的制作过程说明如下。第一步，先将范围内的所有素勾股数全部列出来 ，即 d1 ，d2 ，d8 ，d9 ，d18 ，d25 ，d32 素勾股数满足 00 的全部列出。第二步，再将范

15、围内的所有素勾股数的倍数形成的新勾股数满足 00 的全部列出。第三步，将以上所有勾股数按照规定的顺序排列出来，就得到了符合你所选范围内的一个不漏的勾股数序列表。附录以下是本人用算术法计算列出的 a 不超过 100 的所有勾股数序列表勾股数序列序备序备bca注a b c注号号d16262d11345 .1015046倍.d1d1251213102516885倍.d11414d936810倍1035109 .d1d1434347242510451倍.25.581517d2105511313d1.0001 .d11617d8691215倍10652.53 .d13334d1794041 .10752

16、60倍.序abc备注号2081108135 d1 倍.12081360369d1 倍.2208110921095d1 倍.3208132803281d1.4208216801682d1 倍.5208334443445d1.62084112140 d1 倍.78102426d11085267倍.5d1149116061 .1095304d110121620倍1105472.11123537d21115424.0.11254813144850d11135513倍2.14152025d11145530倍0.15153639d11155515倍.1216151111d1116

17、569023 .d21017163034倍117565.18166365d21185619.219171414d1119563945 .012056.3d121188082倍1215776.22191818d1122571701 .6d85423202129 .12357067 d27 .14 d15 .d190 倍.d124 倍6.d1730倍.14 d1倍3 .30d1倍5.15 d113 .d8106倍.d2119倍.20 d1倍0 .39d2倍4.78 d25 .d195 倍.18 d95 .d1543倍.2084135159d8 倍.82084187205d

18、18.92184245259d2 倍.02184288300d1 倍.12184437445d8.22184585591d2 倍.32184880884d1 倍.4218417631765d2.52185132157d25.62185204221d1 倍.72185720725d1 倍.8218536123613d1.9228618481850d1 倍.02287116145d1 倍.12287416425d9.2228712601263d1 倍.324204852d1倍.25209910d21 .d126212835倍.d127217275倍.28212222d101 .1212d12922

19、倍02.30232626d145 .d131243240倍.32244551d2倍.33247074d2倍.34241414d235 .d135256065倍.36253131d123 .1617d13726倍80.d138273645倍.39271212d103倍124 57 1624125 58 84017126 59 40127 60 63128 60 80129 60 9114130604171316052213260129133607134 60 4481356089913661186013762960138 63 84139 63 21616d1228737843785d1.25

20、.484d12288105137d32倍2.517d12288165187d2 倍.41 .6d82287倍88234250d8 倍.7.10d12288480488d1 倍.0倍8.10d12288966970d2 倍.98.915d123倍8819351937d2.60.18d223倍8939603961d1.51.22d82390120150d1 倍.9 .230d22390216234d1 倍.3倍3.45d12390400410d1 倍.倍2.490d22390672678d1 倍.1 .518d1239020242026d1 倍.61 .696d123倍91312325d1 倍.2

21、7.10d12391588595d1 倍.5倍8.22d1239141404141d1.5倍940 2741 2842 2843 2844 2945 3046 3047 3048 3149 3250 3251 3252 3353 3354 33.3636d1140632845 .04553d81416366.09610d11426319倍0 .841919d2143641257 .04242d1144642501 .2d1514050倍145640.d1107278倍1466423.2222d1147657246倍.4848d1148651501 .6d2426068倍149650.1213d

22、221倍150656012.2525d2151668857 .4455d11526611倍.25665d91536636.01818d110倍154660388.d1287倍.d166 倍3 .19 d185 .d213 倍6.d2260倍.d2514倍.10 d225 .d2975.d116 倍9.d1425倍.21 d113 .11 d1倍0 .d913倍0.d1366 倍.d11090倍.2492525533d8.0249210561060d1 倍.1249221152117d2.22493124155d1 倍.32493476485d9.4249314401443d1 倍.524934

23、3244325d1.6249422082210d1 倍.72495168193d25.82495228247d1 倍.92595900905d1 倍.0259545124513d1.12596110146d18 倍 .22596128160d1 倍.32596180204d2 倍.455335454d145 .56342829d1倍80 .d157358491倍.1212d15835倍05.59356161d123 .60364860d1倍.61367785d8.62361011d2倍51.1616d16336倍04.64363232d235 .65376868d145 .66383636d1

24、02倍.d167395265倍.d968398089 .69392525d125倍.70397676d101 .22155674428156685157 68 576158 68 1155159 69 922616069079161692162 69 2380163701681647024016570122416671252016772961687213516972154170 72 21022 d145 .29 d83 .d158 倍0.11 d257 .d1115倍.26 d99 .79d1倍5.23 d181 .d1182倍.d1250倍.12 d1倍26 .25 d121 .d112

25、倍0.d2153倍.17 d80 倍.22 d22 倍2596247265d18.52596280296d2 倍.62596378390d2 倍.72596572580d2 倍.82596765771d2 倍.9269611501154d2 倍.0269623032305d2.1269747044705d1.22698336350d1 倍.3269824002402d1 倍.42699132165d1 倍.52699168195d9 倍.62699440451d1 倍.72699540549d1 倍.8269916321635d1 倍.9279949004901d1.0d871404258倍.

26、d272407585倍.73409610d1倍4 .74401920d2倍82.75403940d291 .76418484d101 .d177425670倍.1415d17842倍40.79424444d1倍02 .80439292d145 .81441112d875 .2424d18244倍04.83444848d235 .d184456075倍.85451011d187倍.86452020d105倍321717204217272964173726174 72 1295261757364176 74 136810177750181787503017975856180750181 75 936182752812